整体把握公式,发展数学素养——以“诱导公式第2 课时”为例

湖南省长沙市第一中学(410005) 赵意扬

1 问题提出

数学公式是人们在研究自然界物与物之间时发现的一些联系,并通过一定方式表达出来的一种表达方法. 高中数学教师教学中所应用到最多的就是数学公式,高中的数学公式也是学生解题的依据. 如果在数学教学过程中,教师不注重数学公式的推导教学,不注重公式的联系,仅仅是生搬硬套公式,那么学生对于公式的理解仅仅停留在表层,对于公式只会死记硬背,而无法探究得知公式的本质,就会出现学不入迷,懂而不会,认识低下的现象.《普通高中数学课程标准(2017 年版）》在课程目标中指出: 高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向,创造合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质. 笔者以人教A 版必修第一册第五章第三节诱导公式第2 课时为例,利用问题驱动,努力做到激发学生的学习兴趣,促进学生对公式的理解,旨在提高学生的数学核心素养和综合素质.

2 教学分析及设计

2.1 教材解读

本节教学内容是三角函数诱导公式五与公式六的推导过程及其简单应用. 在学生学习了任意角三角函数的定义、同角三角函数关系、诱导公式一到四的基础上,将对称轴变为特殊直线y=x,增加了推导的难度. 一方面不光要对角的终边关于y=x时角的关系进行说明,还要对直角坐标系中关于对称的两个点坐标之间的关系进行证明;另一方面公式六的推导还运用了两次对称变换,这个也是学生理解的一个难点. 本节课学生将进一步学习利用诱导公式进行三角函数的求值化简等内容,也为后面学习两角差的余弦公式做准备.

2.2 学情分析

知识层面,学生已经学习了三角函数的概念与同角三角函数的关系,以及诱导公式一到四,对圆的对称性比较熟悉,对关于y=x对称的两个点坐标之间的关系也有基本的了解,但是要以三角函数的定义为纽带将两者联系起来,困难较大;能力层面,学生已经具有了一定的数学抽象素养,逻辑推理素养和直观想象素养;思想方法层面,数形结合、归纳推理、特殊到一般的数学思想已初步形成.

2.3 教学目标

(2)通过分析公式五与公式六之间的关系,以及公式一到公式六之间的联系,形成诱导公式的整体架构. 能利用诱导公式进行三角函数式的化简,求值与证明,发展数学运算的素养.

2.4 教学重点与难点

重点: 利用圆的对称性研究诱导公式五与六,运用诱导公式进行简单三角函数的求值,化简与恒等式的证明.

难点: 发现圆的对称性与三角函数之间的关系,建立联系.

2.5 教学过程

环节1 情境引入

教师: 上节课我们研究了公式二～公式四,我们是如何得到这些公式的?

学生1: 由圆的对称性得到角与角的关系,得到坐标间的关系,从而得到三角函数的关系.

设计意图通过回顾上节课对三组诱导公式的探究过程,为这节课两组诱导公式地探究做准备.

教师: 两个角的终边除了关于原点,坐标轴对称外,你认为还有哪些对称关系值得研究? 你打算怎样研究?

学生2: 在前面我们学习了反函数,两个反函数关于直线y=x对称,还可以研究角的终边关于y=x对称的情况.

环节2 新知探究

教师: 你能类比公式二～公式四的研究过程,探究终边关于y=x对称的两个角的三角函数的关系吗?

师生活动: 先由学生独立思考,得出思路与方法,然后开展独立探究.

教师: 根据刚才的讨论,我们下面探究的内容有

探究1: 设任意角α的终边与单位圆交于点P1. 作P1关于原点的对称点P2,以OP2为终边的角β与角α有什么数量关系?

学生活动: 小组讨论,作图探究并回答问题. 一名学生上台使用几何画板展示过程,如图1-图8. 在角α的变化过程中始终有β=2kπ+(-α).

图1 演示图1

图2 演示图2

图3 演示图3

图4 演示图4

图5 演示图5

图6 演示图6

图7 演示图7

图8 演示图8

教师: 我们除了用几何画板观察角的关系外,还可以从旋转的角度来理解吗?

