注重课堂笔记，促进素养生成

刘晨霞

摘  要：数学作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求. 如何让学生更加透彻地理解数学、理解数学思想，逐渐形成独立地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，是我们一直在探索的话题. 通过一段时间的研究，发现在有限的时间内高效地记数学笔记，能让学生很好地感悟数学的本质，为高阶思维的训练打好坚实的基础，并能利用所学的数学知识和数学思想解决实际问题.

关键词：数学思想；抽象能力；推理能力；模型观念

数学是一门抽象的学科，在错综复杂的知识背后渗透的是数学思想；数学是一门有规律的学科，在万变的题中可寻出相同的思维；数学是一门结构严谨的学科，在对知识的探究过程中要有充分的推理论证；数学亦是一门应用广泛的学科，既可以应用于生活，又可应用于更高深理论的研究或是跨学科的研究. 由于数学具有抽象性，导致学生对数学望而生畏. 那么，教师要思考如何让学生喜欢数学并不断去探究数学的奥秘.

作为数学教师，应该充分理解数学、理解学生、理解教学. 在教育的道路上，要不断地探索. 通过实践，笔者发现高效地记课堂笔记是关键. 在“双减”背景下，要减负不减质. 因此，记笔记要做到恰到好处，既不占用学生过多的时间，又能把核心内容记下来，善于记数学笔记往往能达到事半功倍的效果. 下面笔者结合自己的教学实践经验，对记课堂笔记的有效性进行具体分析.

一、提高学生对数学基础知识的理解

初中阶段的数学知识既是对小学阶段数学基本概念的升华和扩充，也为高中阶段的数学学习奠定基础，起到了承上启下的作用.

学生若在课堂上的学习流于表面，则难以真正理解课堂教学中的数学定义、定理、思想、方法等，教师需要在讲解典型例题或习题时引领学生记好数学笔记.

案例1：平方根与算术平方根.

在一次关于平方根与算术平方根的习题教学中，有这样一道题目：[36]的平方根是多少？大部分学生给出的答案都是6. 很明显，学生对平方根这一知识点是有一定了解的，但是当遇到平方根和算术平方根两个知识点叠加在一起，且一个知识点用符号语言表示而另一个知识点用文字语言表示时，学生的思维产生了混乱. 当笔者很详细地讲解了算术平方根及平方根的实际意义、文字语言和符号语言的转化之后，再次展示同类型的题目：[9]的算术平方根是多少？多数学生依然回答是3. 可以看出，学生对概念的理解依然不够透彻. 于是笔者继续改变教学方法，引导学生以记笔记的形式学习，即让学生在试卷原题的旁边直接标注（如图1），这样既省去了抄题的时间，又能让学生很快建立知识点之间的联系. 当学生理解了文字语言和符号语言的关系后，在之后听讲的过程中就可以进行灵活的思维转化了.

善于记课堂笔记，对于知识点掌握不牢固的学生来说，可以将理解模糊的知识点变得清晰，即便第二天忘记了知识点，翻开笔记，依然可以清晰地回忆起来. 久而久之，学生就能找回学习的自信. 对于基础知识掌握得比较好的学生，通过记笔记，可以让他们对知识点有一个再认知的过程，为后续高阶思维的训练打下坚实的基础.

为了让学生能高效地记笔记，教师设计的题目既要基础、典型，又要少而精. 教师在讲解题目的过程中，要深入了解学生的真实思维活动，通过一系列的数学活动引导学生感悟知识点与例题的联系，体会题目中的条件、结论之间的联系，并引导学生在解决问题的过程中记好笔记. 好的笔记可以帮助学生更快地掌握知识，察觉自己的不足，更高效地学习，从而保障课堂学习效果.

二、提高学生的抽象思维、推理能力和模型观念

1. 提高学生的抽象思维能力

抽象思维反映了数学的本质特征，这种思维是在学生利用数学知识、数学思想和基本技能进行推理的过程中逐渐培养、构建起来的能力.

在培养学生抽象思维的过程中，教师可以通过构建抽象思维的模型来引领学生逐渐形成抽象思维，使学生学会用抽象的眼光解决问题.

案例2：代数式.

冀教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）七年级上册“3.2 代数式”的“一起探究”中有如下探究内容：图2是由点组成的n行n列的方阵，图3是由每条边上n个点围成的空心方阵.

教材中，在让学生探究空心方阵的点数和时，直接给出如图2所示的n行n列的实心点阵图的总点数为[n2]，如图3所示的空心点阵图的总点数为[n2-n-22]，对此一部分学生难以理解. 笔者采用由具體向抽象过渡的思维设计关于此题的探究，先让学生探究2行2列、3行3列、4行4列的实心点阵图中总点数的求法，然后上升到探究n行n列的实心点阵图的总点数，让学生感知什么是具体、什么是抽象，然后继续探究n行n列的空心点阵图的总点数，整个探究过程由学生独立完成. 教师要引导学生学会从不同角度利用抽象思维解决问题. 通过教师的引导，学生独立思考后给出了如下的方法：利用n行n列的实心点阵图减去[n-2]行[n-2]列实心点阵图的总点数，得到如图3所示的空心点阵图的总点数.

