HPM视角下“有理数的乘方”教学设计与思考

徐敬元 黄贤明

［摘  要］ 数学史在数学教学中发挥着独一无二的教育价值.乘方是初中数学的重要概念，拥有着丰富的历史底蕴.在HPM视角下，以苏科版“有理数的乘方”一课的教学设计为例，指出HPM教学应以目标为导向选取史料，以活动为载体加工史料，以德育为基点运用史料.

［关键词］ HPM；有理数的乘方；教学设计

数学史作为数学文化的重要构成部分，在数学教学中发挥着独一无二的教育价值. 已有的实践研究证实，数学史具有知识之谐、方法之美、探究之乐、能力之助、文化之魅和德育之效的教育价值  ［1］ . 乘方是初中数学课程中的重要概念. 苏科版教材先创设“拉面”的情境引入课题，然后通过折纸实验得到多个2相乘的算式，进而给出了幂的符号以及乘方、底数、指数和幂的概念.

对于初中生来说，从26到an到四个数学概念是认识上的一次飞跃. 在实践中发现，学生首次接触幂的符号时，对其认识还停留于过去的经验，将26认为是2×6，并没有将符号所表示的内容与四个概念对应起来. 因此，对于符号的给出与乘方概念的建构并非如同教材设计的那样顺利，若“蜻蜓点水”般带过，则学生形成的概念大多停留于记忆层面而非理解层面，这不利于后续乘方运算的探索. 事实上，从历史上来看，关于乘方的历史故事较为丰富，幂的符号的起源与发展也沉淀着深厚的历史文化底蕴，如今幂的符号是一代代数学家在生动实践中的智慧结晶，是帮助学生理解概念的重要素材，拥有丰富的德育价值. 基于此，在HPM视角下对“有理数的乘方”一课进行教学设计与思考.

史料的内容及其运用

1. 关于乘方的历史故事

（1）棋盘摆米的故事.

故事大意为：古印度人西塔发明了国际象棋而受到国王的赏赐，西塔要求按“1，2，4，8，…”的规律在64格棋盘内摆上对应数的米粒，国王不假思索就答应了. 事实上，格子内的米粒数依次对应着“20，21，22，23，…，263”，所需的米粒数近乎1. 8×1019.

（2）阿基米德的大数记法.

古希腊数学家阿基米德（Archi-medes，公元前287年—公元前212年）在《数沙者》中引入了大数记法：从1数到1万万记为一阶数，从1万万数到1万万个1万万记为二阶数，从1万万个1万万数到1万万个1万万个1万万记为三阶数，以此类推. 他得到“充满宇宙”的沙子数不超过1000个七阶数，即不超过1051.

2. 关于幂的符号的发展历史

关于幂的符号的发展大致经历了两个阶段   ［2］.

第一阶段：由于古代数学运算并没有涉及较高次的幂，所以古代数学家对于幂的符号的设计从平方与立方的符号出发，通过平方与立方符号的组合来表示更高次的幂. 例如：古希腊数学家丢番图（Diophantus，246—300）在《算數》中用“ΔY”表示平方，用“KY”表示立方，四次方就是“ΔYΔ”的形式，五次方是“ΔKY”的形式. 显然，这种表示幂的方法虽然围绕着同底数幂的乘法运算法则，但对于较高次的幂却难以表示，并且这样的表示方法没有将指数与底数联系起来.

第二阶段：16世纪，随着法国数学家韦达（F.Viète，1540—1603）提出“字母表示数”，幂的记法出现了“新天地”. 对于“a2，a3，a4，a5，…”的表示，数学家们众说纷纭. 比如韦达提出用“a.q，a.cu，a.qq，a.qcu，…”来表示；英国数学家哈里奥特（T.Harriot，1560—1621）提出用“aa，aaa，aaaa，aaaaa，…”来表示；法国数学家艾里冈（P.Hérigone，1580—1643）提出用“a2，a3，a4，a5，…”表示；比利时数学家罗曼努斯（A.Romanus，1561—1615）提出用“a（2），a（3），a（4），a（5），…”来表示……直达1637年，法国数学家笛卡儿（R.Descartes，1596—1650）创用了幂的新符号“an”，这个符号一直沿用至今.

从历史上来看，幂的符号从图形符号逐渐向字母符号发展，随着较高次幂的表示的需要，符号设计趋向于实用、便捷，利于书写，不易混淆，且能够体现幂的意义.

3. 史料运用

本节课从多个角度融入数学史（见表1），旨在以数学史激发学生的探究兴趣，追溯幂的符号的发展历史，促使学生理解与运用乘方的意义；旨在提升学生的创新意识，加强学生数学抽象、数学运算等数学素养的培养.

