应时势之变,创作业之新*——“双减”政策下初中数学创新作业探究

广东省广州市南沙东涌中学(511453) 霍锐泉

2021 年4 月,教育部办公厅发布《关于加强义务教育学校作业管理的通知》,明确提出义务教育阶段学生每天完成书面作业的时间,要求创新作业类型方式. 2021 年7 月,国家出台“双减”政策,要求“设计符合年龄特点和学习规律、体现素质教育导向的基础性作业”. 作业是课堂学习的延伸,能让学生巩固所学知识以及内化为自己的经验,是反馈教学效果与学习效果的重要途径. 教师根据作业完成的情况,可以对教学内容、教学方法、教学策略等及时作出调整,能有效促进教与学的开展. 作业作为检验教与学效果的重要观测点,它的设计与实施是实现“减负提质”的重要一环. 随着“双减”政策的全面落实,改变原有陈旧、低效、单一的作业势在必行的,作为一线教师要努力适应新的教育形势,开展创新作业研究是非常有必要的.

1 创新作业一: 学生“讲题”视频作业

学生在学校学习时的作业质量有一定的保障,没有老师监督之下的周末作业质量大降. 对于周末的作业很多学生是通过手机进行查找答案或者直接抄袭答案,并不能确保学生能真正掌握相关的数学知识. 为了老师也为了让家长了解孩子一周的学习效果,我们以学生讲题为抓手,对学生的学习情况进行考查. 周末布置“讲题”作业给学生,让学生以“讲”思路的形式来表达对数学问题的思考与理解,通过录制讲题视频完成作业并上交,实践的效果非常明显. 虽然,有部分学生是看了别的学生的视频后再录制视频上交,但从学生讲题的流畅度上可以看出学生是否掌握了相关的知识. 下面以矩形复习课的一道作业题为例进行说明.

案例1 中考复习讲题作业

如 图1, 在 矩 形ABCD中,DE交BC于E点 且DE=AD,AF⊥DE于F,求证:AB=AF.

图1

作业要求根据自己的个人理解,把自己的解题思路讲出来,录制一段完整的讲解视频.

设计说明本题综合考查了矩形性质、全等三角形的判定、三角函数、三角形相似等知识. 让学生突破知识界限,综合运用所学知识解决问题、提升能力是在初三复习阶段的重要目的. 传统的数学作业以上交书面为主,较多的学生使用手机搜答案、相互传阅答案、直接抄袭等. 让学生录制讲题的作业,可以有效提高学生的自我监控能力,要顺利完成讲题作业,就要认真听课积极思考,这样能促使学生自觉地参与课堂学习. 即使想抄袭别人的作业,也要在理解别人的讲解上进行录制,让数学学习真正发生,从而提高学生学习的有效性. 与书面作业相比,学生的讲题更能锻炼学生的数学语言能力,也更能促进学生深入思考,提高学生的思维水平,对数学知识的理解更透彻.

作业效果每个人的能力与知识面不同,思考的方式与解题经验不相同,语言表达能力与习惯不同,所录制的讲题视频尽显学生个人特色. 在这个作业中,学生根据个人对问题的思考,从不同的角度、思路进行讲解,将外在的知识内化为能力. 大概有以下的5 种思路.

思路1由已知条件易得∠ADF= ∠DEC,∠AFD=∠C= 90°, 而DE=AD, 则得到ΔADF∽= ΔDEC, 从而得AF=CD. 而在矩形ABCD中AB=DC, 因此,AB=AF.

思路2由AD//BC得∠ADF= ∠DEC. 因为sin ∠ADF=, 且DE=AD, 所以AF=CD,而AB=DC,因此AB=AF.

思路3由∠ADF= ∠DEC,∠AFD= ∠C= 90°,可得ΔADF∽ΔDEC,所以. 而DE=AD,所以AF=CD,因为AB=DC,所以AB=AF.

思路4如图2, 连结AE, 则AD//BC得∠DAE=∠AEB, 而AD=DE, 则∠DAE= ∠DEA, 因 此,∠DEA= ∠AEB. 而∠AFE= ∠B= 90°,且AE=AE,得到,则AB=AF.

图2

思路5如图3, 连结AE、BD, 过E作于G, 可得∠DAB= ∠ABC= 90°, 由四边形ABEG是矩形得AB=GE. 因为SΔABD=SΔAED,所以,而AD=DE,由此可得AB=AF.