此时学生的抽象思维刚刚建立，教师需要引领学生记好相应的笔记. 因为在记笔记的同时，学生会逐步理解上述方法，同时又会产生其他的思维过程，使思路得到拓展. 此时，笔者让学生进行小组交流讨论，相互学习更多的解决问题的方法，并逐一讲解. 学生展现了如图4 ～ 6所示的求空心点阵图的总点数的方法. 然后笔者让学生把每一种探究方法都做好标注，写好推理过程. 最终，使抽象的思维逐渐内化成学生的能力，让学生在以后学习的过程中能应用这一能力解决问题.

在课堂上或是作业设计上，教师可以选取抽象思维能力比较明显的题目引领学生记笔记. 在推导一个公式或是一个结论时，教师可以引导学生记下推导的过程，让学生经历由具体到抽象再到具体的完整的数学抽象过程，熟悉数学抽象的基本套路，感知抽象的必要性. 学生在记笔记的同时也是对知识的再认识过程，有利于学生更好地理解数学的抽象思维与概念、命题之间的联系和区别. 这样就可以使学生在学习的过程中体会数学的抽象性，学习数学抽象的本质. 因此，教师在课堂教学中要培养学生有效地记笔记，发展学生的数学抽象思维，帮助学生建立良好的思维习惯.

2. 提高学生的推理能力

推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力. 推理能力主要是运用合情推理去获得理解数学定义、基本事实、定理等知识或探究解决问题的方法，获得发现、得出猜想或结论，并用推理对所得出的猜想加以检验、证明. 这种能力的培养是一个漫长的过程. 教师要引导学生在经历观察、实验、猜想、证明的真实数学问题探索中培养学生的推理能力. 在能力培养的初期，教师可以引领学生在关键步骤做好标注，把推理的思维过程展示出来，逐渐让学生感悟并提升推理能力.

案例3：“平行线的性质和判定的应用”作业设计.

在学习教材七年级下册“7.4 平行线的判定”和“7.5 平行线的性质”两节课后，笔者布置了以下作业.

如图7，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F. EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN. 试说明：AB∥CD.

这道题目很基础，但是对于初步接触演绎推理的学生来说具有一定的难度. 学生推理能力的培养和训练，需要在学生具备一定的基础知识的前提下逐渐建构. 所以，笔者先引导学生将此题中涉及的知识点进行整理（如图8）. 这道题主要涉及以下三个知识点：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；角平分线的定义. 对于平行线的性质和判定的学习，以及如何正确地将文字语言转化成推理过程都是学生学习的难点. 那么一个好的笔记可能会让学生茅塞顿开，从而真正理解数学知识. 接下来，笔者引导学生利用等量代换、知识点的传递性等进行知识的链接、转化，促使学生逐渐形成推理能力，从而提升演绎推理能力.

通过记课堂笔记，学生可以借助文字语言、图形语言、符号语言的相互转化构建成熟的推理思维. 例如，案例3中，学生之后可以通过回顾课堂笔记理解此题的解题过程. 推理能力是构建在以知识为载体的基础上的，通过将知识点环环相扣，使学生形成演绎推理能力. 学生将综合运用这些能力去解决高阶思维的题目，甚至应用于生活中或跨学科领域，从而受益终身.

3. 提高学生的模型观念

模型观念的培养有助于学生对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识. 从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义. 在教学活动中，教师应加强模型观念的渗透，培养学生分析和解决实际问题的能力.

案例4：一元一次方程的应用.

教材七年级上册“5.4 一元一次方程的应用”第1课时有如下一道思考题：某学校七年级同学参加一次公益活动，其中15%的同学去做保护环境的宣传，剩下的170名同学去植树、种草. 七年级共有多少名同学参加这次公益活动？

这节课是方程应用的开篇课程，既是学生经历用算术思想解决实际问题过渡到用方程思想解决实际问题的桥梁，又是后续学习分式方程、二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式及函数等知识的基础. 本节课内容的学习有助于训练和提升学生的符号意识、方程思想、模型观念和应用意识. 教师要全方位、多角度地实施教学，使学生在学习的过程中总结通性通法，达到举一反三的目的，逐渐形成模型观念. 因此，笔者对这节课教学方向的把握就是引导学生抓住关键词语，提炼题干中的关键数据，确定等量关系. 为了达到这一目标，引导学生做如图9所示的笔记，发散学生的思维.

通过以上等量关系，引导学生产生了如下几种不同的解题方法.

方法1：设总人数为x人，则保护环境宣传人数为15%x人.

列方程得15%x + 170 = x.

解得x = 200.

所以七年级共有200名同学参加这次公益活动.

方法2：设保护环境宣传人数为x人，则总人数为（x + 170）人.

