阶梯需求下具有Weibull分布的易变质品库存决策模型

王文洲，伊俊敏

（厦门理工学院经济与管理学院，福建 厦门 361024）

随着生活水平的提高，人们对肉蛋果蔬等易变质品的日常消费不断增加并提出健康、新鲜的“生鲜”要求。易变质生鲜品的库存管理是零售商面临的一大挑战。一方面，易变质品在库存、运输等环节常因产品特性发生质量和数量上的损耗；另一方面，其在实际市场需求中受到诸多不确定性因素的影响。这就要求零售商有效地对产品货损变质进行管控，科学合理地控制库存，优化库存策略。

近年来，越来越多的学者开始关注易变质品的库存管理。易变质品的库存模型研究最早是由Ghare［1］开展的，他建立了库存与变质率、需求之间的基础模型。之后的学者围绕变质率和需求不断创新，并将其融入基础模型进行深入的研究。在需求方面，Pallavi等［2］针对允许短缺和部分积压的易变质品的库存系统，构建了需求为常数的清晰模糊库存模型。余云龙等［3］在常数需求率的基础上进行了创新，在需求呈线性变化的前提下提出不同冷链服务模式下的供应链库存决策。随着市场和环境的不断变化，需求的不确定性增大，众多学者对易变质品的库存模型研究也从确定性需求转到不确定性需求领域中。王赛等［4］在产品需求呈双峰型变动和库存费呈非线性变化两种情况下分别建立库存模型，通过求解分析得出最优订货量；Preety等［5］分析允许短缺条件下具有价格敏感和库存依赖需求函数的变质物品模糊EOQ（economic order quantity）模型。Hatibaruah等［6］考虑需求依赖于价格、时间和广告频率的变质产品的生产库存系统，在系统总成本最小的情况下，求得最优的销售价格、周期以及库存水平。刘贤亮［7］在需求依赖于产品价格和新鲜度的前提下，建立库存系统模型，通过数值算例验证模型有效性；随着当前外部环境不确定性增大，需求突变的情况也时有发生，苏珂等［8］在最初的模型基础上提出一种假定需求为波动需求的库存定价模型，但并没有对突变需求进行定量研究。

生鲜产品的特点是易腐，而变质率是衡量易腐的关键指标，在构建易变质品的库存模型时就必须考虑变质率这一因素，以便提出更符合实际的库存策略。Soni等［9］的EOQ 模型中，在变质率为常数的前提下结合模糊需求来研究模糊学习的效果，利用微积分法推导出模糊目标函数的最优补充次数和订货数量。Sindhuja 等［10］提出考虑线性需求及成本短缺的经济订货批量模型，其中变质率假设为线性需求的帕累托分布。之后，研究者将工程产品寿命的概念引入到食品领域中，用Weibull 分布来描述食品的变质特性。Ajoy 等［11］以变质率服从Weibull 分布构建库存模型，以总成本最小为目标，得到最优的销售价格、周期以及最大正库存水平。徐贤浩等［12］在同时考虑延迟支付和易逝品的变质均与产品定价相关联的情况下，通过构建库存模型对易逝品的最优订货决策进行了研究。从最初的常数变质率到二参数Weibull分布的变质率，再到变质率为时间的复杂函数［13］，对于变质率的研究已经开始考虑多方面的影响因素。随着冷链保鲜技术的不断发展，变质率的可控性得到人们的关注，但当前很少把保鲜技术引入到库存模型中。

综上所述，对易变质品的库存模型的研究从确定性需求到服从一定分布函数的随机需求，逐渐向实际需求特征靠近。我国城市实际生活中，需求量在一个星期内会出现阶梯式突增的现象，这种阶梯需求具有量大而集中、幅度不确定和动态变化等特征。现有研究中虽然考虑到战略客户需求暴增的相关问题［14］，但尚未考虑在阶梯需求下易变质品的库存模型，也没有合适的需求模型进行定量研究。此外，冷链技术的使用为易变质品提供了新的研究方向，在实际生活中企业采用冷链等技术控制易变质品的变质率。综上，本研究引进保鲜技术来控制变质率，在阶梯需求下，提出变质率服从二参数Weibull 分布的易变质品的库存模型，通过对模型的求解和分析，得到最优订货量及最优保鲜投资水平，以期更好地为零售商提出库存管理策略，从而提高零售经营利润。

