巧借数学问题 演绎精彩课堂

徐小锋

[摘  要] 适度、适量的问题在培养学生学习能力、发展学生数学思维、培养学生数学学习兴趣等方面具有重要价值. 文章以“基本不等式”第一课时为例，巧借“问题”将知识串联起来，让学生在解决问题的过程中深化知识理解、掌握知识本质，有效提升学生的学习品质和学习质量.

[关键词] 问题;数学本质;学习品质;学习质量

在高中数学课堂教学中，为了追求学习速度和容量，部分教师延续利用“以师为主”的讲授式教学模式，导致学生的课堂参与率低下. 为了改变这一现象，笔者以“基本不等式”第一课时为例，尝试从学生已有的知识和经验出发，通过创设有效的问题让学生的思维“活”起来，通过合作探究让课堂“动”起来，以此凸显学生的主体地位，提高学生的课堂参与率，提升学生的学习能力.

分析教材内容

基本不等式是高中数学的必修内容，根据课程要求，基本不等式教学分为两个课时，第一课时侧重基本不等式的探究，要求学生了解简单的证明过程;第二课时侧重基本不等式的应用. 不过在实际教学中，大多数教师常将内容进行了压缩，重点强调基本不等式的应用，对基本不等式的探索及证明常常一带而过. 但由于探索及证明过程的缺失，使学生“只知其然，而不知其所以然”，造成学生的“学”缺乏深度和广度，影响到了学生学习能力的提升. 鉴于此，笔者将第一课时的教学目标重点放在基本不等式的探究上，引导学生通过多角度探究深化知识理解，同时通过有效拓展发散学生的思维、培养学生良好的思考习惯.

教学设计理念

新课标倡导学生积极主动地探索知识，关注学生自主学习能力的提升与发展. 不过探索知识的过程离不开教师引导，教学中将教师主导和学生主体有机地结合起来不仅可以激发学生的学习兴趣，还可以避免学生“误入歧途”，有利于提高课堂教学的有效性. 在本节课教学中，笔者采取“自主、合作、探索”的教学方式，通过行之有效的问题将教学活动串联起来，让学生在问题的驱动下积极参与基本不等式的发展过程，体验数学探究的乐趣. 在整个教学过程中，笔者坚持“以生为本”，使学生的主体地位得到了保证，学生的学习兴趣得到了激发，学生的数学思维得到了发展，课堂气氛积极、活跃.

教学片段

1. 借助情境，引出新知

师：对于天平大家并不陌生，在物理课和化学课上都看到过，今天老师也带来了一架天平. 请说一说如何用它来称物体的质量. （问题1）

生1：将物体放在天平的左托盘，砝码放在天平的右托盘，让天平平衡，此时砝码的质量即为物体的质量.

师：很好，谁动手来做一做？（笔者让学生用天平称数学书的质量）

师：今天老师带来的这架天平，两臂长略有不同，用这架天平能否准确地称物体的质量呢？（问题2）

生2：不能. 设物体的质量为M，天平的左臂长为L，砝码的质量为M，天平的右臂长为L，根据物理学中的杠杜原理可知M·L=M·L，而L≠L，所以不能准确地称物体的质量.

师：将物体放在左托盘称出的质量为a，放在右托盘称出的质量为b，那么物体的实际质量是多少呢？（问题3）

生3：. （学生不假思索地回答）

师：你们同意生3的观点吗？（笔者让学生进行分组探究）

学生积极思考，利用物理学知识计算出物体的实际质量为.

师：那么能否將作为物体的实际质量呢？

生齐声答：不能，要比较与的大小关系.

设计意图 从学生已有的知识和经验出发，与其他学科知识相关联，借助天平称物引出新知，并激发学生的探究热情.

2. 探究大小，引出主题

师：如何判断与的大小关系呢？（问题4）

问题给出后，笔者预留2分钟的时间让学生独立思考.

生4：可以取一些特殊值进行验证，其结果为>.

生5：当a=b时，=，所以应该是≥.

师：通过特殊值法猜想得到≥，那么猜想的结果能否作为最终的结论呢？

生齐声答：不能.

师：如何证明≥呢？

生6：-=（a+b-2）=（-）2≥0，所以≥，当且仅当a=b时取等号.

师：很好，利用比较法验证了结论，还有其他方法吗？

生7：因为（-）2≥0，所以a+b≥2，故≥，当且仅当a=b时取等号.

