5G时代数学实验混合式教学的设计与思考

张科

［摘  要］ 随着5G时代的到来，学生的学习时空发生了巨大变化，网络与面授混合式教学将成为未来教育的“新常态”． 例谈初中数学实验混合式教学的设计与思考，将信息化互动实验课堂与传统实验素材相结合，讨论教学中线下动手操作与线上分享交流、学科特点与白板之间的问题，给出优化策略，改进几何教学，培养学生的几何直观．

［关键词］ 混合式教学；初中数学实验；希沃白板；动态几何软件

前言

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确了促进信息技术与数学课程融合的理念，即合理利用现代信息技术，设计生动的教学活动，促进数学教学方式方法的变革，教师可利用数学软件等教学工具开展数学实验，将抽象的数学知识直观化，促进学生对数学概念的理解和数学知识的建构  ［1］. 在新课标背景下，随着5G时代的到来，线上线下混合式教学将成为未来教育的“新常态”，2020年加快了这一进程. 混合式教学是面对面教学和网络教学两种教学模式按照一定的比例合理混合以达到最佳的教学效果，并完成学习目标的新模式.

数学实验是学生动手动脑，以“做”为支架的数学教与学的活动方式  ［2］，传统实验教学的实物素材在给学生看得见摸得着的直观体验的同时，却常受限于数量有限以及尺寸固定等原因，在数学实验试错、成果展示等方面影响学生线上线下课堂探索. 交互式课件制作软件“希沃白板5”（简称白板）已逐渐成为课堂教学的常态化教学工具，“几何画板（Sketchpad）”“网络画板（Netpad）”“GeoGebra（简称GGB）”是适合学科特点的动态几何软件，本文以苏科版《义务教育教科书·数学实验手册》  ［3］“拼图与乘法公式”一课为例，在传统实物素材的基础上增加学生易于上手的计算机模拟实验过程，实施初中数学实验混合式教学，体现信息技术对于数学实验教学的助力，实现当代教育对信息技术与学科深度融合的要求．

教学过程

1. 知识回顾，提出问题

教师按图1的方式将6张长、宽分别是a，b的小长方形桌面拼接起来，利用整体与部分的等积表示，得到3a·2b＝6ab，并拼图验证“单项式×单项式”的运算法则；教师按图2所示的方式计算推拉窗的等积关系，得到a （b-c） ＝ab-ac，并拼图验证“单项式×多项式”的运算法则，让学生体会等积既可以部分拼接整体，也可以整体裁切部分；通过计算图3①所示的菜园面积，得到（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd，并拼图验证“多项式×多项式”的运算法则，同时在白板中内嵌动态几何软件制作的GIF动图——图3②，让学生从中体会等式的一般性．

技术解密 ①本环节不仅大量利用了白板强大的动画效果，而且使用了精美的图片，快速吸引住了学生的眼球. 但需要教师备课时花费精力利用白板的“去背景”功能抠图，使图片与教学主题相契合，提高教师的教学效率．

②在拼图验证整式乘法法则的过程中，可使用“蒙层”工具，模拟数学课堂的推演过程．

③当长度a，b，c，d发生变化时，将动态几何软件制作的GIF格式的图片嵌入白板中，这样做的优点是避免了教学过程中动态几何软件与白板软件的相互切换，打破了软件壁垒，保证学生有连续的视觉过程以及连贯的思维过程．

2. 引出课题，开展实验

在刚才的研究过程中，学生发现通过拼图可以验证一些等式，于是教师明确课题为“拼图与乘法公式”，研究方法为等积法，从而确立研究方向和方法，引发学生思考．

（1）探索和的完全平方公式.