一、具有阶梯需求及变质率分布特征的库存问题描述

通过对相关生鲜企业的实地调研中了解到，不少消费者会选择在产品降价处理的时机购买；也有不少消费者集中在周末或者节假期进行集中采购。这两种情况都可能导致消费者的需求在某一段时间内突然大增，维持一段时间后就会急剧下降，这就是阶梯式需求，需要零售商提前准备库存和及时调整订购数量。阶梯需求的变化曲线如图1所示。

图1 阶梯需求曲线Fig.1 Ladder demand curve

阶梯需求函数为

式（1）中：a 表示阶梯波动前的需求；b 表示阶梯波动时的需求，a，b都为整数。

在实际情况中，生鲜产品只要暴露在环境中就会发生变质，因此本文选择二参数Weibull分布［15］引入到变质率的描述中，构建更贴合实际的库存模型。其中，二参数Weibull分布对时间的概率密度函数为

累积分布函数表达为

因此，二参数Weibull分布表示为

式（2）、（3）、（4）中：θ（t）为产品随时间变化的变质趋势，即瞬时变质率；α、β分别为Weibull分布中的流动环境因子和存储环境因子。θ（t）在不同β因子下的变化趋势［16］如图2所示。

图2 不同β因子下的θ(t)变化趋势Fig.2 Change trend of θ(t) under different β factors

通过对θ（t）的函数表达式分析可发现，当α=0时，θ（t）=0，产品不会发生变质；当α＞0 时，产品会发生变质。相对于存储环境因子β 来说，不同取值使θ（t）呈现不同的趋势，当β=1 时，产品的变质率为常数。Weibull 分布的2 个参数在不同取值范围内，变质率会呈现出不同的变化曲线。

由于Weibull 分布相较于常数或线性变质率能更好地表达产品的变质情况，此外还考虑到生鲜产品在实际生活中随着时间延长产品变质速率加快的情况，所以本文假设Weibull 分布的参数取值范围为0＜α＜0.1，β＞2。

随着冷链技术的快速发展，零售商可以通过冷链技术来影响产品变质率的大小。假设生鲜产品在常温下的变质率为θ（t），随着时间越长产品的变质率也会越强，在考虑接受冷链服务时，生鲜产品的变质率将变为（1-m）θ（t），m 为保鲜投资水平，m∈（0，1）。当引入冷链后，冷链服务成本为λm2/2，λ 为冷链服务成本因子，且为正整数。保鲜技术一方面可以降低生鲜产品的变质率，但另一方面也会因投资保鲜技术而增加总成本的支出，这就需要零售商综合保鲜技术对总成本的影响。

二、库存决策模型的构建

现实生活中，新鲜肉蛋、果蔬等食品从生产到销售这一整段时间内，其新鲜度会随着时间的变化而降低，直至腐烂变质。在通过实地调研，了解到当前零售商极少存在缺货情况，因此构建库存模型时，假设模型不允许缺货且不考虑补货提前期。选择一种类型的易变质产品作为代表，结合问题描述中阶梯需求和二参数的Weibull分布变质率来构建模型。在此基础上，根据文献［7］的内容，假设模型不考虑易变质品的处理成本。原因是易变质生鲜品发生变质不能销售后通常当垃圾处理，相对于其他成本来说处理成本较小，可忽略不计。在以上的前提条件下开始构建库存模型。参数符号及定义如表1所示。

表1 参数符号及定义Table 1 Parameter symbols and definitions

期初，零售商采用及时补货策略使得库存达到最高水平，此时的库存水平为Q。在不考虑安全库存的订货周期内，由于市场的需求以及在冷链技术投入下产品的变质导致库存水平连续下降，特别地，在t1时间后库存下降更快，最终在t2时库存水平下降为0。产品库存水平的变化如图3所示。