师：很好，生7利用综合法验证了结论. 该结论的证明方法还有许多，但限于时间，这里我们就不再一一探究了，在日后章节里再详细探讨.

师：结合生6、生7的推理过程，思考一下，不等式≥中a，b有什么限定条件吗？（问题5）

生8：a>0，b>0.

师：一定是a>0，b>0吗？若它们等于0是否成立呢？

生8：哦，等于0也成立，那么限定条件就是a≥0，b≥0.

师：很好. 我们将不等式≥称为基本不等式，其成立条件是a≥0，b≥0.

师：你们能否用文字语言表述基本不等式呢？（问题6）

生9：对于两个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数.

设计意图 通过问题诱发学生进行猜想，从而引出本课探究主题. 在探究中，笔者引导学生从“数”的角度出发，通过比较法和综合法验证结论，并总结归纳出限定条件，以此抽象概括出基本不等式.

3. 探究图形，理解主题

师：图1上有两条线段，其长度分别为a，b，你能利用这两条线段作出表示的线段吗？（问题7）

生10：先画一条直线，在直线上取AC=a，CB=b，线段AB的一半就是. （如图2所示）

师：很好，还有其他方法作出更多的吗？（学生不语）

师：联想我们学过的图形，看看你有什么发现？

师：很棒，能否在圆O上作出一条线段，使线段的长度为？（问题8）

（问题给出后，笔者鼓励学生进行小组讨论，几分钟后各小组都有所发现，笔者点名让学生回答）

生12：如图4所示，过点C作DE⊥AB交圆O于点D，E，由射影定理可知DC=.

师：很好，由图4可知，DO为圆O的半径，其长度为，DC=，DO与DC存在怎样的数量关系呢？

生13：观察图4可知，DO>DC，当且仅当点C与点O重合，即a=b时，DO=DC，所以DO≥DC，即≥.

师：很好，这样借助图形我们进一步解释了基本不等式. 上述我们用了三种不同的数学语言来表示基本不等式，现在你们是否理解并掌握了基本不等式呢？

生齐声答：理解了.

（正在笔者想结束基本不等式的探索时，学生又有了其他想法）

生14：老师，还可以用其他图形来表示基本不等式.

师：哦，还有其他图形？你来说一说，还可以如何表示呢？

生14：利用圆的切线和割线来表示. 如图5所示，过圆O外一点A作圆O的切线AD，切点为D，连接AO交圆O于点B，C. 设AC=a，AB=b，由圆的切割线定理可知AD2=AC·AB=ab，故AD=，AO=AC+CO=a+=. 所以在Rt△AOD中，AO>AD，即>. 当且仅当点B，C与切点D重合，则=. 综上所述，≥.

（生14给出验证思路后，其他学生的验证热情被点燃了起来，很快有学生就想到了其他验证思路）

生15：如图6所示，△ACB和△ADE为等腰直角三角形，设AD=DE=，AC=BC=，则S△ACB=b，S△ADE=a，S=，显然S

师：大家真是太棒了，利用不同的图形验证了基本不等式，我这里也准备了一个图形，图7是第24届国际数学家大会会徽，它由8个全等的直角三角形和1个小正方形构成，这个图形中存在相等和不等的关系，请各小组探究一下，看看你们有什么发现？（笔者带领学生继续进行拓展）

生16：如图8所示，根据已知可得，正方形ABCD由8个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ构成. 设PF=a，PE=b，则S>8S△EPF，也就是（a+b）2>8×ab=4ab，所以ab<

2，即<. 当a=b时，正方形MNPQ缩成了一个点，此时=. 由此，基本不等式得以验证.

师：太棒了，用多个图形验证了基本不等式，数学真是太奇妙了.

设计意图 从“形”的角度出发，通过师生交流，引导学生借助熟悉的图形验证基本不等式.

4. 探究变式，深化主题

师：对于基本不等式≥（a≥0，b≥0），是否可以将其转化为其他形式呢？（问题9）

学生积极思考，给出了如下形式：

①≥?a+b≥2;

②a+b≥2?≥2?+≥2;

③≥?

2≥ab.

师：基本不等式中的a，b除了代表数字外，还能代表其他的吗？（问题10）

生17：可以，还可以代表大于等于0的代数式.

