关注错解归因,提升解题能力

张珏晖

摘 要：错误是一种非常重要的学习资源，巧妙运用解题中的错误资源，引导学生在错误中归纳和分析，逐渐提升自身的解题能力，已经成为一线教师关注的重点.本文以此切入，针对学生在数学解题中常见的错误进行了归类、分析，并据此提出针对性的解题教学建议，旨在提升初中生的数学解题能力.

关键词：错解；归因分析；初中数学；解题教学

教育家皮亚杰在研究中认为：“有意义的学习离不开错误的促进，若将错误认定为学习的不合理因素，那么错误就是学习的限制因子.”解题作为初中数学课堂教学的重要组成，承担着培养学生思维的责任.但是学生在解题过程中，只要在技巧上、心理上，亦或是知识上存在一丁点儿的错误，就会出现偏差，导致其出现解题错误.这种现象尤为常见，错误也是一种非常重要的学习资源，只要对其合理利用，就能让学生在错误分析中获得提升和发展.

1 初中数学常见错题归类分析

学生在解题过程中，受到多种因素影响，不可避免地出现各种错误.为了最大限度利用这些错误资源，促使学生从错误中吸取教训、在错误中获得提升，必须要对其进行归类、分析.具体来说，初中数学常见错题类型主要包括以下几种：

1.1 知识型错误

数学解题就是数学知识的综合应用，学生掌握的知识越是牢固、知识越是系统，解题突破的可能性也就越大.一旦学生在学习中出现了知识漏洞，或者对某些数学概念、数学性质认识不清，后期也没有及时进行填补，就会中断知识的连续性、系统性.如此，不仅制约了学生的后续学习，也导致其在解题时频频出现错误.

例1 判断x+1π是分式还是整式？

错解：部分学生在解答这一题目中，认为：x+1π中含有字母π，因此属于分式.

解析：学生之所以会产生错误，主要原因就是对“分式概念”的认知不够到位.根据分式的定义，在判断一个式子是否属于分式，主要是看其分母，如果分母中含有字母，则该式子为分式.对此，在书中给出了明确的定义：如果A、B表示两个整式，其中B中含有字母，那么式子AB就属于分式.因此，根据这一定义，即可得知x+1π属于整式.

例2 已知x=3+2，y=3-2，求：x3y-xy3的值？

错解：部分学生审题之后，就直接以x3y-xy3为切入点，先求出x3，之后再将其与y相乘，按照同样的思路，再次求出xy3.在这种情况下，学生将面临着复杂的数学运算，致使学生计算到一半就放弃.

解析：这种错误也属于知识性错误，主要是学生知识体系存在漏洞，在解题时并未联系所学知识，无法对其进行灵活应用和重组，致使学生在解题中出现错误.此时，学生只要联系所学的知识，就会对x3y-xy3进行因式分解：x3y-xy3=xy（x2-y2）=xy（x+y）（x-y）.通过因式分解之后，这一题目也就迎刃而解［1］.可见，学生在解题时，知识是否结构化、系统化，导致其在解题时出现了明显的差异.

1.2 思维型错误

数学解题过程也是思维过程.但在实际解题中，部分学生常常受到定势思维的制约，遇到简单问题时，尚可“按图索骥”进行解答，一旦题目稍有变化，或者稍微复杂一点，学生就无从下手，只会按照定势思维进行解答.在这种情况下，学生在解题时常常会出现各种各样的错误.

图1

例3 如图1所示，已知抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴相交，交点为C，与x轴则相交于A、B两点.且点A位于点B的左侧，B的点坐标为（1，0），OC=3OB.

求：（1） 抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）的解析式.

（2） 如果点D位于线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值？

错解：针对第（1）问解答，学生可得出C点坐标，即（0，-3），接着将B、C点坐标带入到解析式中，即可得出抛物线的解析式.针对这一问题解答，几乎所有学生均可得出；但是在对第（2）问解答中，要想求四边形ABCD面积的最大值，部分学生就按照传统的思维将其划分为两个三角形，即三角形ADC、ABC.三角形ABC面积好求解，但在三角形ADC面积求解中，由于无法确定其高，导致解题陷入到困境中.在这种情况下，学生无法及时转换思路，致使放弃.