图3 库存水平变化Fig.3 Inventory level changes

在（0，t1）时期内，库存水平在需求a 以及保鲜技术投资下的变质率的共同影响下连续下降，此阶段的库存水平记为I1（t）。同理，在（t1， t2）时期内，需求为b，此阶段的库存水平记为I2（t）。根据文献［1］建立库存与变质率、需求之间的基础模型，即dI（t）/dt+θ（t）I（t）=-D（t）。库存水平I（t）的变化可以用下面的微分方程来表示：

因为在t2时刻库存降为0，边界条件满足I（0）=Q，I（t2）=0，在求解过程中，涉及到指数项以及幂指数项时，本文采用二级泰勒级数展开进行近似处理。求解上述微分方程可得：

因为边界条件I（t2）=0，所以可以求得I2（t）的表达式为

当t1≤t≤t2时，库存水平满足I1（t1）= I2（t1），求解得：

由边界条件I（0）=Q，可得一个补货周期内系统的总的订货量为

一个周期内总成本的各个要素分别可以表示为

1）订购成本：Cs=S。

2）保鲜成本：Cm=λm2/2。

3）库存持有成本Ch：

4）变质成本Cr：

所以，一个周期内的总成本可表示为

三、库存最优解分析

（一）最优解存在性及唯一性证明

结合0＜m＜1以及其他参数的取值，可得：

命题1 如果

证明：将C(m)对m进行求导。可得：

（二）数值计算及灵敏度分析

通过Matlab及具体数值来求解库存系统的最优策略，并对模型中的主要参数进行灵敏度分析。考虑一个库存系统，系统中的各个参数的取值通过调研并结合文献［3］、文献［17］分别设置如下：a=400，b=600，α=0.01，β=3，t1=5/7，t2=1，h=8，r=1，S=150，λ=15。经验证，参数的取值满足上述模型成立的充分条件，即通过求解可以得到：保鲜投资水平m*=0.540 6，最优订货量为Q*=457.772，一个周期内最低成本C*=2 147.8。

零售商的最优补货策略是由模型中的参数决定的，在实际生活中，部分参数会随着外部情况的变化而变化，也会使得订货策略随之发生改变。本文在上述计算分析的基础上，通过改变相关参数的值来进行灵敏度分析，可以更直观地看出参数的变化对订货策略的影响，进而更好地为企业节约成本。表2为变质率参数变化对最优订货策略的影响。其中Δm*、ΔQ*、ΔC*分别表示各相关参数变化引起对应参数的最优解变化百分比。

表2 变质率参数变化对最优订货策略的影响Table 2 Influence of deterioration rate change on optimal ordering strategy

由表2 可知，当流动环境因子α 和存储环境因子β 增加时，最优订货策略波动较大，最优解对流动环境因子的敏感性要大于存储环境因子。当α 增加时，保鲜投资水平上升，总成本上升；当β增加时，保鲜投资水平下降，总成本降低。易变质品在销售时流动环节越少、越快，造成的损坏就会越轻，变质率也越低，从而可以减少保鲜投资水平，进而降低成本。存储环境因子的变化是通过对仓储的温度、湿度等作用来降低变质率。因此，适当调节仓储的温度、湿度等因素，降低存储因子，变质率也会随之变小。当变质率降低时，保鲜投资水平就会下降，库存系统的成本也随之降低。

表3 为单位持有成本变化对最优订货策略的影响。由表3 可知，单位持有成本h 增加，最优订货量减少，最优保鲜投资水平和总成本增加。当库存成本持续增加时，零售商通过减少最优订货量来减少库存持有成本；此外，通过提高保鲜投资水平，可以更好地保证在固定周期内产品的新鲜度，同时可以减少订货量，减少持有成本增加带来的损失。

表3 单位持有成本变化对最优订货策略的影响Table 3 Influence of change of holding cost per unit on optimal ordering strategy

单位变质成本变化对最优订货策略的影响如表4 所示。由表4 可知，单位变质成本r 增加，最优订货量减少，最优保鲜投资水平和总成本增加。变质成本增加，零售商就会增大保鲜投资水平来减少变质，此外还会通过减少订货量来减少变质损失。