图3

2 创新作业二: 绘制思维导图作业

爱因斯坦曾说他是利用一幅幅的图像来思考问题的,美国图论学者哈里有一句名言“千言万语不及一张图”,这就说明图像对学习的重要性. 相关研究表明,人脑对图像的信息处理能力是文字的千倍,利用图像对知识进行加工、储存,使所学的知识系统化、结构化,会提高认知的效果. 思维导图是由英国的著名心理学家、教育家东尼·博赞创造和提出,通过图示表示知识结构之间的关系,把思维通过图示使之可视化. 思维导图能促进思维激发和思维整理,一般通过图文并茂的形式呈现,利用图像、线条(可以是直线也可以是曲线)、符号等配以文字说明,记载着绘图者的思考信息. 绘制者可以根据个人的喜好涂上颜色,从而形成一幅漂亮的、具有个人特色的知识“藏宝图”.

案例2核心知识思维导图作业

如图4 所示的是抛物线y=ax2+bx+c(a/=0)的图像的一部分,你能从中得到哪些信息?

图4

作业要求根据图像信息,从不同的方面尽可能多的写出自己的结论.

设计说明二次函数是初中阶段函数内容的核心知识,而二次函数的图像是重点中的重点,用思维导图的方式呈现二次函数的核心知识,可以让学生理解各知识点之间的相互联系、相互转化,有助于学生形成知识网络结构,掌握完整的核心知识体系,学生才会对知识理解更好. 通过绘制思维导图让学生对所学的知识内涵进行串联、联想和应用,会让学生学习和应用所学知识解决问题也对核心知识产生整体的把握. 这是一道开放性的作业题,由于学生存在差异,思考的角度不尽相同,因此得出不同的结论,从一道出发,让学生的思维发散、联想,培养了学生的发散思维,同时也培养了学生的创新性思维,而知识之间有内在的逻辑联系,又能使学生的逻辑思维能力得到发展、提高.

作业效果不同层次的学生有不一样的结论,例如抛物线开口向下;顶点是(1,4);对称轴是x=1,二次函数有最大值4;x ＜1 时,y随x的增大而增大;x ＞1 时,y随x的增大而减少;抛物线与x轴有两个交点,分别是(-1,0)和(3,0);b2-4ac ＞0;a ＜0;b ＞0;c ＞0;abc ＜0;当-1＜x ＜3时,y ＞0; 当x ＜-1,x ＞3 时y ＜0;a - b+c= 0;a+b+c ＞0;4a+2b+c ＞0;a+b ＞m(am+b)(m/=1);可以分别利用顶点式、交点式、一般式3 种方法求出二次函数的解析为:y=-(x-1)2+4、y=-(x+1)(x-3)、y=-x2+2x+3;方程ax2+bx+c= 0 的两个根是-1,3;不等式ax2+bx+c ＞0 的解集是-1＜x ＜3;不等式ax2+bx+c ＜0 的解集是x ＜-1,x ＞3,等结论.

案例3单元思维导图作业

作业要求一个单元学习完成了,请同学们根据本单元所学的知识点进行绘制单元思维导图.

设计说明教学离不开复习,通过复习可以对已学内容进行巩固、梳理,把每个课时的知识进行归纳、提炼,把散乱的知识进行系统化、结构化. 但现实中,由于知识已学过,复习只是“温故”而不是“知新”,就如把旧知识进行“回炉”,因而缺少了新鲜感,难以激发学生复习的兴趣. 现在初中学生富有个性,绘制思维导图刚好能凸显他们的个性. 把思维导图融入复习教学中,让学生按自己的理解,对已学过的单元知识进行整理、分析、归纳、提炼. 动手制作思维导图的过程,是学生对数学知识主动建构的过程,根据自己的经验把抽象的数学知识进行可视化的呈现,进而优化自己对数学的认知结构,将数学知识内化为自己的认知,从而真正达到理解数学知识、掌握数学知识.

作业效果课堂上让学生在与同学的对照过程中,通过检查、思考、添加或删掉细节内容,修改思维导图,最终呈现一个独特性、具有个性、完整的知识网络,加深对知识点的理解和思考,从而完善自己的知识结构. 图5 是学生的单元思维导图作品.

图5

3 创新作业三: 小课题研究作业

在国外,小课题叫作project(项目),小课题能激发学生的学习兴趣,非常受学生欢迎. 在进行小课题任务时,学生通常需要合作探究,改变单一学习为合作学习方式. 在日常生活当中总会遇到实际问题,如测量物体的高度,学生需要把实际的问题转化成数学问题,在建立数学模型后利用所学的知识进行解决.

案例4 研究旗杆高度

作业要求以小组为单位,查阅有关资料或参考教材的例题、习题中的测量方案,利用已掌握的数学知识,制定测量旗杆高度的方案,根据实际情况研究方案的可行性,以及解决测量过程中遇到的问题.