解析：学生之所以会出现这种现象，一是因为二次函数问题本身就非常難，针对简单的问题学生尚可“按图索骥”进行解答.一旦题目有所变化，或者难度系数增加，学生就不知道如何着手，致使其在解题时不是出现错误，就是半途而废.其实，只要学生跳出思维的束缚，过D 点做DM∥y轴，

图2

分别与线段AC、x轴相交于M、N两点（如图2所示），即可形成新的解题思路：结合已经求出来的抛物线的解析式，可得出A点的坐标（-4，0），再结合C点坐标，即可确定出直线AC的解析式：y=-34x-3，之后再假设D、M点的坐标，即可得出一个关于DM的解析式，并由此得出DM最大值为3，最终即可求出四边形的最大面积.可见，在这一题目解答中，学生只要跳出了定势思维的束缚，即可在解题卡壳时，站在宏观的角度上，选择出正确的思路和方向，进而完成问题的解答［2］.

1.3 审题型错误

审题是解题的第一步，审题就是一个获取信息、分析信息、处理信息的过程，主要是在阅读题目和思考中完成.但在调查中发现，多数学生常常出现审题不清，题目分析不够到位等问题，最终导致学生在解题时，频频出现错误.

例4 在△ABC与△DEF中，∠A=60°，∠B=70°，∠D=50°，∠E=70°，判断这两个三角形是否相似？

错解：部分学生在审题时，常常因为这一题目难度系数比较低，扫一眼就认为两个三角形的度数不同，不满足相似三角形的条件，据此便匆匆给出答案：不相似.学生之所以会出现这一错误，究其主要原因就是在审题中忽视了“三角形内角和为180°”的隐含条件.

例5 为了满足市场的需求，某超市在端午节来临之前，推出了一种品牌粽子.已知每盒粽子的进价为40元.但是根据当地物价局的规定，每盒粽子的售价不能高于50元.结合以往的销售经验，超市决定将其定价在45元，此时每天可以卖出700盒，如果每盒售价提高1元，销售量就会减少20盒.

求：（1） 每天销售量y（盒）与每盒售价x之间的函数关系式？

（2） 当每盒定价为多少元的时候，每天的销售利润P为最大？且最大利润是多少？

错解：这一题目难度系数并不高，但学生在做题时，常常因为审题不清，导致其出现各种各样的错误.有学生得出第（1）问的解析是为y=700-20x，从而得到第（2）问结果为P=（45-40+x）（700-20x）.这位学生会出现这种解题错误就是因为审题不清，误认为是“提高”的价钱，同时这位学生表示这一类型的题目做过很多，一看到类似，就没有仔细审题；还有部分学生虽然对第（1）问，将函数解析式正确解答出来，即：y=700-20（x-45）=-20x+1600；但是在回答第（2）问时，虽然得出了解析式y=-20（x-60）2+8000，并结合该二次函数的图象形式，确定出该函数存在最大值.但之后便直接得出当x=60时，该函数拥有最大值，即超市获得最大利润，为6000元.学生之所以在最后一步出现错误，主要原因也是审题不清，忽略了“根据当地物价局的规定，每盒粽子的售价不能高于50元”这一条件，致使其功亏一篑.由此可见，在解答数学问题时，唯有认真审题，理清题目中的信息和数量关系，才能在此基础上正确解答问题，否则就会出现各种各样的错误［3］.

1.4 缺乏反思型错误

学习本身就是一个总结、归纳与反思的过程，学生在解题的过程中，常常不可避免地出现错误，但多数学生在面对错题时，常常只关心答案是否正确，仅限于就题论题，并未及时进行反思和总结，致使其在解题时频频出现同类错误.

例6 将根号外的因式移到根号内部

（1-x）1x-1.

错解：部分学生在解答这一问题时，忽视了二次根式中需要判断x的范围，导致其在解题的时候出现错误，即：（1-x）1x-1=1x-1·（1-x）2=x-1.针对这一错误，虽然教师进行了讲解，明确了在做这一类题目时，需要对x的范围进行判断，在不确定（1-x）正负的情况下，不能直接移到根号内部.

但是由于学生并未对错题进行整理，忽视了错误原因分析等，致使其并未真正弄懂此类题目的规律，以至于其在做a-1a题目中，又犯下了同样的错误：a-1a=-1a·a2=-a.

1.5 主观型错误

学生作为学习的主体，其在解题时的心理、态度和习惯等，也会在很大程度上影响解题的正确率.尤其是针对数学这一学科，学生在解题时，不仅仅要具备扎实的基础知识、基本的解题技能、良好的数学思维，还应具备良好的心理素质、严谨的解题态度以及良好的解题习惯，才能真正提升自身的解题效率.但在实践中，多数学生都受到這一因素的制约，导致其频频失分.

例7 等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角是多少度？

错解：这一题目难度系数非常小，但学生在解答的时候，却经常丢掉一种情况.导致这一现象的原因，就是学生在面临这一问题时，觉得其比较简单，产生轻敌心理，就想当然地将80°视为等腰三角形的顶角，据此确定出剩下的两个角度数为（180-80）÷2=50°；完全忽视了80°是底角的可能，致使另外一种答案丢失.