列方程得15%（x + 170） = x.

解得x = 30. 则x + 170 = 30 + 170 = 200（人）.

所以七年级共有200名同学参加这次公益活动.

方法3：设总人数为x人，则保护环境宣传人数为（x - 170）人.

列方程得15%x = x - 170.

解得x = 200.

所以七年级共有200名同学参加这次公益活动.

学生模型观念的建立是一个循序渐进的过程，教师在教学中要引导学生的思维经历从相对具体到相对抽象的过程，逐步积累经验，体会模型观念的重要性，提高学生学习的兴趣. 在案例4的教学中，笔者引导学生从具体的问题情境中抽象出等量关系，从而引导学生采用多种方式解决问题. 在这个过程中引导学生利用笔记整理关键环节，如记下方法1 ～ 3，让学生通过笔记感知以模型为核心的思维上的灵活多变，学会利用模型观念解决同类问题. 因此，笔记要记核心的部分才能画龙点睛，触动学生的思维，点燃学生的求知欲望.

三、提高学生的“四基”“四能”

“四基”“四能”是发展学生核心素养的有效载体. 核心素养对“四基”“四能”教学目标提出了更高要求. 例如，要引导学生在发现问题、提出问题的同时，会用数学的眼光观察现实世界；在分析问题的同时，会用数学的思维思考现实世界；在用数学方法解决问题的过程中，会用数学的语言表达现实世界. 因此，教師可以引导学生从不同的角度去分析问题，逐步提升学生的“四基”，发展“四能”.

案例5：链接中考.

在中考一轮复习时有如下一道题目吸引了笔者的注意.

题目  如图10，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD = [1/2]CD，若△ABD的中线BF = 2，则AC的长为（    ）.

此题可以关联的知识点主要有中位线的性质定理、平行四边形的判定、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、垂直平分线的性质定理、相似三角形的判定等. 学生通过独立思考，给出了以下几种不同的解题思路.

方法1：如图11，取AC的中点E，连接DE，EF，构建中位线性质定理的基本图形，得出EF∥[CD]，且EF =[1/2CD]，构建平行四边形，最后利用“直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半”解决问题.

方法2：如图12，依然是利用中位线性质定理创设基本图形，但是选取边DC的中点E，连接EF，得[EF∥AC]，且[EF=1/2AC]，再证明BF = EF，从而得出最终结论.

方法3：根据已知条件，可以得到Rt△BDF ∽ Rt△CDA，从而利用线段间的比例关系求得结论.

笔者发现学生的思维起点各异、方法各异. 此题非常适合引导学生记笔记，以此体会知识点之间的联系，培养学生的推理能力. 于是笔者引领学生将三种思路以思维导图的形式整理出来. 在整理的过程中，学生头脑中会进行一次更加透彻的认知. 经常探讨一道题的多种解法，既能将所学知识融会贯通，又能促进学生对基础知识、基本技能的牢固掌握，还能积累解题经验，提高分析问题和解决问题的能力.

四、多种形式的笔记有利于学生形成良好的数学素养

当学生具备了一定的记笔记的能力之后，在处理综合试卷的过程中，就可以灵活地记笔记，表达自己的思想，长期坚持，可以提高学生的综合素养. 笔者观察学生在日常试卷处理过程中所记的笔记，发现有对知识点的标记，有文字语言与图形语言、符号语言的转化，有数形结合思想的体现，有模型的整理，有具体思维到抽象思维的提升. 为了不浪费学生的时间和精力，教师可以鼓励学生在教材上、试卷上、作业纸上记笔记. 通过笔记，可以看出学生对数学知识的理解和认知程度. 记数学笔记时，能充分调动学生形成整体的知识结构和连贯的知识体系，为灵活应用知识打下坚实的基础. 教师也可以在作业设计时选择典型的题目，既能体现分层，又能适合学生记笔记，从而实现减负不减质的效果.

因此，要想让学生对数学知识有更加透彻的理解，教师要带领学生从基础年级坚持记好数学笔记，通过日积月累地记，数学素养才能逐渐内化，才能有机渗透于数学学习过程之中，才能使学生真正对数学感兴趣，从而激发学生的主观能动性，大胆发表自己的见解和意见，进行更加深入的研究.

实践证明，好的笔记具有以下作用. 一方面，可以帮助学生察觉自己的不足，更好地掌握基础知识、感悟基本思想、熟练基本技能，最终将数学知识、数学技能、数学素养融合为一体，从而提高学习数学的兴趣，发展数学核心素养；另一方面，学生能在解决实际问题时，不断发现问题、提出问题、分析问题并解决问题，从而完成由知识型向能力型的转化、由封闭型向开放型的转化、由经验型向科研型的转化. 因此，教师要引导学生遵循获取知识和养成能力素养的基本规律，筑牢根本，守正而后創新.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］史宁中. 谈数学基本思想和数学核心素养［J］.数学通报，2017，56（5）：1-5.