引导学生剪下《数学实验手册》附录5中的1张A型纸片、1张B型纸片、2张C型纸片，拼成大正方形，并请学生展示自己的拼图，用不同的方法表示该正方形的面积. 在初中数学实验混合式教学中，并没有摒弃传统的实验素材，学生不仅能在手中体验各型纸片的拼接，也能在白板中无缝展示实验成果，解决线下动手操作与线上分享交流脱钩的痛点．

如图4所示，从图形来看，拼好的大正方形的边长为（a＋b），面积为（a＋b）2，若看成四部分面积和，则为a2＋2ab＋b2，于是得到和的完全平方公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.从符号来看，左侧（a＋b）2即（a＋b）（a＋b），使用整式乘法法则也能验证其正确性. 这说明等积变换和多项式乘法法则是相通的，完全平方公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2就是“多项式×多项式”，即（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd中c＝a，d＝b的特殊情况，它们其实是同一对象的图形表征与代数表征！

追问：你能用这张拼图来解释a2＋b2这个代数式的几何奥秘吗？还有其他求面积的方法吗？你能根据等积法写出一个等式吗？（a2＋b2表示边长分别为a，b的两个正方形的面积和，而且这两个正方形的面积和也可以看成边长为（a+b）的大正方形的面积减去两个相同的长、宽分别为a，b的长方形的面积，所以有等式a2＋b2＝（a＋b）2－2ab. 观察得到的等式，与完全平方公式相比，只是将2ab移项而已，原来同一图形转换等积计算对象，能使乘法公式变形！）

技术解密 ①在线教学时教师可将白板互动课件分享给学生，课件支持电脑、一体机、网页和手机兼容显示，多种设备可以无缝操作，便于学生随时随地开展实验探究及成果分享.

②拼图时使用白板的“克隆”与“拖动”功能，能将 A型、B型、C型纸片拖动出无限个副本，保障学生与几何对象的自由互动，依照自己的目標与想法去操作几何对象，观察其中的性质或关系，为学生提供一个探索实验的环境，培养学生的几何直观素养．

③在拼图验证的过程中，当学生完成拼图得到等式后，使用白板的“缩放”功能，将图形缩小并设置“克隆”，分别选中对象后拖出1张A型、2张C型、1张B型纸片，利用“＝”“＋”连接起来，并适时显示完全平方公式，使学生理解数与形的对应关系，简洁明了．

（2）探索差的完全平方公式，以及和与差的完全平方公式的关系.

抓住知识的生长点，提出为何研究乘法公式. 用图形表征“正方形”，用代数表征“和的平方”，明确接下来研究的对象为“差的平方”．

提出问题：你觉得（a－b）2的几何表征是一个什么样的图形呢？学生经过激烈讨论认为，这是一个边长为（a－b）的正方形. 教师提示：利用刚才的4张纸片拼出边长是（a－b）的正方形，可能需要裁剪.拼出图5后可获得差的完全平方公式（a－b）2＝a2－2ab＋b2.

取4张C型纸片，动手拼成如图6所示的图形，让学生利用等积法尝试写出一个等式.有了前面的探究经验，通过研究对象的两种等积表示，得到等式（a＋b）2－（a－b）2＝4ab. 这样学生就找到了和、差的完全平方之间的关系，同样可以使用符号语言进行验证，体现数与形的高度统一．

技术解密 可以使用白板授课模式下的“笔”工具代替传统课堂的板演评析，其优势是更易获得图形和移动图形，对同一图形进行讲解时可随意切换粗细与颜色，指向清晰明确，更方便网络与面授混合式实验教学．

（3）探索平方差公式.

探索和的平方（“和×和”）与差的平方（“差×差”）后，猜测下一步的研究方向为“和×差”.取出图7所示的纸片，标注边长，将它裁剪成两部分后拼成一个长方形，利用等积法尝试写出一个等式.

学生沿图8的方式裁剪纸片后拼成一个长方形，这个长方形的长为（a＋b），宽为（a－b），于是得到平方差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2，说明研究方向是正确的．

（4）平方差公式的應用.

实验教学进行到这一环节，已明确“知识是什么”，从“知识去往何处”这一生长点出发，研究其应用．

乘法公式因其特殊性不仅对学生以后学习一元二次方程、二次函数等知识有很重要的作用，也会为一些运算带来简便方法，比如：

①图9①由2个边长分别为100和99的正方形重叠而成，求图中阴影部分的面积.