“有理数的乘方”的教学设计

1. 故事引入

呈现棋盘摆米的故事.

问题1  从数学的角度思考，如果你是国王你会不会答应西塔的要求？

问题2  按照西塔的摆法，第4格、第5格应该放多少粒米？

教师引导学生呈现3个2相乘、4个2相乘的过程（如图1所示）.

追问：第10格放的米粒数应该怎么表示？第64格呢？

教师引导学生将米粒数的运算过程表示出来，并指出这是多个相同的数相乘的运算，类比乘法运算的经验，呈现乘方的概念：求n个相同因数的积的运算叫乘方.

设计意图 数学史上的名人轶事是课堂教学的重要素材，这里选取“棋盘摆米”的故事既可以引出乘方运算，又可以激发学生的学习兴趣，为课堂增添了人文色彩. 问题1的设计让学生站在国王的角度用数学思维思考问题，从对米粒数的感性认识转向理性思考；问题2及其追问让学生在理性角度分析米粒数，揭示乘方运算的概念及其学习意义，同时为后续引出乘方符号埋下伏笔.

2. 新知探索

活动1  设计幂的符号.

63个2相乘是一个相当大的数（二十位数），书写起来也较为复杂，那么如何将63个2相乘用清晰、明确、简洁的符号表示出来呢？请你发挥创造力，设计幂的符号，并与小组成员分享一下你的设计思路.

学生激烈讨论，教师巡视. 在活动中，有学生根据小学平方、立方运算的经验，将63个2相乘写作263；有学生用三角形、圆形等基本图形设计幂的符号……讨论结束后，教师请学生代表上台分享他们的设计思路.

问题3  在设计幂的符号的过程中，需要注意哪些关键信息呢？

教师指出，设计的幂的符号要能揭示乘方运算的本质，即幂的符号要表示出多少个什么数相乘. 在符号设计过程中，教师引导学生联系过去探索的经验，类比平方、立方的书写，将63个2相乘记作263，读作“2的63次方”，并要求学生从形式上解释符号中各个数的含义.

问题4  若是64个2相乘，应该怎么表示？若是n个2相乘呢？若是n个a相乘呢？它们分别读作什么？

学生类比263的书写，依次写出264，2n，an，读作“2的64次方”“2的n次方”“a的n次方”. 教师指出：在乘方运算中，相同因数叫底数，相同因数的个数叫指数，乘方运算的结果叫幂（如图2所示）.

设计意图 由63个2相乘的复杂表示引发学生的认知冲突，揭示幂的符号的必要性. 同时以创造符号的活动激发学生“再创造”的热情，并培养学生的创新意识，促使学生积累数学活动经验. 教师加以提示与引导，让符号的设计与乘方的本质建立联系，提升学生的数学抽象素养，进一步加深学生对乘方概念的理解.

活动2  历史上幂的符号.

现在所学的幂的符号是一批批数学家在实践中不断革新、改良，最终呈现出的一份完美的“答卷”，这既源于他们对数学探索的“孜孜不倦”，又是他们智慧的结晶. 让我们回顾幂符号的产生与发展历史（如图3所示）.

问题5 幂符号的发展历史对你学习有理数的乘方有什么启示？

教师鼓励学生畅所欲言，并进一步深化对乘方的理解.

设计意图 通过重构幂符号的历史，一方面，让学生在历史中汲取前人的经验，形成对幂符号的文化性理解；另一方面，让学生在历史中感悟数学家的科学精神，感受数学符号的简洁美，进而实现数学史的“德育之效”.

3. 概念应用

例1 读一读，先列式再计算.

（1）25；（2）73；（3）（-3）4；（4）（-4）3.

例2 计算.

问题7  从符号的角度出发，乘方运算结果的符号如何确定？

教师先启发学生分类讨论底数的符号，并追问：正数的幂的符号如何确定？负数呢？以此引导学生回顾例1与例2的结果，促使学生总结出：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.

设计意图 从两个例题出发，引导学生表述各个算式的意义后进行计算，进一步加深学生对乘方概念的理解. 同时，指出乘方运算的优先性与运算结果的符号规律，培养学生分类、归纳、推理、总结的能力，发展学生的数学抽象素养.

4. 拓展提升

古希腊数学家阿基米德在《数沙者》一书中数清了“充满宇宙”的沙子数. 他从最大数字单位“万”开始，引入“万万（亿）”作为一阶单位，“亿亿”作为二阶单位，“亿亿亿”作为三阶单位，以此类推.