师：你能用一些大于等于0的代数式来替换a，b吗？替换后你能得到什么结论呢？（问题11）

生18：可以用a2，b2代替a，b，则有a2+b2≥2ab（a，b∈R）.

生19：可以用，代替a，b，则有+≥2（a，b同号）.

师：非常好，这样其他很多不等式都可以用≥（a≥0，b≥0）衍生出来，所以我们称它为基本不等式.

设计意图 通过有效变式深化学生对基本不等式的理解，帮助学生认识数学本质，为后续应用基本不等式解决问题奠定基础.

5. 例题讲解，应用主题

师：学习基本不等式后，看看你能否灵活应用它解决问题. （笔者用PPT给出问题）

（1）若x>0，x+的最小值为____，此时x=____.

（2）若a>0，b>0，且a+b=2，则ab的最大值为____，此时a=____，b=____.

设计意图 借助应用进一步深化学生对基本不等式的理解，同时让学生领悟应用基本不等式时应注意“一正、二定、三相等”.

6. 总结回顾，升华主题

师：通过本节课的学习，你有哪些收获呢？

生20：多元探究有助于深化理解知识.

生21：应用基本不等式解决问题时，一定要注意它的应用条件.

生22：体验了数形结合、归纳类比等思想方法的应用价值.

……

设计意图 通过反思、归纳，帮助学生巩固知识和技能，提高学生的认知水平，培养学生总结概括的能力.

教学思考

本节课教学以问题为主线，不仅有效吸引住了学生的注意力，而且激发了学生参与课堂活动的兴趣，带领学生在解决问题的过程中发现了基本不等式，并通过证明深化了对基本不等式本质的理解. 经历以上探究活动，笔者有以下几点教学感悟.

首先，问题在数学教学中的价值是不言而喻的，不过孤立的、随机的、零散的问题对数学思维的影响往往是微乎其微的，只有将问题“串”起来，形成一条主线，才能让学生的思维在解决系列问题的过程中变得有序，让学生的思维得到有效拓展和提升. 因此，教师设计问题时应从整体出发，既要考虑知识结构，又要关注学生的思维发展，借助问题将知识串联起来，通过每一个问题的解决，强化学生对知识的理解，帮助学生建构完善的认知体系，发展学生的数学思维.

例如本节课教学，笔者通过环环相扣的问题诱发学生深度思考，通过对小问题的解决实现对大问题的突破，使学生的思维发展得更有深度. 比如本节课开始通过一系列问题的探索——“天平准确时如何称重”“天平不准确时如何称重”“能否将作为物体的质量”，引出了新知.

其次，教师设计问题时应从学生的现有水平出发，让学生从最近发展区逐步发展到现有发展区. 要知道，只有问题的设计符合学生的现有认知水平，才能激发学生参与的积极性，从而通过“跳一跳”过渡到更高的认知水平. 由浅入深、由易到难的问题既可以调动学生学习的积极性，又能拓展学生思维的广度与深度，有助于学习能力的提升.

例如本节课教学，笔者首先带领学生从熟悉的情境出发，引出基本不等式;其次引导学生证明基本不等式，从“数”的角度出发，从符号语言到文字语言再到图形语言，通过不同语言的表征深化学生对基本不等式的理解;最后通过基本不等式的适度变形，让学生从不同角度认识和理解基本不等式. 这既符合学生的认知发展规律，又顺应学生的思维发展，有助于激发学生的数学学习兴趣和学习信心. 另外，理解基本不等式的几何意义是本节课的一个教学难点，为了突破这一难点，笔者先引导学生利用线段表示，然后引出半径为的圆，再从现有图形出发，让学生寻找，最终带领学生用图形语言表述基本不等式. 通过解决这些具有层次性、梯度性的问题，深化学生对知识的理解.

最后，教师设计问题时应关注问题的拓展性，引導学生多角度、多层次、多方位进行思考，使学生真正把握知识本质，实现知识的融会贯通. 例如本节课教学，笔者引导学生对基本不等式进行变形，这样既让学生从更高的角度理解了基本不等式的本质，又为接下来应用基本不等式解决问题奠定了坚实的基础.

总之，在数学教学中，教师应从教学实际出发，精心设计问题，进而在问题的引领下培养学生的学习能力，发展学生的数学思维，提升学生的学习品质和学习质量.