②图9②由100个边长分别为100，99，98，…，2，1的正方形重叠而成，按这种方式重叠而成的图形中的阴影部分的面积是多少？

师生活动：使用平方差公式的逆运算解决问题（针对第②问）.

1002-992=100+99；

982-972=98+97；

962-952=96+95；

…

22-12=2+1.

所有等式相加，即得阴影部分的面积为5050.改变内外正方形的边长之差，仍可使用平方差公式的逆运算解决问题．

技术解密 ①图9、图10这种绚丽的动图由动态几何软件中的“深度迭代”功能制作而成，可见动态几何软件对于复杂图形的生成性能十分强悍．

②此处不仅可以将高帧率的GIF动图嵌入白板，还可以将网络画板嵌入白板，学生依照自己的目标与想法操作几何对象，观察其中的性质与关系．

3. 小结与思考

（1）完全平方公式的对立与统一.

通过拼图探究，学习了两个完全平方公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2和（a－b）2＝a2－2ab＋b2，其实，它们可以合二为一，即将－b看成整体，则（a－b）2为 ［a＋（－b）］2，如图10所示，它们在图形表征上也可以互相转化！

技术解密 图10将网络画板嵌入白板，学生通过使用“拖动”功能，轻松从图形上理解两个完全平方公式的对立与统一．

（2）互动游戏.

为检验学生的掌握情况，可让学生组队参加如图11所示的“数学实验运动会”PK赛，组长成立“智囊团”帮助小组获胜，胜负后使用“班级优化大师”及时进行评价和反馈．

技术解密 白板“课堂活动”有几种不同的形式，分别为“趣味分类”“超级分类”“选词填空”“知识配对”“分组竞争”“判断对错”等，本环节使用的是“判断对错”这一形式.活动中有紧张刺激的背景音乐与立即反馈正误的动画效果，把传统课堂中反复乏味的练习变成紧张刺激的互动游戏，学生都沉浸在游戏氛围中，使课堂活动不再是教师一个人的活动. 游戏结束后可以选择再玩一次或查看答案，加强练习的多样性、趣味性和利用性，可以大大加强学生的参与意识，提高学生的学习效果. 比赛结束后，使用“班级优化大师”及时对每一个小组进行点评，反馈学习效果，方便课后查漏补缺．

（3）猜想三项完全平方公式、完全立方公式与立方差公式的图形表征.

①对于（a＋b＋c）2，你能设计一个拼图游戏吗？是什么图形？大概形式是什么？是四项还是五项？②完全立方公式（a＋b）3对应什么图形？（棱长为（a＋b）的立方体，研究其体积，利用等体积法验证）③立方差a3－b3呢？（棱长为a的立方体挖去一个棱长为b的立方体）. 为学生搭建增强现实（AR）环境继续数学实验探索，撰写实验报告记录发现．

技术解密 随着5G网络速度和芯片算力的增强，便携式增强现实（AR）、虚拟现实（VR）交互设备被普及到民用领域. 基于高速网络的三维动态图形的可视化技术被运用于实验教学环境. 在现实环境下搭建虚拟的立方体图形，可以帮助学生从二维跨越到三维，跳出等积法仅是等面积的思维惯性. AR可以让任何一种数学对象随时与现实世界交互，从而突破传统实验器材的时空限制，为学生在网络空间自主学习提供了可能．

