立足数学教学整体性发展学生系统性思维

李紫燕 虞秀云

摘  要：整体性教学设计是发展学生系统性思维的重要路径. 以“解一元一次方程——去分母”教学设计为例，从目标解析、内容解析及问题诊断三个维度出发，探究数学整体性教学. 进行数学整体性教学时，教师要统筹单元目标和课时目标，把握数学知识横向与纵向之间的联系，以整体把握教学内容. 同时，要关注隐性难点，及时反馈调控，促使学生完成从“学会”到“会学”的转变，以便更好地提高学生的系统性思维水平.

关键词：整体性；目标解析；内容解析；问题诊断；系统性思维

作者简介：李紫燕（1996— ），女，硕士研究生，主要从事数学教育教学研究；

虞秀云（1972— ），女，教授，主要从事数学学科教育研究.

一、问题提出

《义务教育数学课程标准（2022年版）》从教学目标、教学内容及教学设计等方面对整体性教学提出了要求. 首先，教学目标的设定要体现整体性和阶段性；其次，要整体把握教学内容，表现在对教学内容之间的关联、教学内容的结构化把握，以及教学内容主线与相应核心素养发展之间关联的把握；最后，强调整体教学设计的理念，要求体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联. 可见，教师进行教学设计离不开整体性教学. 整体性教学设计就是把每一个知识点都放到完整的单元知识结构中去理解，促使学生建立新、旧知识之间的关联. 这种设计基于对知识的系统理解，强调知识的关联和整合.

系统性思维是把物质系统当作一个整体加以思考的思维方式；是从整体角度出发考虑问题，研究思路着眼于问题秩序化的思维方式，在数学教学中体现在整体规划教学思路. 在初中数学课堂教学中，教师要合理地渗透整体性教学理念，对帮助学生形成拓展性思维、系统性思维具有重要的现实意义.

下面以人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）七年级上册“解一元一次方程——去分母”的教学设计为例，从目標解析、内容解析、问题诊断三个维度探究整体性教学.

二、“解一元一次方程——去分母”教学设计

1. 统筹单元与课时目标，注重目标整体性

本节课是在学生已经学习了一元一次方程的概念之后求解一元一次方程的教学，并且学生已经在前几个课时学习过系数化为1、合并同类项、移项、去括号等解一元一次方程的方法. 根据整体性教学设计理念，本节课的教学目标设计应从单元教学目标出发，注重课时教学目标及单元教学目标之间的联系. 本节课教学目标设置如下.

（1）学会综合运用去分母、去括号等方法解一元一次方程；

（2）会用整体的思维看待解方程的求解过程，综合运用化归思想和数学建模思想；

（3）会从整体上感悟去分母解一元一次方程与其他求解方法之间的联系，灵活采用求解方法，培养系统性思维.

2. 精准课堂导入，把握整体性内容

做好课堂导入，决定着学生能在课程开始的前段搭建好整体知识内容及思想框架体系，感悟数学的整体性. 教师可以采用如下方式引入本节课.

环节1：复习引入.

教师利用课件依次呈现如下方程：① 5x = 150；② 2x + 3x = 60 + 90；③ 2x - 90 + 3x = 60；④ 2x -3（30 - x） = 60；⑤[x6-30-x4=5].

教学活动：对于方程①和②，学生在本节课之前已经学习过用系数化为1及合并同类项的方法解一元一次方程，符合学生已有的知识基础，教师可以让学生齐答解方程的过程；从方程③④开始可以采用“教师单独提问，学生举手个别回答”的方式解方程. 最后呈现方程⑤，引发学生对求解方程⑤的思考. 学生回答后，教师在课件中逐一呈现每个方程的解答步骤.

【设计意图】首先，运用转化思想，将学生不熟悉的方程转化为熟悉的方程，并渗透化归思想；通过课件逐一呈现方程，直至呈现本节课将要学习的新内容——含有分母的一元一次方程，借助视觉上的直观加强学生脑海中对于解一元一次方程要经历去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1五个步骤整体框架的搭建，树立了学生对数学操作技能整体性的认识. 其次，教师通过问题串使得学生很快明确了本节课用到的化归思想，这也是解决所有方程问题的核心思想，为学生之后要学习的解二元一次方程组、解一元二次方程等提供了思维基础.

3. 做好问题诊断，发展系统性思维

问题是数学的心脏. 问题诊断是教师提升教学效率的有效方式. 教师在课前做好问题诊断分析，课堂上对学生的问题给予及时反馈，才能提升学生的数学思维，促进学生思维的系统性发展.

