关注学生 助力成长

顾鹏程

[摘  要] 关注学生及发展是高三复习教学的主旋律. 在复习教学中，教师应重点强化学生的数学基础，善于通过“小而精”的练习帮助学生建构完善的知识体系，避免机械重复造成枯燥乏味. 同时在教学中，要重视展现学生的思维过程，从而通过亲身体验来发展学生的思维，提升学生的能力.

[关键词] 关注学生;数学基础;思维能力

笔者在一次校内公开课上，有幸聆听了校内优秀教师关于“椭圆的方程”的复习教学，现呈现教学过程，并谈几点自己对高三复习教学的一些粗浅认识，请同行给予批评和指正！

教学实录

1. 课前展示，发现问题

师：椭圆是高考的重要考点，之前重点学习过，也做过大量的练习，今天我们再重新回顾一下这部分内容.

师：现在我们一起来探究一下课前小测中的几个问题. （教师用PPT展示题1）

题1：点B，C的坐标为（3，0），（-3，0），点P到B，C两点的距离之和为10，求点P的轨迹方程.

师：说一说你是如何求解的，遇到了哪些问题.

生1：我是用代数法求解的，设点P（x，y），依据题意得+=10，接下来移项、平方、化简，但是越算越复杂，最终没有求得答案.

生2：我也是用代数法求解的，通过两次平方可以得到答案. 第一次平方后整理得=5+x，再次平方后整理得+=1. （很多人点头赞同）

师：看来很多同学应用的都是代数法，可见大家有着超强的计算能力. 不过，代数法虽然思路简单，但是运算过于复杂，你们是否还有其他的解决方案呢？

生3：我是利用椭圆的定义直接求解的，根据椭圆的定义并结合题设信息可知a=5，c=3，故椭圆的方程为+=1. （生3的解法给出后，其他学生恍然大悟）

师：太棒了，这样利用椭圆的定义直接得出了答案，既节省了时间又有效避免了复杂运算可能产生的错解.

师：谁来说一说椭圆的定义？（问题给出后，很多学生积极举手，但教师选了一个未举手的学生回答，该生准确地说出了椭圆的定义）

师：看来大家对椭圆的定义了如指掌. 椭圆定义在解题时有着重要作用，大家不仅要熟背定义，而且还要学会灵活应用. 现在思考一下，若将“点P到B，C两点的距离之和为10”改为“点P到B，C两点的距离之和为6”，此时点P的轨迹方程是什么呢？

生4：同上面一样，是椭圆，a=3，c=3. 噢，不对. （问题给出后，学生不假思索地套用原来的解法）

师：说一说刚刚错在哪里？

生4：我刚刚忽略了定值要大于两点之间的距离.

师：大家再想一下，如果不用定义来求解，以上方程是否还有其他的化简方法呢？（学生沉思）

师：确实有一定难度，之前我们常用的方法是“移项、平方”. 仔细观察和这两个无理式，你是否能用整体的方法来解决呢？（教师引导学生尝试从整体出发去思考问题，便于找到化简的突破口）

生5：可令=m，=n，根据题意得m+n=10. 又m2-n2=12x，得m=5+x，n=5-x，即=5+x，这样两边平方后化简即可求出点P的轨迹方程.

师：很好，这样只平方一次即可求解，减少了运算量. 大家认真观察一下，“”表达的是什么含义呢？

生6：椭圆上的点到左焦点的距离.

师：m=a+x呢？

生7：哦，我知道了，这个就是焦半径.

师：很好，大家还记得之前我们是如何得到焦半径的吗？

生齐声答：利用椭圆的第二定义. （接下来教师又指定学生叙述椭圆的第二定义）

师：很好！对于题1大家还有什么问题吗？（学生摇头表示没有问题后，教师开始引导学生探究下面的问题）

师：接下来我们看题2. （教师用PPT给出题2）

题2：已知椭圆C的中心为坐标原点，椭圆C的长轴长为6，短轴长为4，求椭圆的标准方程.

师：大家看一下，这样求解对吗？（教师展示解题过程）

由已知得a=3，b=2，所以椭圆的标准方程为+=1.

生8：这样求解不全面，根据已知我们知道椭圆的中心在坐标原点，但是并未指定椭圆的焦点在哪个轴上.若焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为+=1;若焦點在y轴上，则椭圆的标准方程为+=1.

师：很好，结合题2说一说求椭圆方程有几步.

生9：我认为有三步：①判断椭圆焦点的位置;②求出a，b的值;③写出椭圆方程.

