数学抽象素养视角下“数列”单元整体教学研究

黄小冬

［摘  要］ 新课标明确强调，要通过数学学科核心素养的发展，让学生学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界. 在这样的宏观背景下，相应的教学方式要进行重构，于是包括单元整体教学在内的教学方式就纳入了一线教师的视野. 基于数学抽象素养发展的需要，单元整体教学应当在传统教学的基础上，充分利用好教科书以及学生生活中的相关资源，借助体验性更强的数学活动帮助学生完成知识体系的建构. 这样的单元整体教学的基本架构涉及三个要素，分别为学生的学习品质、数学课程资源、数学体验活动.

［关键词］ 高中数学；数学抽象；核心素养；数列；单元整体教学

当前，高中数学教学面临着宏观背景与具体教学方式的重构现状. 宏观背景之所以需要重构，是因为随着新课标的颁布，发展学生的核心素养已经成为包括数学学科在内所有学科的教学共识，而数学学科核心素养则更加明确了基本要素（包括数学抽象在内的六个要素）. 新课标明确强调，要通过数学学科核心素养的发展，让学生学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界. 在这样的宏观背景下，相应的教学方式要进行重构，于是包括单元整体教学在内的教学方式就纳入了一线教师的视野. 单元整体教学是相对于传统的以课时、节为单位的课堂教学而言的. 所谓单元整体教学，就是把一个单元看成一个有机的学习和认知整体，即在明确的学习目标统领下，对一个单元的学习内容进行系统规划和设计，关注知识逻辑，注重学生发展，并在此基础上建立不同课文内容间的联系，充分彰显单元学习的价值，使学生的学习既有明确的目标，又有清晰的路径，进而最大可能地促进学生能力发展和素养提升［1］.

一线教师往往关注的就是教学方式，单元整体教学作为一种新型的教学方式，教师在理解时首先要形成理论认识. 康德认为，知识在本质上是一个整体，正确使用人的理性可以指导主体将支离破碎的、不完整的知识，统整上升到更高层次的整体知识［2］. 随着基础教育课程改革的推进，强调知识的整体性和单元整体作用的教学观愈加受到重视［3］. 在这样的认识下，在核心素养培育的背景下，单元整体教学也就应运而生. 借助单元整体教学来发展学生的数学学科核心素养，成为当前高中数学教学中过程与目标关系的体现. 数学抽象是数学学科核心素养的第一要素，因此笔者选择在数学抽象的视角下研究单元整体教學. 用《普通高中教科书·数学·选择性必修第二册》（人教A版）（下文简称教材）第四章“数列”这一知识，可以充分建立起数学抽象素养培育视角，同时也可以实施单元整体教学. 下面就从基本架构、案例分析、研究反思等三个角度进行阐述.

数学抽象素养视角下“数列”单元整体教学的基本架构

新课标描述数学抽象时是这么说的：数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养. 新课标同时进一步指出：数学抽象主要从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征. 这样的描述实际上指出了培养数学抽象素养的基本思路，那就是引导学生研究数量与数量关系、图形与图形关系以及事物的具体背景，得到数学概念及概念之间的关系，从事物中抽象出一般规律和结构，然后用数学语言予以表征. 站在学生的角度来看数学抽象，可以认为数学抽象大体经由简约阶段、符号阶段、普适阶段等三个基本阶段. 以教学形态出现的数学抽象，遵循数学抽象的一般规律，同时又具有实物抽象、半符号抽象、符号抽象和形式化抽象等四种表现形式［4］.

有了这样的认识，意味着数学抽象素养视角就清晰了. 在这一视角下再来看单元整体教学的基本架构，笔者认为基于数学抽象素养发展的需要，单元整体教学应当在传统教学的基础上，充分利用好教科书以及学生生活中的相关资源，借助体验性更强的数学活动帮助学生完成知识体系的建构. 这样的单元整体教学的基本架构涉及三个要素，分别为学生的学习品质、数学课程资源、数学体验活动. 这三个要素是互相关联、互相作用的，衔接三者关系的是学生本身，是学生的学习过程.

对“数列”这一单元的教学而言，教师要引导学生认识到数学知识看起来虽然抽象，但是对数列的研究却是源于现实生产与生活的需要. 认识到这一点，数学抽象素养的培养也就有了基础. 在“数列”教学中，将等差数列与等比数列放在单元整体的视角下让学生去学习，这是单元整体教学的宏观思路. 教师可以参考上文总结的单元整体教学的基本架构，重新设计本单元教学. 这样呈现在学生面前的单元整体教学，应当是基于学生学习的需要，教师通过课程资源的开发与利用，来帮助学生体验数学抽象的过程. 与传统教学不同的是，无论是教师提供课程资源时，还是学生加工课程资源时，等差数列与等比数列有可能同时出现，那么相应的概念建立也会同时发生. 另外，考虑到等差数列与等比数列的相同点与不同点，教师可以引导学生在探究等差数列时，形成更好的研究视角与能力，然后向等比数列的探究迁移，这是单元整体教学的基本思路，也是最有价值的选择. 毕竟由于时间和空间的限制，等差数列与等比数列不可能同时学习，而这种前期能力向后期学习的迁移，正成为单元整体教学的最佳注解.