学生讨论,学生代表发言,教师点评: 先将与x轴非负半轴重合的射线绕原点旋转,旋转的方向与α的方向相反,旋转的大小与α相等,得到角-α的终边,再将角-α的终边逆时针旋转到OP2,利用任意角加法的定义,则OP2为角-α的终边,而这两个角的终边关于关于y=x对称.

探究2: 角β与角α的三角函数值有什么数量关系?

教师: 本节课我们只对第一种情况进行证明,其余情况留给同学们课后思考.

师生活动: 学生小组讨论,教师展示学生的证明过程.

学生3: 由三角函数的定义,有P1(cosα,sinα).

由圆的对称性可以知道P2在单位圆上, 于是有P2(cos(- α),sin(- α)). 又由于P1与P2关于直线y=x对称,于是又有P2(sinα,cosα). 从而有sin(-α)=cosα,cos(-α)=sinα,即诱导公式五.

设计意图通过问题引导,师生互动交流,在明确探究的问题和方法的基础上,放手让学生自主探究,在推导公式五的过程中,发展直观想象,逻辑推理等素养.

教师: 在探究公式二到公式五的过程中,都是将点P做了一次对称变换. 如果对P做了两次对称变换,又可以得到三角函数的哪些关系式呢?

学生活动: 小组探究,并汇报成果.

法一: 单位圆上点P1先关于直线y=x对称得到点P2,再关于y轴对称得到对称点P3,以OP3为终边的角为

由圆的对称性可以知道P3在单位圆上, 于是有又由于P1与P2关于直线y=x对称, 于是又有P2(sinα,cosα).P2与P3关于y轴对称, 于是又有P3(-sinα,cosα). 从而有=cosα,=-sinα,即诱导公式六.

法二: 单位圆上点P1先关于x轴对称, 再关于直线y=x对称得到点P6.

法三: 将单位圆上点P1逆时针旋转角得到点P6.教师活动: 点评小组成果,引导学生得到诱导公式六.

设计意图基于诱导公式五的背景增加新的研究条件,提出探索性问题, 有利于培养学生发现和提出问题的能力.这里重点启发学生利用前面的学习经验,通过适当的几何变换,坐标变换得出角的数量关系,以及坐标之间的关系,让学生进一步熟悉研究的一般方法.

教师: 前面通过两次对称变换或者旋转变换,得到公式六. 能不能从代数变换角度,利用已有公式直接推出公式六?

追问: 你能从公式六出发推导公式五吗?

师生活动: 由学生独立思考,得出结论,教师点评.

设计意图通过上述追问,引导学生用不同方法推导公式,从不同角度认识公式,建立公式之间更紧密的联系,从而提升对诱导公式整体性的认识,认识到在三角函数恒等变形中,对角的变形是需要经常使用的技巧,为灵活运用公式解决问题打下基础.

教师: 我们已经学习了诱导公式一到六,你如何来记忆这些公式?

师生活动: 学生讨论,进行总结,教师点评. 利用圆的对称性,如图9、图10. 在数形结合的基础上进行记忆与理解,体会诱导公式一～六的之间的联系.

图9 诱导公式记忆图1

图10 诱导公式记忆图2

设计意图让学生进一步从整体上认识公式,也为后面在应用过程中灵活选用公式及角变换作铺垫,学生的整体思想及符号意识得到了进一步的提升.

环节3 新知应用

例1. 化简

学生活动: 由学生回答. 教师活动: 师生共同分析,再作评价.

设计意图在例题的求解过程中,进一步巩固和完善了教科书中的流程图,体现了转化的数学思想方法,通过例题形成解决一类问题的思维方法.

例2. 已知sin(53°-α)=,且-270° ＜α ＜-90°,求sin(37°+α)的值.

师生活动: 教师让学生说说思考步骤,再由学生独立完成,展示解答过程.

总结: 在利用诱导公式解决问题时,要注意三角函数恒等变形与代数恒等变形的差异,即三角恒等变形不仅仅是对三角函数式进行改变,角之间的特殊关系也是变形的重要关注点,角的特殊关系表现在它们的和、差是特殊角上.

教师: 观察公式一～公式六,你能归纳一下各公式中两个角之间各有什么特定关系吗? 由此给你什么启发?

师生活动: 先由学生独立思考,再进行小组讨论,最后通过全班交流得出结果.