问题8  如何用幂的形式表示出“万”“万万”等单位呢？观察下列各式，并填空.

十：10 = 101；

百：100=10×10=102；

千：1000=10×10×10=103；

万：10000=10×10×10×10=104；

十万：100000=____=105；

百万：1000000=____=____；

千万：10000000=____=____；

万万（亿）：100000000=______=______.

教师引导学生总结底数为10的幂的规律，并补充解释：“亿亿”是1016，“亿亿亿”是1024，阿基米德提出“充满宇宙”的沙子数不会超过1000个七阶数，也就是不超过1051，由此可见，幂能够帮助我们把一个很大的数简单地表示出来.

设计意图 以顺应式呈现阿基米德数沙粒的故事，引发学生讨论以10为底数的幂的规律，为“科学记数法”的学习做铺垫，也进一步揭示乘方的价值意义.

5. 总结升华

教师呈现本课的总结提纲：

（1）通过本课的学习，你对乘方有了哪些认识？

（2）本课中的历史故事对你有什么启发？

（3）对于今天的学习，你还有哪些感想或疑惑？

设计意图 通过回顾课堂所学的概念，让学生完善知识体系. 通过回顾课堂渗透的数学史，让学生再次感受数学家的科学精神. 同时教师应关注学生求知欲的激发，通过让学生提出感想或疑惑，形成课后的拓展性作业，从而将学习延伸至课堂外.

教学反思

随着数学史的价值逐渐被教育工作者所重视，课堂教学中融入数学史是“大势所趋”. 数学史的融入并非只是复制、呈现相关史料，更应重视对史料的精选、加工、运用，使之更好地服务于学生新知的学习、兴趣的培养、文化的传承、思想的感悟，真正彰显数学史的教育价值，实现数学史从“史学形态”向“教育形态”的转变.

1. 以目标为导向的史料选取

在HPM视角下进行教学设计，教师常常会对数学史的选取产生困惑. 那么如何选取数学史，可使其满足可学性、有效性等原则呢？   ［3］首先，教师在选定课题的基础上查阅相关史料，初步筛选具有科学性与可学性的史料；其次，确定教学目标，在目标的导向下进一步精选史料. 例如，为达到“经历符号‘再创造的过程，积累数学活动经验”的目标，对于史料的选取就应偏向于幂符号的发展历史. 另外，笔者发现，中国古代幂概念的发展也有着源远历史，但是该史料并不能促进学生理解幂的概念，更多是一种文化熏陶，故没有将该史料融入教学设计.

2. 以活动为载体的史料加工

经历数学史料的选取后，下一步工作就是将史料转化为“教育形态”，即史料加工，如删减、修改、问题化等，以数学活动为载体呈现到课堂教学中. 例如，在幂的符号的加工环节中，先设计数学活动——“历史上幂的符号”，然后将史料精简化，梳理符号发展的线索，突出关键符号，设置“谈启示”的问题，进一步深化学生对乘方的理解.

3. 以德育为基点的史料运用

立德树人是当今教育的根本任务. 研究表明，数学史的德育价值主要围绕“理性、情感、信念与品质”   ［4］. 在数学德育的视角下，数学史也是渗透德育的有效途径. 从情感的角度来看，棋盘摆米的故事不仅生动有趣，还能激发学生“帮助”国王解决问题的热情；从理性的角度來看，幂的符号的设计环节，既能让学生追求创新，大胆设计，又能让学生回归理性，探索幂符号与乘方意义之间的关系；从信念的角度来看，幂的符号的发展历史告诉学生，数学的发展是曲折又光明的；从品质的角度来看，阿基米德的智慧能鼓励学生勤思乐思、勇于开拓. 在教学实践中，数学史并非教师的“作秀”工具，数学史的渗透有其深层次的价值与意义  ［5］. 教师应以学生的全面发展为价值导向，真正发挥数学史的“德育之效” .

参考文献：

［1］王鑫，岳增成，汪晓勤. HPM研究的框架与进展［J］. 数学通报，2021，60（06）：7-12+19.

［2］汪晓勤. 同底数幂运算律的历史［J］. 中学数学月刊，2015（01）：46-48.

［3］陈晏蓉，汪晓勤. 数学史料的选取原则与案例分析［J］. 教育研究与评论（中学教育教学），2017（12）：37-43.

［4］汪晓勤，邹佳晨. 基于数学史的数学学科德育内涵课例分析［J］. 数学通报，2020，59（03）：7-12+19.

［5］黄贤明. 数学史渗透数学教学的微思考——以“有理数”单元为例［J］. 中学数学月刊，2022（06）：49-51.