表4 单位变质成本变化对最优订货策略的影响Table 4 Influence of change of deterioration cost per unit on optimal ordering strategy

保鲜投资成本因子变化对最优订货策略的影响如表5 所示。由表5 可知，保鲜投资成本因子λ 增加时，保鲜成本增加，最优保鲜投资水平下降，最优订货量和总成本增加。

表5 保鲜投资成本因子变化对最优订货策略的影响Table 5 Influence of fresh-keeping cost change on the optimal ordering strategy

总之，当需求量发生阶梯式变化时，有两种变化情况。表6为市场需求变化对最优订货策略的影响。由表6 可知，当阶梯变化在a 值以上时，随着b 值的不断增大，最优保鲜投资水平、最优订货量和总成本都在增大，即当市场需求量突增时（例如周末、节假日城市生活区的生鲜店水果店），零售商为满足消费者需求以及提高利润会增加订货量，相应的最优保鲜投资水平也会增加，在两者的共同作用下总成本也会增大。当阶梯变化在a 值以下时，随着b 值不断降低，最优保鲜投资水平、最优订货量和总成本都在减少，即当市场需求突减时（例如周末、节假日写字楼区域的水果店），为了减少运营成本，零售商会减少订货量和保鲜投资水平，在满足市场需求的前提下，减少不必要的成本。当b值出现阶梯变化时，阶梯高度差越大，最优保鲜投资水平以及总成本越敏感，所以零售商应较精确的把控市场需求，避免造成成本过大，降低利润。

四、结语

本文构建一个易变质品的库存订货与保鲜投资水平的联合决策模型。其中，需求满足阶梯变化分布，变质率服从二参数Weibull 分布，库存系统不允许缺货。同时，考虑产品的变质成本、保鲜投资成本，以总成本最小化为目标，构建相应的库存模型。通过对所建模型的分析和数值求解，得到了库存系统的最优库存策略。通过计算以及对相关的参数进行灵敏度分析，可以得到以下结论：受Weibull 分布影响的变质率对最优订货策略波动较大，最优解对流动环境因子的敏感性要大于存储环境因子。在流动环境因子增加时，保鲜投资水平及总成本同步上升；在存储环境因子增加时，保鲜投资水平和总成本都降低。相较于其他成本，总成本和最优解的变化对单位持有成本更敏感；当需求发生阶梯突变时，阶梯变化幅度对最优库存策略越敏感。

结合实际情况展开上述结论，可以为零售商提出以下库存管理启示：第一，库存持有成本增大时，零售商要减少订货量，同时降低保鲜投资水平。尽可能地采取仓储技术手段来减少库存持有成本，如在存货较多时尽快通过价格折扣、打包销售等促销措施来减少库存。此外，引入RFID 技术，随时对库存量进行监控，并及时反馈库存温度，降低保鲜投资成本。第二，零售商在面对需求突变时要有预案，并及时采取应对措施，如及时进行库存的收储和清理：需求正突变时，零售商可以提前进行备货，增加存储面积和前置销售面积，并可以采取联合库存管理策略，及时租用或与第三方进行协调，对货物进行收储以便需要时能迅速满足消费者的需求；需求负突变时，零售商可以采取“少订多次”的方式减少库存，以及提前通过促销活动降低库存滞货。第三，减少冷链易变质品在销售期间的人为损坏程度和不必要的移货，必要时设置一定的导购人员进行产品讲解和监管。此外，零售商可以采用先进的储存及包装设备并加强监管，如冷链、一次性保鲜膜、一贯制包装等，既可以增加保质期，也可以更好防止在消费过程的人为损害。

本文构建的模型以及对企业库存管理的建议适用于具有一定生命周期的生鲜产品，这些产品的销售会受到需求和变质率的双重影响。此外，本研究也可以从其他角度再进行拓展，如考虑订货提前期、允许缺货、产品非立即变质或者需求会受到定价或库存水平影响等情况。