设计说明在人教版九年级数学下册第二十七章“相似”一章中设有一个数学活动——“测量旗杆的高度”. 在第二十八章“锐角三角函数”一章中也有一个数学活动——“利用测角仪测量塔高”. 这个研究作业不难,也有一定的探究性、趣味性. 在上述两章书中都有测量物体高度的例题及习题,学生可以通过查阅课本或资料就能解决问题. 让学生进行小组合作研究,经过充分思考、讨论,制定出组内认为可行性的方案, 可以培养学生的交流能力、创新精神. 在学完相似三角形、解直角三角形相关知识后进行“小课题”研究活动,更好地实现了知识的融合与知识网络的构建. 让教材中的“数学活动”素材最大限度地发挥其教育功能和价值,真正使之成为有利于学生的知识形成与应用,使学生的数学知识结构化、体系化的载体.

作业效果同学们通过查阅资料找到了有关估算物体高度的不同方法. 如,泰勒斯测量金字塔高度的方法,利用人的影子进行测量,利用标杆进行测量,利用镜子反射原理进行测量,利用了改变测量的角度大小以及测量前后两者之间的距离,利用三角函数的知识计算出塔的高度等方法. 同学们把搜集到的方法进行对比,还对这些方法进行了总结,发现大致分为利用相似三角形、三角函数的方法,后来在老师的提醒下想到利用初二所学的勾股定理知识解决. 同学们对各种方法进行探究,最终形成实践以下的方案.

3.1 利用相似三角形的知识

方案1课本第39 页的泰勒斯利用影子的方法. 如图6,利用太阳光是平行线的性质,构成ΔABC与ΔDEF相似,得,通过变形可以得到AB=,只要分别测量出标杆DE的高度,以及旗杆与标杆的影子BC和EF的长度,把测得的相应数据代入式子,即可求出旗杆AB的高度. 当然,这个测量要在同一时刻的条件下,不然影子的长度发生改变,便会导致测量的数据不准确.

图6

方案2对泰勒斯法做法进行修改.如图7,当标杆影子的顶端与旗杆的影子顶端重合, 由ΔABC∽ΔDEC, 可以得到. 只要分别测量出标杆DE的高度, 以及旗杆与标杆的影子长度BC和EC,利用式子,即可求得旗杆AB的高度.

图7

方案3课本第43 页利用镜子的方法. 如图8, 在旗杆与人之间放置一块镜子, 让眼睛D处通过镜子能看到旗杆顶A点, 分别测量DE、CE、BC的长度, 根据相似三角形, 即可求出旗杆的高. 因为这里∠ACB= ∠DCE, 而ΔABC∽ΔDEC, 可以得到式子,则旗杆的高度AB=

图8

方案4课本第54 页利用标杆的方法. 如图9, 当人的视线与标杆顶端D、旗杆顶端A成一直线时(即G、D、A三点在一条直线上) , 这时ΔACG∽ΔDEG, 可得即,而CB=EF=GH. 只要分别测量出眼睛与地面的距离GH、标杆的高度DF、人到标杆的距离EG、人到旗杆的距离CG,利用AC=即可求出AC,则旗杆AB的高度为AC+GH.

图9

3.2 利用三角函数的知识

方案5课本第81 页的数学活动,通过测角仪测量高度的方法. 如图10,人站在点E处, 构建出RtΔADC, 则tanα=, 此时DC=EB. 利用测角仪测出仰角α的度数, 再测量出人眼D与地面E之间的距离DE以及人到旗杆的距离EB, 则旗杆AB的高度为EB·tanα+DE.

图10

方案6课本第82 页测量塔高的方法. 如图11,当人站在点E时,利用测角仪测出仰角α的度数,当人往前走到达F点(E点和旗杆之间选择一点G),测出仰角β的度数,只要测量出DE及EG的长度,根据tanα=,即AC=,可得DF=

图11

方案7课本第75 页利用两建筑物的方法. 如图12, 从一建筑物DE处测量旗杆顶端A仰角α的度数以及旗杆底端B俯角β的度数, 再测量DE(BC) 的距离, 根据tanα=,则旗杆AB的高度为DC·tanα+DC·tanβ=DC(tanα+tanβ).

图12

3.3 利用勾股定理的知识

方案8初二数学下册课本第29页勾股定理的方法. 如图13, 先测量出旗杆底端的绳子垂到地面时多出的长度m, 再把绳子的下端拉开, 使下端刚好接触地面,构成直角三角形ABC,测量此时CB的长度n,利用勾股定理(AB+m)2=AB2+n2, 化简得2m·AB=n2-m2, 即AB=代入对应的数据则可求出旗杆的高度AB.