设两个角是α、β,我们有

公式一:β-α=2kπ,公式二:β-α=π,

公式三:β+α=0,公式四:β+α=π,

公式五:β+α=,公式六:β-α=.

总结: 诱导公式中的两个角都有特殊关系,即它们的和或差是特殊角. 这样,在利用诱导公式解决问题时,首先要观察所给的三角式中角的特点,是否满足“和或差是特殊角”.

设计意图例1 的教学重点是恰当选择公式. 例2 的教学重点是引导学生观察角之间的特殊关系上. 通过这两个例题要注意数学运算素养的培养. 通过追问引导学生归纳出诱导公式中两个角的特定关系,从而使学生掌握运用诱导公式解决问题的一般思路. 根据角之间的特殊关系诜择诱导公式,则是一个探究运算思路的过程.

环节4 课堂小结

回忆本节课的内容,回答下列问题:

(1)探索公式一～公式六,我们经历了怎样的过程? 用了哪些数学思想和方法?

(2)公式一～公式六有怎样的结构? 一般地,可以按怎样的顺序运用这些公式?

(3)诱导公式数量很多,你觉得用什么方法可以达到有效记忆,灵活运用的效果?

学生活动: 自我梳理. 回顾本节课,并回答问题. 教师活动: 引导升华.

总结: 探索公式一～公式六, 是由角的终边的对称性得到角之间的关系, 再由点的对称性得到点的坐标间的关系,从而得到诱导公式. 探究诱导公式的过程中使用了丰富的数学思想方法,函数变换、对称变换(包括轴对称、旋转对称)、坐标变换、不变量、数形结合等思想都用到了. 从变换的观点出发, 公式一～公式六的结构可以这样来看: 公式一～公式四是同名三角函数之间的变换,这是因为如果两个角的终边关于原点或坐标轴对称,那么它们与单位圆的交点P(u,v),Q(s,t)的坐标有u=±s,v=±t的关系;公式五、公式六是正弦函数与余弦函数之间的变换,这是因为如果两个角的终边关于直线y=x或y=-x对称,那么它们与单位圆的交点P(u,v),Q(s,t)的坐标有u=t,v=s或u=-t,v=-s的关系. 诱导公式的运用顺序以将角的范围变到[0,]为定向. 公式的记忆要建立在理解的基础上,要以单位圆为载体数形结合地进行记忆.

设计意图通过对诱导公式推导方法的回顾和反思,让学生从“四基”等角度进行总结与提炼, 将零碎的知识系统化,体系化,更有助于学生数学学科核心素养的提升.

环节5 课后作业

基础作业: 课本第194 页练习2、3.

拓展作业: 借助单位圆,还可以建立角的终边之间的哪些特殊位置关系? 由此还能得到三角函数值之间的哪些恒等关系?

3 教学反思

(1)整体把握教学内容

为了促进学生的思维成长,必需用大单元教学的理念整体把握学科内容.诱导公式五与六与公式二到四在思维方式和学习方式上是统一的.所以在教学过程的第一个环节通过回顾了诱导公式二到四的研究方法, 类比圆的关于原点, 坐标轴对称引入了圆更一般的对称性,通过开放性的设计让学生自己提出数学问题的设计形式,然后借助单位圆运用逻辑推理推导诱导公式五,有利于提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的综合能力.

(2)整体联系数学公式

长期以来的数学公式教学,只要求学生记住结论与套路即可,学生不明所以,渐渐地就丧失了学习的热情和自信,使学生思维长期处于低效运行状态. 数学公式教学不仅仅要求学生学会公式,记住公式,而是更重视学生对于数学公式的理解能力和学生对公式来源的探索精神,培养学生分析与总结的能力. 特别是公式串的教学,要引导学生不仅将公式之间的研究方法进行联系, 还要对公式之间的关联进行总结,培养学生类比推理的能力,学会使用化归数学思想,培养学生多向性的思考方式.

在高中数学公式教学中,教师要将核心素养培养作为教育目标,并融合到课堂教学中. 这种新的教学方式,更加符合新课程改革的要求,提高学生的综合素质,同时,也提高了教师的教学质量,提高了学生的学习效率. 使学生的学习不再像以往那样沉阔,让高中数学的课堂更加鲜活生动.