一些思考

5G时代的信息技术对丰富学生的认知过程提供了技术革新，先进的图形工具可以帮助学生实现思维过程“可视化”，实验操作“交互化”，提高学生的思维品质和关键能力．

1. 混合式实验教学有助于直观体现数学核心思想

在传统的初中数学实验教学中，教师经常使用实体实验材料进行探索，无法突破其局限性，而信息技术的发展为数学实验教学提供了更有利的条件. 数与形是初中数学的两大支柱，数形结合思想就是通过以数解形或以形助数的方式探索数学问题. 本课例几乎每一个环节，都渗透着数形结合思想. 例如，在“探索和的完全平方公式”环节中，使用白板的“克隆”功能，绘制一个图形验证等式，与符号等式一一对应. 在“完全平方公式的对立与统一”环节中，学生依照自己的目标与想法拖拽图形，理解两个完全平方公式的统一. 在“猜想三项完全平方公式、完全立方公式与立方差公式的图形表征”环节中，为学生搭建增强现实（AR）环境，研究三项完全平方公式、完全立方公式与立方差公式，将数学实验探索延伸到课后. 这些混合式教学操作环节在传统的数学实验教学中很难实施，但依托技术却能轻松实现. 对于传统的数学实验材料，手脑协同仍有易于操作的优势，故笔者在混合式教学设计中，并未舍弃传统. 5G时代技术赋能的混合式实验教学，与传统的纸片类实验教学并非对立，在技术与课堂融合的过程中完全可以取长补短，两手抓两手都要硬．

2. 混合式实验教学能够培养学生的创造力、激发学生的探究兴趣

教育的本质在于参与，要求教师充分调动学生的积极性、主动性，培养学生的创造力，让学生积极、主动地参与课堂活动. 例如利用白板“克隆、拖动”的功能，可以轻松实现拼图过程，直观体现部分与整体，完成拼接与裁剪；“笔、擦除、蒙层”等书写推演工具便于屏幕批注，可以及时将学生的个性思维记录下来并呈现出来，将传统的PPT固定预设式线性课堂教学转变为随时可以将学生的思维呈现出来的动态非线性课堂教学，整个过程培养着每一个学生的个性与创造力. “判断对错”等课堂活动，在规定时间内营造的紧张感，背景音乐营造的氛围感，当即反馈正误的动画效果营造的轻松感，将枯燥的习题变为紧张刺激的游戏，能够激发学生的兴趣，捕捉学生学习的闪光点，使学生在课堂中的表现一目了然，让学生在每一次及时的评价中不断进步和发展. 可见，混合式实验教学能包容学生的个性，培养学生的创造力，激发学生的探究兴趣．

3. 混合式实验教学有益于教师“增效减负”，回归课堂

实验教学中的图形，在互联网上下载后可使用白板自带的图片工具加工处理使用. 因学科特点，部分几何图形可以用动态几何软件制作成GIF动图. 如果需要在混合式实验教学中为学生提供一个自主探索的实验环境，让学生依照自己的目标与想法操作几何对象，可将网络画板嵌入白板. 另外，白板的定时自动保存功能可将课件数据及时备份到云端，备课再也不用“返工”，使数据安全问题得到了解决. 在5G时代，技术与教学相互融合，有助于教师高效备课，将更多的精力和时间用于关注学生与课堂本身．

在高速度、強算力的5G时代，以人工智能、区块链、物联网为代表的新一代信息技术已经渗透到了生活的方方面面，VR、AR等计算机视觉技术突破了时间、空间维度的限制. 和生活中其他领域一样，学生也迎来了全新的实践性学习环境和沉浸式学习体验. 将技术作为学生学习数学和交流沟通的工具，让其投入到更有价值的数学探索活动中去，混合式实验教学成了一种崭新的数学教学方式. 混合式实验教学可借助技术设计开发低成本、高效率的数字化工具，让学生在网络实验教学和面授实验教学的操作活动中都能获得真实的学习体验. 激发“我想做”“我能做”的认知情怀，驱动“我也想知道”“我也能学会”的内在认知兴趣，通过实践创新，激活思维发展. 在问题解决的过程中，学生逐步体会数学知识之间、数学与生活之间的联系，开阔视野，激发创造力，提高信息素养  ［4］，形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神．

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部． 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］． 北京：北京师范大学出版社，2022．

［2］董林伟． 初中数学实验的理论与实践研究［M］． 南京：江苏凤凰科学技术出版社，2016．

［3］董林伟． 数学实验手册［M］． 南京：江苏凤凰科学技术出版社，2015．

［4］义务教育数学课程标准修订组． 聚焦核心素养指向学生发展——义务教育数学课程标准（2022年版）解读［J］． 基础教育课程，2022（10）：12-18．