师：说得很好，有些问题看似简单，但可能存在陷阱，解题前应仔细审题，明晰步骤，这样才能做到“会而对”.

师：接下来我们再看一下题3. （教师继续用PPT展示题3）

题3：若方程+=1表示椭圆，求m的取值范围.

师：我是这样解决题3的：m-2>0，

6-m>0，于是得m∈（2，6）.

生10：不对，忽略了条件“m-2≠6-m，即m≠4”. 如果m=4，它就不是椭圆了，而是圆x2+y2=2.

师：很好，如果把题3“变一变”，该方程是否可以转化为双曲线方程呢？

生11：若满足（m-2）（6-m）<0，则此方程表示双曲线.

师：很好，请再详细说一下.

生11：若m-2>0，

6-m<0，则它是焦点在x轴上的双曲线;若m-2<0，

6-m>0，则它是焦点在y轴上的双曲线.

师：很好. 圆锥曲线有很多相似或相关的知识点，学习时可以尝试“变一变”，这样不仅可以变成一个新的问题，还可以使知识点之间的区别与联系变得更加清晰.

师：我们看一下最后一个问题. （教师用PPT给出题4）

题4：设P为椭圆+=1上一点，其横坐标为2，则点P到椭圆左焦点F的距离PF=______，点P到椭圆右焦点F的距离PF=______.

师：谁来简单地展示一下求解过程？（教师鼓励学生板演，以展示思维过程）

生12：根据已知可得a=5，b=3，c=4，故左焦点F（-4，0），右焦点F（4，0）. 设P（2，y），将其代入椭圆方程得y=×9. 根据两点距离公式可得PF==，同理可得PF=.

师：这个就是最终答案了吗？

生13：可以继续化简，得PF=，PF=.

师：很好，不过有必要两个都这样计算吗？

生14：实际上只要算出一个就可以了，例如算出PF=，则PF=2a-PF=.

生15：还可以根据椭圆的第二定义来计算，椭圆的右准线方程x=，设P到右准线的距离为d，则=e，这样易求得PF=. 算出PF后，根据椭圆的第一定义即可求出PF.

师：对于同一个问题，我们应积极思考有没有多种常规的方法来解决它. 这样通过一题多解可以锻炼我们的数学思维，提升我们的解题能力.

师：大家再思考一下，在什么情况下可以应用椭圆的定义来求解类似的问题？

当求解完问题后，教师又引导学生进行总结归纳，借助练习帮助学生回顾基础知识和基本技能，将椭圆的定义、标准方程等知识点巧妙地融入练习，有效地避免了简单回顾所带来的枯燥感，使复习课堂生机勃勃.

2. 归纳总结，夯实基础

通过以上四个题目，椭圆的定义、方程的形式以及求椭圆方程的基本方法已呈现，为了使知识更加系统化、完整化，教师给出表格让学生填写，内容有标准方程、定义，顶点坐标、焦点坐标、离心率等，帮助学生通过归纳总结夯实基础，为接下来的拓展提升奠定基础.

3. 例题教学，拓展提升

前面的课前小测已经帮助学生夯实了“双基”，在例题教学阶段有必要通过一些巧妙的拓展来丰富学生的解题经验，提高学生的解题技能.

题5：已知椭圆的中心在坐标原点，其长轴长为6，且经过点（，），求椭圆的标准方程.

该题较为简单，与题2相似，因此学生根据题2的解答步骤求解，即确定焦点位置后，将已知条件代入椭圆方程，求得当焦点在x轴上时，椭圆方程为+=1;当焦点在y轴上时，椭圆方程为+=1.

变式：已知椭圆C的左焦点为F（-1，0），且点P

1，

在椭圆C上，求椭圆C的标准方程.

求解本题时，教师鼓励学生利用不同方法来完成，有的学生用待定系数法，有的学生用定义法. 不管用哪种方法，教师都让学生板演，这样既丰富了学生的解题经验，又规范了学生的解题过程，提升了学生的解题能力. 当学生完成变式的求解后，教师又提出了一个问题：“题5能否用定义法求解？”以此借助题5诱发学生深度思考定义法. 在交流中，有的学生认为变式中有“焦点”这个条件，而题5中没有，因此题5不能用这种方法（定义法）求解;也有学生认为，结合题1的解答经验，可以用定义法求解，过程如下：若焦点在x轴上，设焦点为（-c，0），（c，0），根据已知可得6=+. 令m=，n=，则m2-n2=4c. 又m+n=6，得m-n=c，解得c=，于是椭圆C的标准方程为+=1. 若焦点在y轴上，可以用同样的方法求解. 通过合作交流，学生再一次认识了典型解法.