数学抽象素养视角下“数列”单元整体教学的实践案例

借助上文总结的单元整体教学的基本架构，可以发现在实施单元整体教学时，既要充分发挥数学抽象的价值，让学生在数学学习的过程中有充分的数学抽象体验，又要保证单元知识的整体性，让学生在体验的过程中建立起关于单元整体知识的认识. 数学抽象通常要经历感知与识别、分类与概括、想象与建构、定义与表征、系统化与结构化等五个阶段［5］. 这五个阶段就是学生建构知识的大致历程，而在单元整体教学的基本架构的引领下，则可以对本单元知识进行系统设计. 例如，笔者的设计是这样的：

首先，列举生活中关于数列的例子，让学生初步感知数列的魅力.

数列本身是抽象的，但是数列在生活中却对应着不少实例，利用这些实例来帮助学生夯实感性认识的基础，是培养学生数学抽象素养最好的切入口之一. 这些实例就是本单元整体教学的课程资源，想利用这些课程资源引导学生感知数列的魅力，就要保证课程资源是丰富的，要确保学生在分析这些例子时，能够同时认识等差数列与等比数列.

比如，用教材所举的例子——王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高得到的身高数据，可以帮助学生初步形成“不能交换位置的一列数就是数列”的认识，这对学生而言是认知突破，学生会发现原来看起来杂乱无章的数据也是有章可循的. 这个过程需要数学抽象，因此教师举例时要特别注意，可以在给出框架性思路后，让学生尝试自己去举例. 比如学生所形成的初步认识其实就是一个框架，让学生在这一框架内根据自己对数列的理解去举例，那么学生由于经验差异性的存在，就会举出既在框架内，又存在着明显不同的数列的例子. 这些例子有的来自生活，有的来自学生的自主建构——后者实际上已经进一步演绎了数学抽象的魅力. 分析这些例子，也就成为下一步单元整体教学的内容.

其次，引导学生分析、归纳例子，进一步建立等差数列与等比数列的概念.

这里要提出的例子必须是丰富的，分析归纳后的结果必须是简洁的. 在学生所举的例子中，通常会自然出现等差数列和等比数列. 这时研究的对象就是学生所举的数列例子，这样可以更好地发现数列中蕴藏的规律. 其实学生举例也是借助自身的经验进行的，在分析例子时，学生原有的感性认识就可以发挥作用，这个作用可以驱动学生的思维从形象向抽象转化，本质上也是数学抽象的一部分. 比如有的学生举的例子是自然数，即1，2，3，4，5，…；有的学生根据故事举例，如在棋盘的方格中放米粒，得到1，2，4，8，16，…. 通过对这些例子的分析可以发现，不同数列所遵循的规律有所不同. 当然，这种“不同”应当由学生自己去发现，这在客观上也是一个数学抽象的过程. 之所以这么说，是因为当学生熟悉具有抽象特征的数列后，其就是一个形象思维加工的对象，而寻找数列背后的规律就变成了一个抽象的过程.

从学生学习的实际情形来看，学生能够通过数学抽象发现其中的关系：类似于“1，2，3，4，5，…”，就是不断地“+1”，而类似于“1，2，4，8，16，…”，就是不断地“×2”. 学生可能同时发现这些关系，因此同时建立等差数列与等比数列的概念，也就是水到渠成的一件事情，反映了单元整体教学的基本特征.

再次，引导学生进行迁移.

根据教材知识呈现的顺序，学生首先探究的是等差数列. 但由于此前的单元整体教学，学生此时大脑中已经有了等差数列和等比数列的概念，因此教学等差数列时，要坚持能力立意的思路，从而为后面等比数列的自主探究奠定基础. 此时能力立意的主要体现，就是发现等差数列的规律，尤其是等差数列的通项公式. 等差数列的通项公式实际上是一个数学模型，这一模型的建立与运用，表征着学生对等差数列学习的能力. 当这种能力实现迁移的时候，其实就是本单元知识教学表现出“整体”一面的时候.

数学抽象素养视角下数列单元整体教学的研究反思

数学抽象素养视角下的单元整体教学，在“数列”这一单元的教学中有着充分的体现：数列概念的建立，充分体现着数学抽象的基本特征；等差数列与等比数列两个概念的同时建立，意味着单元整体教学落到实处；学生在等差数列学习过程中形成的认知与能力，有效迁移至等比数列学习，意味着单元整体教学走向高潮……由此来看，在数学抽象素养的视角下进行单元整体教学，不仅让学生对数学概念或规律的理解更具整体性，还让包括数学抽象在内的核心素养得到更好的发展.

由此进一步反思单元整体教学，笔者认为其可以成为数学学科核心素养落地的有效途径. 尤其对于数学抽象而言，教师必须充分认识到数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象，只有通过抽象才能得到抽象的东西［6］. 有了这样的认识，再借助单元整体教学引导学生完成知识的建构与运用，那么数学抽象素养就可以切实落地；如果能夠进一步挖掘单元整体教学的价值，将更多的数学学科核心素养要素蕴含其中，那么在高中数学教师面前也就打开了一个新的教学空间.

参考文献：

［1］ 陆启威.单元整体教学的价值诉求与路径探析［J］.江苏教育，2022（25）：27-31.

［2］ 康德. 纯粹理性批判［M］. 韦卓民，译.武汉：华中师范大学出版社，2000.

［3］ 王海青，吴有昌. 基于数学单元的整体教学探索与实践：问题驱动的视角［J］. 数学通报，2022，61（03）：27-32+46.

［4］ 张胜利，孔凡哲. 数学抽象在数学教学中的应用［J］. 教育探索，2012（01）：68-69.

［5］ 李昌官. 数学抽象及其教学［J］. 数学教育学报，2017，26（04）：61-64.

［6］ 史宁中. 数学的抽象［J］. 东北师大学报（哲学社会科学版），2008（05）：169-181.