完全竞争市场中易逝品广告投入的奇摄动解

包立平，王　攀

(杭州电子科技大学大学理学院，浙江 杭州 310018)



完全竞争市场中易逝品广告投入的奇摄动解

包立平，王攀

(杭州电子科技大学大学理学院，浙江 杭州 310018)

摘要：在完全竞争市场中，价格服从随机微分方程的情况下，研究了易逝品的最优订货量与广告投入，应用Feynman-Kac公式得到最优订货量与广告投入的微分方程，采用奇摄动渐近展开的方法得到了上述微分方程的形式渐近解，并得到形式渐近解的一致有效估计.

关键词：完全竞争市场；易逝品；订货量；广告投入；奇摄动

0引言

在非完全竞争市场中，不确定环境下零售商的最优订货量和广告投入问题已得到广泛的关注.文献[1]在易逝品最优定价、订货量和广告投入的联合确定中建立了关于价格、订货量和广告投入的数学模型，并以广告投入和价格为决策变量，求出了最优广告投入和价格.文献[2]在单周期库存模型中加入广告投入这一因素，假定需求是广告的增凹函数，研究了最优广告投入和订货量.文献[3]在Newsboy问题中考虑广告对需求的影响，建立了广告投入策略与订货量策略联合确定的随机模型，证明了不确定环境下的最优广告投入应小于确定环境下的最优广告投入.文献[4]应用微分对策理论构建了动态广告模型，并用动态规划原理和最优控制理论研究了制造商和零售商的合作广告策略问题.但上述研究均考虑非完全竞争市场中订货量和广告投入的确定，仅建立了关于简单随机变量的数学模型.文献[5]根据广告投入和销售量的关系建立了数学模型，并设计了一种广告投入策略并对模型进行求解，但对此模型的研究仅能为短时期内广告投入对销售的影响提供依据.本文主要研究的是完全竞争市场中单个零售商的决策问题.首先，建立关于订货量和广告投入的模型，应用Feynman-Kac公式得到了关于平均最优订货量和广告投入的数学表达式；然后，采用奇摄动渐近展开的方法得到了其形式渐近展开式；最后，应用De Giorgi 迭代技术证明了形式渐近展开式的一致有效性.

1模型建立

设易逝品的价格P(t)满足如下的随机微分方程：

(1)

其中，r为期望回报率，σ为风险因子，ω为标准的Brown运动，ε>0为小参数.

假设有如下条件：

1)随机需求下市场需求函数采用混合函数D(P,A)=d1(P)+d2(A).其中，d1(P)为非增函数，d2(A)为非减函数，A为广告投入；

首先求最优广告投入和订货量.令Π(Q,P,A)是价格为P，广告投入为A和订货量为Q时的利润，那么有：

(2)

其中，C为单位成本，S为单位缺货成本，R为易逝品期末的残值.

(3)

下面讨论平均最优广告投入与订货量.

设u(P,t)=EP,tA(P(T))，则由式(1)及Feynman-Kac公式得：

(4)

设v(P,t)=EP,tQ(P(T))，则由式(1)及Feynman-Kac公式得：

(5)

对式(4)作对数变换，即令x=lnP，则式(4)变为

(6)

同理，式(5)变为

(7)

2形式渐近展开

对u(x,t)作如下的形式渐近展开：

u(x,t)=u0(x,t)+εu1(x,t)+ε2u2(x,t)+…+εnun(x,t)+…,

(8)

(9)

定理1假设满足条件1和条件2，则有

u0(x,t)=A(ex+r(t-T)),

(10)

(11)

证明由一阶线性偏微分方程的解法，式(10)可从下式解得：

(12)

令y=x-rT，则u0(x,T)=Φ(y)=Φ(x-rT)=A(ex)=A(ey+rT)，故u0(x,t)=A(ey+rt)=A(ex+r(t-T)).

同理，由一阶拟线性偏微分方程的解法，式(11)可从下式解得：

(13)

由一阶拟线性偏微分方程的通解结构可得式(11)中第1式.

定理1得证.

同理，若设

v(x,t)=v0(x,t)+εv1(x,t)+ε2v2(x,t)+…+εnvn(x,t)+…,

(14)

将式(14)代入式(7)，则有以下定理.

定理2假设满足条件1和条件2，则

v0(x,t)=Q(ex+r(t-T)),

(15)

(16)

3一致有效估计

定理3当满足条件1和条件2时，记

(17)

证明将式(17)代入式(6)中第1式得：

(18)

在式(18)两端同乘以ψχ[τ1,τ2]并在Ω上积分整理可得：

令Ik=∫Ωψ2dx，则有

4算例

下面求此时的u0(x,t),v0(x,t).

5结束语

本文建立了完全竞争市场中易逝品的广告模型，运用Feynman-Kac公式得到了关于易逝品的平均最优广告投入与平均最优订货量的数学表达式，采用奇摄动渐近展开的方法得到了其形式渐近展开式.根据线性抛物型方程的极大值原理和奇摄动渐近展开的余项估计方法，应用DeGiorgi迭代技术得到了上述形式渐近解的一致有效性，从而得到了完全竞争市场中易逝品的最优广告投入与订货量的求解方法.并通过一个算例验证了上述方法的可行性，这表明应用Feynman-Kac公式建立平均最优广告投入与平均最优订货量的模型，并使用奇摄动渐近展开方法进行求解是有效的，从而对于确定广告投入与进行销售管理有一定的指导意义.

参考文献

[1]熊中楷,彭志强.易逝品最优定价、订货量和广告投入的联合确定[J].工业工程与管理,2009,14(2)：32-37.

[2]KHOUJAMJ.Optimalordering,discounting,andpricinginthesingle-periodproblem[J].InternationalJournalofProductionEconomics, 2000, 65(2): 201-216.

[3]周永务,杨善林.Newsboy型商品最优广告费用与订货策略的联合确定[J].系统工程理论与实践,2002,22(11)：59-63.

[4]王秀青,蔡立军.竞争环境下的广告策略研究[J].纺织高校基础科学学报,2009,22(3)：404-408.

[5]周静，杨继明,尹家兵.不确定环境下影响销售的广告投入数学模型研究[J].湖南工程学院学报(自然科学版),2013,23(3)：51-53.

[6]包立平.高维欧式期权定价模型的奇摄动解[J].应用数学与计算数学学报,2011,25(2)：194-204.

Singular Perturbation Solutions of Advertising Investment for Perishable Goods in the Perfectly Competitive Market

BAO Liping, WANG Pan

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

Abstract：In perfectly competitive market, in the case of price subject to stochastic differential equations, the optimal order quantity and advertising investment of the perishable goods(PG) is researched, applying Feynman-Kac formula to get the optimal order quantity and advertising investment differential equations, using the singular perturbation asymptotic expansion method to get the formal asymptotic solution of differential equations, and obtain the uniformly valid estimation.

Key words：fully competitive market; perishable goods; order quantity; advertising investment; singular perturbation

DOI：10.13954/j.cnki.hdu.2016.04.016

收稿日期：2015-11-09

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51175134)

作者简介：包立平(1962-)，男，浙江定海人，副教授，微分方程奇摄动理论.

中图分类号：O175.2

文献标识码：A

文章编号：1001-9146(2016)04-0076-04