图13

4 对初中数学创新作业的思考

在“双减”政策前,教师对作业的布置和设计不够重视,学生课后作业量大,完成作业时间长,造成学生作业负担过重、心理压力过大.“双减”政策对义务教育阶段学生每天完成书面作业的时间作出明确要求,鼓励布置分层、弹性和个性化作业,坚决克服机械、无效作业. 教师应将课外作业作整体规划,要摒弃过往机械的、反复练习的作业,要进行创新作业研究,设计符合学情的多样化作业,提升作业的有效性,做到减负增效. 提高作业的有效性、针对性,尊重学生的个体差异和不同需求,让初中数学作业成为激发兴趣、巩固知识、提升能力的有效手段,切实减轻学生过重的作业负担,满足学生个性化的作业需求,发挥作业育人功能.

4.1 学生“讲题”作业促进学生对知识完成自主建构

《义务教育数学课程标准(2022 年版)》倡导“运用数学语言表达自己的想法”,学生讲题是实现上述目标的有效途径. 根据学习金字塔理论研究表明,通过学生讲述给同学听的,两周后的学习保持率达仍到90%. 学生讲题能发挥学生学习的主动性,学生要把题讲得明白,不仅要理解题意,还需合理组织自己的语言把解题思路以及解题方法进行讲解,这个过程就是自主探索解题过程以及优化的过程.“语言是无声的思维,说话是出声的思维”,通过讲题促进学生思维的发展. 学生讲题是学生主动参与的过程,学生对所学数学知识、内容的理解和内化,通过自己的语言表达出来,从而建构自我知识体系的课堂教与学活动. 学生讲题是学生思维可视的活动过程,是学生对数学知识进行自我建构、完善的过程,发展和提高学生的数学表达与数学思维能力. 学生讲题解放学生的嘴,让学生自信地“说”,充分展示学生的思维;解放学生的眼、脑,让学生大胆地“想”,给学生思考的空间. 学生讲题能点燃学生思维的火花,实现思维的交流与碰撞,能让学生深入思考、融汇方法、体悟思想,激发智慧,使学生的思维不断发展、不断升华,感悟数学本质,提升数学素养,促进学生深度学习.

4.2 布置个性化作业,让学生个性得到张扬

课后作业要以学生为本,满足学生个性化学习和发展需求,有效提升学生高阶思维水平. 收集平时教学中学生的易错题作为周末的作业,要求学生根据自己的错题情况进行筛选,在周末拍两道讲题视频上传到班级数学微信群,这样让学生知道自己的短板,并及时做好巩固强化,我们还可以引导学生进行改题、编题的个性化作业,切实减轻学生作业负担. 有条件的话,可以借助互联网时代大数据的技术,利用AI技术有针对性地进行精准的作业布置,实现不同学生布置不同的作业. 而思维导图的作业可以让学生巩固所学、增加对知识的理解、完善知识体系. 绘制思维导图是对知识进行内化,对各知识之间的逻辑关系进行梳理使思维得以提升,学生的思维变得可视化、清晰化、条理化. 这样既尊重学生个性的差异,又能促进不同层次学生的思维发展.

4.3 布置实践性作业提高学生的综合能力

《义务教育数学课程标准(2022 年版)》倡导在综合与实践领域进行项目式学习,强调让学生经历发现→提出→分析→解决问题的过程. 让学生在研究的过程中发现问题,并将其正确地转化为数学问题,从而构建数学模型,综合运用数学以及其他学科的知识与方法解决问题. 在研究中伴随着独立思考问题与他人合作研究,提出自己的思路与方法,与伙伴们共同商讨设计解决问题的方案,最终得到符合问题背景的模型解答. 在人教教材的每章小结之前都设置了“数学活动”,在现实中“数学活动”课被老师们所忽视. 但“数学活动”课是促使学生综合运用数学知识,充分体现学生数学思维、深化数学知识应用, 积累数学活动经验的很好载体. 在“双减”背景下,“数学活动”是学生课外作业宝贵资源,我们应该充分挖掘“数学活动”课的内在价值,把“数学活动”变成让学生进行实践性的“小课题”研究,让学生在研究中学会应用数学知识解决实际生活的问题,在解决实际问题中学生的综合能力得到提高.

我们要适应新的教育教学改革的形势要求, 要依据课标、立足教材,设计符合学生认知水平,同时又具有个性化、实践性的作业,让学生在掌握数学知识的同时,让各层次的学生都获得成功感,享受完成作业的快乐.