用试错铺平高中数学学科核心素养落地之路

季林波

[摘  要] 当前高中数学教学的主要任务，就是帮助学生发展数学学科核心素养. 如果真正立足对学生学习过程的关注，就可以发现学生的学习过程本质上是一个从错误走向正确的过程——让学生在学习过程中充分暴露错误、分析错误，学生就可以从错误走向正确. 试错可以成为数学学科核心素养落地的推动力，教师在教学过程中不要一味地追求完全正确，要将试错当成重要的教学策略. 教师可以引导学生在正确思维的过程中，充分体验数学抽象，进行逻辑严密与科学的推理，同时深刻理解数学语言所描述的概念与规律，如此能够让数学学科核心素养的落地得到充分保障.

[关键词] 高中数学;核心素养;试错;落地

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学.数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律. 这是《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对数学课程性质的基本描述. 在这一版本的课程标准中，核心素养成为贯穿全书的核心概念，是体现国家立德树人教育意志的重要载体. 将核心素养与数学学科的基本特征结合起来，可以发现当前高中数学教学的主要任务，就是帮助学生发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学学科核心素养，因此高中数学教学过程就可以理解为促进学生核心素养落地的过程.

既然核心素养的落地是一个过程，那么这一过程与学生的数学知识学习与运用就一定是高度融合的. 如果说后者是高中数学教学传统的基本取向，那么在后者中寻找前者的落地途径，就成为高中数学教师教学及其研究的着力点. 从逻辑关系的角度来看，要让核心素养顺利落地，就必须为学生创设能够体现数学学科核心素养要素的学习情境，比如要培养学生的数学抽象素养，就要让学生经历数学抽象的过程;要培养学生的逻辑推理素养，就要让学生经历逻辑推理的过程……问题在于学生的学习过程并不完全符合教师的预设，由于学生个体经验和思维方式的差异性，教师也不可能完全预测到学生在学习过程中表现出来的诸多细节. 实际上如果真正立足对学生学习过程的关注，就可以发现学生的学习过程本质上是一个从错误走向正确的过程——让学生在学习的过程中充分暴露错误、分析错误，学生就可以从错误走向正确. 在结合数学教学中曾经出现过的让学生试错的传统，笔者认为通过充分试错，可以踏上一条通往核心素养落地的康庄大道. 下文以《普通高中教科书·数学·选择性必修第一册（人教A版）》中的“直线的交点坐标与距离公式”为例，来阐述相关的观点.

试错与数学学科核心素养培育之间的关系

之所以重视试错在高中数学教学中的价值，是因为在学生学习的过程中错误总是会发生的，有识之士也一直呼吁将学生的错误视作重要的教学资源. 数学作为一门基础学科，不仅要让学生获得基础数学知识，还要让学生在学习过程中形成良好的学习品质，而良好的学习品质的重要体现之一，就是学生面对错误时能够理性客观地分析错误，然后在错误中寻找通往正确的道路. 所以有经验的教师即使不知道试错的概念，也会在日常教学中跟学生强调“错误不可怕，可怕的是遇到错误时不改正错误，然后重复犯错误”. 那么试错与数学学科核心素养培育之间存在着怎样的关系呢？笔者通过梳理，发现了这样一个基本逻辑：试错是面向学生学习过程的，而核心素养培育是学习后的目标，过程与目标之间的对应关系，使得试错有可能成为核心素养落地的重要推动力. 当然这一逻辑是否成立，还须结合数学学科的特点来梳理.

众所周知，数学知识、问题解决与数学思维可以构成数学学科核心素养[1]. 其实数学知识、问题解决以及数学思维之间的关系是非常密切的：数学知识是高中数学教学的基础，数学思维是数学知识建构过程中学生表现出来的思维，问题解决一方面反映着数学思维的品质，另一方面又是数学思维得以存在的载体，在问题解决的过程中，学生需要调用已经学到的知识，同时借助数学思维来寻找数学知识间的逻辑关系. 无论学生的数学知识基础是多么扎实、思维方式是多么完善，在知识建构以及问题解决的过程中，总会出现这样或那样的错误. 本着错误也是一种重要的教学资源，教师就应当引导学生在数学知识学习和运用时能够大胆猜想，主动试错，将自己的思维品质通过问题解决充分展现出来. 此过程中出现的错误就是试错的结果，当学生认识到错误后，原有的认知平衡必然会被打破，从而产生新的学习动力. 这时教师应当引导学生去审视自己的错误，去判断到底是知识掌握出了问题，还是逻辑运用出了问题. 在这样的反思过程中，必然要对数学学习过程重新进行梳理与判断，并在此过程中发现是知识方面的缺陷还是思维方面的缺陷;尝试建立新的认知结构，并找出更加科学的问题解决方法. 在此过程中，数学学科核心素养的要素都有可能得到不同程度的体现，尤其是逻辑推理和数学建模等，都会伴随着学生对学习过程的精加工而变得更加清晰，这意味着数学学科核心素养的发展得以实现.

由此可见，试错可以成为数学学科核心素养落地的推动力，教师在教学过程中不要一味地追求完全正确，要将试错当成重要的教学策略.

试错驱动数学学科核心素养落地之例析

有人说，“错误是试验田，在试验田上精心播种，能收获良种.”通过上文分析也可以发现，错误虽然是主观行为的结果，但客观存在，错题、错解、错答、错讲等都意味着错误. 但是对待错误，“给一个巴掌”或许只能达到“认错”的目的，“给一个微笑”“给几许关注”却能达到容错、析错和改错的理想效果. 作为高中数学教师，要有“容错”的肚量，更要有掌握“融错”的技巧，让学生错有所得[2]. 这样的一段经典阐述，充分肯定了错误的价值，强调教师面对学生的错误时应有科学态度，强调在“融错”中让学生获得发展. 当然所有的这一切，都是在试错的基础上进行的.