接下来教师又列举了其他实例，从而借助一题多解活跃了学生的数学思维，提升了学生的解题信心.

教学反思

从以上教学过程可以看出，通过“练”帮助学生巩固了基础知识，锻炼了基本技能，有效培养了学生的“双基”;同时教师“以生为本”，充分展现了学生的思维过程，借助“错解”和“多解”丰富了学生的解题经验，提升了学生的思维能力，培养了学生的解题信心;另外，在教学中，教师将整体思想、分类讨论思想、方程思想等重要的思想方法渗透其中，有助于学生更好地认识数学本质，提升数学素养.

现结合以上教学过程，笔者谈几点关于高三复习教学的认识.

1. 重情境，轻记忆

在本课教学前，教师给学生安排了课前小测，四个问题各有不同的教学目的，从不同角度检测了学生对基础知识的掌握情况. 从课前小测反馈来看，大多数学生只是单纯地从习题的角度出发，思考如何解题，并未关注各习题之间的递进关系，可见学生完整的认知体系并未建构完成. 同时，通过前期的基础检测，教师更好地了解了学生，如知道了哪些知识点是学生已经掌握了的，哪些知识点是学生似懂非懂的，哪些知识点是学生通过合作交流可以自我完善的，哪些知识点是需要教师重点讲解的……只有知学生之所需，才能使教学更有效. 另外，教学中教师重点呈现学生的解题过程，帮助学生进一步建构椭圆的知识脉络，同时引导学生及时进行总结归纳，从而将知识与技能串成线、织成网，有效避免了简单记忆和机械式训练所带来的瞬时效应.

2. 重整合，弃题海

在高三复习教学中，部分教师常常贪多、求全，使得课堂容量过大，造成学生学习难以深入，不知道为什么学，要学到什么程度，只是单纯地为了解题而解题，但“题海无边”.学生只有知道了学的内容、掌握了学的方法、了解了学的目的，才能学有所获、有所发展，教师前期制定的教学目标才能圆满实现. 因此，教学中教师不能贪多，要避免机械重复，通过试题精挑细选让学生更全面、更牢固地掌握“双基”.

在教学中，教师展示题5让学生利用定义法和待定系数法这两种典型的解题方法来求解，从而让学生理解通法在解题中的重要价值. 接下来，教师又通過变式和多解引导学生寻求最佳方案，以获得夯实基础、优化思维的教学效果. 另外，解题中蕴含着丰富的数学思想方法. 通过一道习题不仅强化了学生对椭圆方程的理解和把握，而且锻炼了学生的数学思维，提升了学生的数学应用能力.

3. 重体验，轻灌输

在高中数学教学中，尤其在公开课教学中，部分教师为了达到某种效果只关注对教学有利的生成性资源，而对那些不利于自己教学计划实施的生成性资源常常视而不见，这样使得学生难以真正地融入课堂，显然不利于教学目标的实现. 而在本节课教学中，教师以学生为主导，充分展示了学生的思维过程，通过板演、纠错、反思等教学活动调动了学生参与教学的积极性，让学生在交流展示中更好地内化了知识.

例如，在教学中，教师不仅不怕学生犯错，而且还展示了学生的错解过程，从而通过纠错帮助学生理解概念，完善认知体系. 错误是学习过程中普遍存在的，因此在教学过程中教师要给学生一定的空间来展示错误，通过示错、找错、议错等过程发现学生的认知缺陷，借助有效的修补帮助学生释错、改错，以此达到完善学生认知体系、优化学生思维品质、磨炼学生意志的效果.

又如，在解题教学中，学生用待定系数法完成题5的求解后，教师将其变式，鼓励学生用不同的方法去求解. 求解后，教师追问道：“题5能否用定义法求解？”基于问题学生展开了激烈的探究，其探究重点主要是题设中椭圆的焦点位置. 最终学生通过设焦点，用定义法求得了椭圆的标准方程. 这样通过变式不仅丰富了学生的解题方法，而且通过对题5的再探究，挖掘出了问题的本质特征，从而让学生拥有了“会一题，通一类”的能力.

总之，在高三复习课堂中，不仅要关注学生“双基”的落实，也要关注学生的发展. 在教学中，教师要把握好教学方向，制定好教学计划，从而有效避免教学中的盲目性和随机性，让学生知道“学什么”“为何学”“如何学”，以此培养学生优良的学习品质，发挥数学的教育功能.