环节2：新课讲授.

教师事先对班级学生在本节课的学习中可能会出现的问题进行预设. 本节课的教学重点是教会学生去分母，教师可以围绕去分母时学生可能出现的困难进行如下教学设计.

教师呈现方程[x6-30-x4=5]，并提出以下问题.

问题1：我们学习过求解这个方程的方法吗？这个方程有什么特点？

预设：这个方程含有分母，我们没有学习过求解该类方程的方法.

问题2：方程两边有几个分母？分别是谁？

预设：方程两边含有2个分母，分别是6和4.

问题3：解这个方程时，第一步要做什么？为什么要这样做？

预设：第一步是去分母，目的是将不熟悉的方程转化成学习过的方程来求解.

问题4：怎样去分母？依据是什么？

预设：方程两边同时乘12，依据的是等式的性质2.

问题5：方程两边能不能同时乘24，36，48，…来去分母？可小组讨论.

预设：可以，但是没有必要. 因为12是6和4的最小公倍数，乘12会使得去分母后所得数据更为简洁.

问题6：求解过程需要注意什么？与之前学习过的求解一元一次方程的方法有什么联系？

预设：注意等式的基本性质和化归思想的运用. 方程⑤的求解实际就是转化成前面学习过的知识，求解过程贯穿了化归思想，这样可以把整个方程求解过程视为一个整体.

教学活动：教师带领学生进一步完善方程⑤的求解步骤，寻找方程⑤与前面4个方程的联系.

【设计意图】在教学去分母时，教师应该考虑到班级学生的不同认知水平，从整体视角考虑不同学生的目标达成情况. 鉴于学生对在方程两边同乘最小公倍数去分母的理解存在困难，教师立足于整个班级学生的认知水平，通过层层递进的追问，指向学生的思考过程，启迪学生的元认知. 同时，指向学生元认知的追问方式有助于学生将小学学习过的最小公倍数与去分母进行联系，并且运用到解方程的学习中，体现了数学知识纵向关联的整体性. 在问题诊断方面，对于如何寻找分母的最小公倍数，在小学阶段对学生来说就是一个难点，在去分母解一元一次方程时也是学生学习的易错点. 这样的设计注重问题诊断的整体性，加深了学生对数学知识的理解与延伸.

环节3：课堂练习.

课堂练习是对一节课所学知识的升华与巩固，能很好地检测学生对数学知识的掌握情况，对学生练习时出现的问题及时给予反馈，亦能帮助教师及时调整教学，对学生的思维发展有一个全面把握.

练习1：解方程[3x+12-10x+16=2]时，为了去分母应将方程两边同乘几？

练习2：把方程[3x+12-10x+16=2]去分母、去括号后，正确的结果是（    ）.

（A）[9x+1-10x+1=1]

（B）[9x+3-10x-1=1]

（C）[9x+3-10x-1=12]

（D）[9x+3-10x+1=12]

练习3：若关于[x]的一元一次方程[2x-k3=x-3k2]的解是[x=-1]，则[k]的值是多少？

练习4：解下列方程.

（1）[3x+12-10x+16=2]；

（2）[2y+13=y+24-1].

教学活动：对于练习1和练习2，可以采取教师提问、学生举手回答的形式解决. 对于练习3和练习4，可以让学生上台板演. 在学生练习时，教师可以对学生的答题情况随时拍照投屏，对学生的习题给予即时批改，对典型错误进行全班展示，做到问题的及时反馈. 在完成以上练习题后，教师结合知识点对学生做题时出现的问题进行整体小结.

【设计意图】首先，以上练习题是从整体视角进行设计的，且难度逐步递增，考查学生对去分母解一元一次方程的掌握情况. 练习1和练习2是对学生利用最小公倍数去分母及运算能力的考查，练习3是对学生利用化归思想将关于[x]的一元一次方程转化为关于[k]的一元一次方程的数学思想方法的考查，练习4第（1）小题是对前面呈现过的方程的求解步骤整体认识的考查. 经历以上练习题的解决过程，学生对解一元一次方程步骤的认识会更加完整，构建的解方程知识的结构体系会更加具有整体性，有利于提升学生的系统性思维，发展学生的数学核心素养.

环节4：课堂小结.

教师提出以下问题，学生小组讨论后举手回答，最后师生一起总结.