例8 计算（x-6）（x-3），4-xx-5+15-x=3.

错解：这原本是两道非常简单的计算题目，但部分学生在解题时，常常受到自身解题态度的制约，致使解题中出现了明显的错误，即：（x-6）（x-3）=x2+9x+18；在对4-xx-5+15-x=3解答中，直接在方程的两边都乘以（x-5），忽视了第二项分子中变号的现象，致使解题的结果出现错误.这一类型的错误几乎与是否掌握知识无关，基本上都是因为学生不够认真所导致［4］.

2 教学启示与建议

在初中数学学习中，错题尤为常见，正是因为出现错误，教师才能及时发现学生的学习漏洞，才能通过点拨、引导、解惑等，最终促使学生在“改错”“分析错误”的过程中，真正完成相关知识的深度学习，不断提升学生的数学解题能力.

第一，增强知识的厚度，引领学生开展深度学习.深度学习是建立在基础知识之上，也是学生促进知识系统化，提升学生解题能力的关键.而要达到这一点，初中数学教师在日常教学之前，必须要对现行的教材内容进行全面、深刻地分析，在深度理解教材内容的基础上，对其进行合理地拓展和延伸.同时，在组织和开展课堂教学时，还应立足于学生当前的知识水平、认知思维特点等，科学设计数学学习活动，引导学生以知识探究者的身份，经历知识的生成、发展、应用等过程，最终促使学生在探究学习的过程中，将知识从感性认识上升到理性认知，最终在深度理解的基础上，促进知识的迁移、应用.

第二，加强基础知识教学，奠定解题基础.鉴于数学学科的特点，基础知识是根基、关键，唯有夯实学生的基础知识，熟练掌握基本的数学概念、数学形式和公式，才能将其灵活应用到解题中.鉴于此，教师不仅仅要重视数学基础知识的教学，力求将每一个数学知识点讲透.同时，为了提升基础知识的教学效果，还应关注教学手段创新，并借助典型的例题辅助，以便于学生在实践中促进基础知识的理解与内化.

第三，关注阅读，提升审题能力.当学生在做题时，如果对题目都不理解，根本不可能做出正确的答案.学生在做题的时候，第一步就是审题.学生的审题能力，直接决定了学生自身的解题能力.鉴于当前学生审题能力低下的现状，教师不仅要强化学生的审题意识，还应在日常教学中，有意识地引导学生“该如何阅读题目”，理解语言的陈述，还应理解题目、熟悉题目，充分挖掘其背后的蕴含的隐性条件，以便于学生更好地进行解题.

第四，开展变式，强化思维.数学解题过程也是思维发展的过程，对学生的逻辑、抽象、发展思维等都提出了很高的要求.尤其是面对难度系数比较高的数学题目，学生唯有具备一定的高阶思维能力，才能快速、精准地解答出问题.鉴于此，教师在日常教学中，必须要紧紧围绕数学概念、数学性质和公式等开展变式训练，促使学生在改变条件、改变问题等训练中，促进思维的发展，并逐渐摒除思维定式的束缚.

第五，引导学生做好反思，养成良好的解题习惯.积极反思不仅仅是养成良好解题习惯的关键，也是提升学生解题能力的重要途径.反思就是引导学生针对错题进行反思，明确错误产生的原因，并将其归类，从而真正实现“知其然知其所以然”，促使学生在反思的过程中，从错误中得到教训；另一方面，还应准备错题集，做好日常错题的收集、分析等工作，在日常学习中及时进行翻看，以便于学生在分析中进行反思，在反思中进行改进，真正提升学生的数学解题能力［5］.

3 结束语

综上所述，错题是一种非常重要的学习资源，属于有意义学习的促进者，无论是教师还是学生都要从思想上重视错题.教师还应充分发挥错题资源的教育价值，以错题为切入点，对其进行归类，分析其错误产生的原因，并据此“对症下药”，调整课堂教学方案，有针对性地强化等，不断提升初中生的数学解题能力.

参考文献：

［1］ 黄赟.关注错解归因，提升解题能力——以初中数学为例［J］.数学教学通讯，2022（20）：40-41.

［2］ 蔡永芳.初中数学“错题集”的整理和应用［J］.数学学习与研究，2022（14）：26-28.

［3］ 周琴.初中数学“易错题”的分析及总结［J］.现代中学生（初中版），2020（12）：43-45.

［4］ 易善思.初中数学解题反思能力的培养途径［J］.数学大世界（中旬），2018（10）：87.

［5］ 陈学云.初中数学教学中解题反思的作用与途径［J］.校园英语，2017（38）：214.