“直线的交点坐标与距离公式”对于高中生而言似乎不存在太大的学习挑战——在平面几何学习中对直线做了定性研究，而且借助平面直角坐標系和二元一次方程来表示直线，学生认识到了直线的方程——但是具体学习“直线的交点坐标与距离公式”时，学生还是会出现各种错误. 与其像传统教学那样，当学生出现错误后想方设法进行修补，倒不如让学生在学习过程中主动出错、主动试错，让错误真正成为学生建构数学知识与数学学科核心素养落地的重要推动力.

例如学习“两条直线的交点坐标”时，教师向学生提出问题：已知两条直线相交，那么它们的交点坐标与两条直线的方程有着什么样的关系？在教师的认识中，这个问题非常简单，但是对于部分学生而言，由于缺乏数形结合意识，因此他们一开始是茫然的，甚至有学生想着通过尝试的方法，看哪个坐标既适合一条直线的方程，又适合另一条直线的方程. 面对学生这种看似“幼稚”的想法，教师不必急着去评价，而应当让学生去尝试，并且在尝试中试错、纠错. 这一策略是非常有效的，学生可以在短时间内通过尝试得出新的认识：如果一个坐标既适合一条直线的方程，又适合另一条直线的方程，那么这个坐标值就是这两个方程所组成的方程组的解. 上面之所以说在教师的认识中这个问题非常简单，就是因为教师认为这一认识是自然而然的. 但是对于这部分学生而言，正是由于数形结合意识的缺乏，他们无法凭直觉一下子得出正确的判断，因此只能让学生去试错，并且在试错过程中纠错，得到正确的认识. 当学生有了正确的认识后再引导他们去反思学习过程，这样就能够让学生进一步感悟数形结合思想的价值，而这正是本内容教学的一个着力点，也是直观想象和逻辑推理素养培养的一个着力点.

再比如，在“点到直线的距离公式”的教学中，教师通常会结合一个具体的问题去组织学生进行探究.例如，如图1所示，已知点P（x，y），直线l：Ax+By+C=0，如何求点P到直线l的距离？

如果教师对学生解决问题的过程不加干涉，就可以发现部分学生对“点到直线的距离”的认识是有缺陷的. 如有学生认为“点到直线的距离”就是“点到直线上‘任意一点的距离”. 这是对基本概念的判定错误，看起来不可思议，但是在这部分学生身上确实存在. 这时教师也不必急着更正，因为学生很快就会发现这一认识的缺陷：直线上有无数个点，那么按照上述逻辑，这个距离就有无数个，这显然是不正确的;既然题目要求的是一个确定的值，这就意味着“点到直线的距离”应当是“点到直线上‘某一点的距离”，那么这个点应当是哪个点呢？当学生产生这个疑问时，“幼稚”的错误就变成了有价值的探究方向. 学生可以迅速发现直线上的“点”应当是最特殊的一个点，而最特殊的这个点就是距离直线外那一点最短的点. 有了这一认识，“点到直线的距离”的正确知识就建立起来了.

其后，在探究“点到直线的距离公式”时，还会出现一些错误，例如求点P到垂足Q的距离时，确定垂足Q的坐标就是一个难题. 解决这一难题的关键在于固定思维的突破，也就是要让学生在建立PQ⊥l的过程中，通过求相交点的坐标来确定垂足Q的坐标. 部分学生刚开始是很难将思维的触角伸向这一认识的，他们在思考时会出现各种各样的错误，此时就需要教师进行引导. 引导的出发点就是学生所犯的错误，落脚点就是正确的解题思路. 通过这样的引导，可以让学生在认识自己所犯的错误的同时，建立起正确的思路乃至思维模式，而这将促进学生的知识建构.

用试错铺平数学学科核心素养落地之路

上文案例充分体现了试错对于知识建构的作用与意义，从数学学科核心素养培育的角度来看，试错的意义也是非常显著的. 学生认识到的错误，不仅仅是知识方面上的，更多的是思维方法方面上的. 这是高中生在数学学习过程中表现出来的优点之一，绝大多数学生面对错误时都不会就事论事，而会思考诸如“为什么会犯这样的错误”“怎样才能做到一次性正确”等问题. 尽管学生的学习初衷是数学知识的正确理解与运用，但这样的问题后有丰富的数学学科核心素养要素，教師可以引导学生在正确思维的过程中，充分体验数学抽象，进行逻辑严密与科学的推理，同时深刻理解数学语言所描述的概念与规律，如此能够让数学学科核心素养的落地得到充分保障.

相对于传统教学中追求正确而回避错误而言，试错开辟了一条新的教学途径. 在这条教学途径上，学生看似走了一些弯路，却通过自己的知识缺陷与思维缺陷的充分暴露，有了更多的反思学习的机会. 在这些机会中，数学知识及其体系能够更加清晰地呈现出来，数学学科核心素养也有更大的培育空间. 因此从这个角度来看，可以确认试错确实能够铺平数学学科核心素养的落地之路，日常教学必须积极实践.

参考文献：

[1] 武丽莎，朱立明. 高中数学学科核心素养：生成机制与培养路径[J]. 数学教育学报，2021，30（04）：25-29.

[2]王爱斌. 高中数学课堂中的“融错”艺术[J]. 教学与管理，2016（04）：61-63.