用数学的历史 讲数学的道理

浙江余姚市江南新城小学（315400） 顾 遨

小学生拥有旺盛的好奇心，喜欢刨根问底。对于一些问题，教师需要借助与之相关的数学史才能把道理说清。同时，教师借助数学史还可以把数学道理讲得深入浅出、生动易懂，帮助学生降低学习的难度，促进学生理解其中蕴含的数学本质。

一、知典明理——说清历史典故

在数学教学中，教师经常会遇到各种各样的“为什么”。例如，对于“分数的初步认识”，教材就编排了如图1所示的内容。

图1

教学了该内容后，教师还可以出示史料：在我国，分数概念产生于商代，西周时出现了分数的专用量名。战国时期，铜器铭文上出现了“半斗”“四分”等符号。而分数的记法在晚周青铜器铭文中的形式为“母”数，次“分”字，次“子”数，这已经与现代的分数记叙法相近了。公元前五世纪《孙子兵法》中的“则三分之二至”（《谋攻篇》）和“杀士三分之一而城不拔”（《军争篇》）等，非常接近现在的“几分之几”的记叙形式。

在探索历史的过程中，学生不但明白了分子、分母名称的由来，以及分数是怎么产生的，而且开阔了视野，对分数有了进一步的认识。

二、溯史寻理——道明来因去果

概念与定义的教学是数学课程中的重要一环。一种观念是怎样形成的？一个定义是怎样得出的？教材对于某些观念和定义的讲解只是给出一个结果。然而，数学史中蕴涵着丰富的内容，对这些知识脉络进行梳理可以把道理讲得更加清晰。

例如，教学“质数与合数”时，有学生提问：“为什么质数基本上是奇数，偶数基本上是合数，只有2既是质数又是偶数呢？”其他学生各抒己见。

有学生说：“这个是古代数学家们定好的，我们只要记住就行！”

也有学生说：“这只是凑巧而已，不需要去理解它。”

还有学生说：“因为2 是最小的偶数，因数只有1 和它本身，而其他偶数除了1 和它本身还有其他因数，所以只有2这个偶数是质数。”

这是一个向学生展示数学史的绝佳机会。教师可以引入质数和合数的由来：“在古希腊时期，开始只有整数，而整数都可以用点来计数，点又可以摆成各种图案，聪明的古希腊数学家就发现用整数点可以摆成直线和方形（如图2）。也就是说，数字1不能摆成直线和方形，它只是一个点，所以1既不是质数，也不是合数；像2，3，5，7 这样的数，只能摆成一条直线，叫作质数；其他数，如6、21 等，既可摆成直线，又可摆成方形（正方形和长方形），叫作合数。

图2

学生听后纷纷表示：“原来是这样，这太有趣了！”“我们对质数和合数又有了进一步的理解。”

三、研史得理——论述方法技巧

教材中公式的推导方法和定理的证明方法，真的只有一种吗？翻开历史画卷，可以看到精彩纷呈的思想方法。对教师而言，这些思想方法既是教学内容，也是讲解道理的辅证材料。孤证不立，多种方法指向同一个结果，才能让人更加信服。比如圆的面积公式的推导需要学生理解极限思想，而让学生理解这背后的道理极为不易。仅仅依靠教材中的讲解是不够的，教师可以结合历史上的各种方法（见表1），让学生在丰富多样的方法里体会“化圆为方”的道理。

正确数学认知的形成，需要不断的积累，学生需要不断在应用中理解道理，从而将极限思想渗透进头脑中。

四、观史悟理——阐释思想脉络

中医有云：“通则不痛，痛则不通。”数学学习也是这个道理，只有梳理好知识发生的脉络，才能把道理讲通。美国数学家M.克莱因也指出，数学史是教学的指南，学生遇到的学习障碍，也是历史上数学家遇到的困难。当数学历史的脉络与教材上的数学知识脉络同频时，学生对数学道理的理解才会水到渠成。

例如，学生在五年级学习“正方体和长方体”后，要到六年级才学习“圆柱的体积”。这一时间跨度比较大，学生在学习圆柱体积的过程中可能会遇到一些学习障碍：“为什么可以用底面积乘以高来计算圆柱体积呢？”其实从历史的脉络来看，教学缺少了对一类直柱体体积的探索。因此，在这个过程中，教师可以安排一组练习，以弥合这两个知识之间的断层。

笔者先引导学生回顾推导三角形面积公式的过程，也就是割补法（如图3），再让学生了解数学家刘徽对于“堑堵”的探索后亲身探究直三棱柱的体积计算方法。

图3

刘徽之术，因以出入相补。出入相补者，割而补之，以为众所周知之形，而广大不易也。刘徽之术，因以立体（将“出入相补”原理推广到立体图形，如长方体），斜分两柱（斜分成两个直三棱柱），为直角三隅，古谓之“堑堵”。

（1）请你用所学知识，尝试推导直三棱柱（堑堵）的体积计算方法。

（2）如图4-1 所示，把长方体容器平放于桌面，在容器中装满水，然后如图4-2 所示那样斜放，水流出1350 mL，这时AB的长度是多少？

图4-1

图4-2

其实，对小学生来说，直柱体体积公式的推导并不是特别困难。在掌握长方体体积计算方法后，只要教师一点拨，大部分学生都能够推导出直柱体的体积公式，这也为后面学习圆柱的体积埋下了伏笔。

这样，数学史自然地融入教学内容中，达到有机融合、润物无声的效果。

五、学史拓理——趣读数学文化

数学绘本、数学家的传记、数学实验等数学课外读物是数学史的优质载体。通过阅读，学生能感悟数学的真谛，体验有历史的数学，感受有文化的数学，进而形成理性精神。

如教学“三角形”后，教师可以让学生阅读帕斯卡三角（杨辉三角）的相关材料，还可以让学生阅读下面的材料：

很久以前，一种动物常常吊挂在呈三角状的树杈上，引发了人们的思考：这种动物为何不选择其他形状的树杈，而是选择三角形的呢？经过重重检验，人们终于发现：三角形比菱形、方形等形状的物体稳定性更强。后来，一位数学家路过这里，听了这个探索过程，就将其记入随身携带的笔记本中。于是，三角形具有稳定性的性质便在世界范围内传播开来。

这样的阅读能润泽学生的认知体系，让学生不但能完善认知结构，而且能感悟数学中的道理。

数学是一个复杂的系统，学习数学要“知其然，更要知其所以然”，除了了解露出海面的冰山（数学知识），还要了解冰山下巨大的根基（数学史）。