（1）本节课我们学习了什么知识？

（2）你有什么收获？积累了哪些经验？还有什么疑问吗？

预设：教师带领学生通过完善思维导图及填表的形式回顾总结本节课的内容.

本节课学习了去分母解一元一次方程，并且对解一元一次方程的步骤有了整体的认识，基本步骤有去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1等，核心思想为化归思想，最终将结果转化为[x=baa≠0]的形式. 在这个过程中要考虑每个步骤的注意事项，如不漏乘、不漏项等.

【设计意图】通过小组讨论，师生共同总结本节课的学习内容，再次加深学生对解一元一次方程步骤的整体认识. 呈现框架结构及表格的小结方式有利于学生系统性思维的发展，最终达成教学目标.

三、教学启示

1. 着眼于单元架构，注重目标整体性

教学目标是教学活动的出发点和归宿，教学目标的整体性设计是顺利开展整体性教学的关键. 教师在进行课时教学目标设计时，要从单元角度出发，将每节课的教学目标融入单元之中，注重目标的整体性.“解一元一次方程——去分母”一课归属于教材第3章第3节，教师在设计时要从单元整体架构出发，关注此小节内容在单元中所处的位置，再结合小节教学目标发现各小节之间的前后联系. 例如，“解一元一次方程——去分母”一课统揽前几节所学的去括号、移项、合并同类项及系数化为1的内容，衔接着下一节的“实际问题与一元一次方程”，在整个单元架构中起着承上启下的作用. 因此，教师在设计本节课的教学目标时，要从单元教学目标中提炼出课时教学目标，以各课时教学目标总体构筑单元教学目标；既要突出单元教学目标，也要注重课时教学目标的落实，发展主线主题的教学思维. 教师只有注重教学目标的整体性设计，才能从根本上解决存在于不同教学方式及课时时限要求之间的矛盾，达成数学学科的育人目标.

2. 俯瞰知识点间的横纵联系，切勿忽视隐性难点

教师需要整体把控教学内容的设计，俯瞰各知识点间的横纵联系，以期关注到不同阶段、不同主题教学时可能出现的隐性难点. 在教学中，教师不能将各模块、各学段的数学知识进行割裂，应该用整体的眼光看待教学并注意引导学生把握知识体系的整体关联，同时关注知识点间的隐性难点. 例如，在“解一元一次方程——去分母”一课中，找分母的最小公倍数是隐性难点，它也是学生在小学阶段的一个学习难点. 在后面的学习中，学生现阶段出现的问题仍然可能是一个隐性的难点，这体现了数学知识间的纵向联系. 教师在进行教学设计时要关注到不同阶段知识的隐性难点，整体把握教学，进而提升学生的系统性思维水平.

3. 从“学会”走向“会学”，实现由知识到方法的系统化

学生对数学知识的学习是一个从“学会”走向“会学”的过程，系统性思维在整个过程中发挥着重要作用. 教师要根据数学对象特有的知识结构，研究知识的性质、路径、结构、结果、表达方式等，从“知识体系”的学习到“方法体系”的学习，使学生做到从“学会”到“会学”的转变. 因此，教师可以将数学知识的学习分为“学会结构”和“会用结构”两个阶段，从两个阶段进行突破才能培养学生的系统性思维. 例如，一元一次方程的学习可以为后面二元一次方程（组）、一元二次方程的学习作铺垫，具体如表1所示.

“学会结构”阶段就是学生“学会”的过程. 教师要从数学知识的整体性出发，让学生形成研究方程的一般思想，掌握一元一次方程这一知识对象的一般研究路径，即“实际需要—方程定义—方程求解—方程应用”的过程. 这样，在学生日后学习二元一次方程（组）和一元二次方程时，也就是“会用结构”阶段，教师可以引导学生从一元一次方程的研究路径入手，基于数学整体性，帮助学生用类比思想建构关于二元一次方程（组）及一元二次方程的知识体系，这才是真正帮助学生从“学会”走向“会学”，实现了“知识体系”学习到“方法体系”学习的系统化，切实发展学生的系统性思维.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］彭漪涟，马钦荣. 逻辑学大辞典［M］. 上海：上海辞书出版社，2004.

［3］米妍，王光明. 整体性数学思维方式视野下的教材阅读：基于章建跃先生对《实数》一章的教材分析［J］. 数学通报，2017，56（10）：8-12.

［4］李庾南，馮卫东. 学材再建构在结构中教与学［J］. 数学通报，2018，57（8）：17-22，30.