灵活运用放缩法，高效解答数列不等式问题

李喜春

数列不等式问题通常较为复杂，且难度系数较大，对同学们的逻辑推理和数学运算能力有较高的要求.解答这类问题，往往需综合运用数列、不等式、函数等知识，常用的方法有放缩法和数学归纳法.本文重点谈一谈如何通过巧妙放缩，来解答数列不等式问题.

一、将数列放缩成等差数列

通过观察，我们通常能很快确定数列不等式中数列的通项公式及其特征，若通过放大或者缩小，数列的通项公式可以变为等差数列的通项公式，如 an -an -1=d（d 为常数），便可利用等差数列的前 n 项和公式对数列进行求和，从而快速证明不等式.

例1.

证明：

我们根据目标不等式 n（n + 1） 2 < Sn < （n + 1） 2 2 的结 构特征，利用基本不等式放缩代数式 n（n + 1） ，得到 n（n + 1） < 2n + 1 2 = n + 1 2 ；通 过 去 项 ，放 缩 代 数 式 n（n + 1） ，得到 n（n + 1） > n ，从而将数列{an}的通项公 式放缩为 n（n + 1） < 2n + 1 2 = n + 1 2 、 n（n + 1） > n2 = n ， 即可将数列变成等差数列.再根据等差数列的前n项 和公式来证明不等式，即可解题.值得注意的是，在构 造等差数列时，一般都是从数列{an} 的第一项开始放 缩.

二、将数列放缩成等比数列

有时通过放大或者缩小，数列的通项公式可以变 为等比數列的通项公式，如 an an - 1 = q（q为常数，且不为 0），那么我们就可以利用等差数列的前n项和公式对 数列进行求和，从而快速证明不等式.

例2

解：

为 了 将 数 列 的 和 与 n 2 - 1 3 、n 2 靠 拢 ，需 将 bn = 2n - 1 2n + 1 - 1 进行放缩，得到 bn < 1 2 、bn ≥ 1 2 - 1 3 ? 1 2n ，以运用 等比数列的前n项和公式求得数列的和.

例3

解：

我们需先利用不等式的性质将 ln（ 1 2k + 1） 放缩为 ln（ 1 2k + 1） ≤ 1 2k ，以将数列的通项公式转化为等比数列 的通项公式 1 2k ；然后利用等比数列的前n项和公式进 行求和.

三、将数列放缩成递推数列

有些数列的通项公式较为复杂，从中很难发现规 律，此时可将数列的通项公式进行适当的放缩，如添 项、去项、凑系数等，将其化为递推关系式，如 an + 1 = Aan + B 、an + 1 = Aan n + B 、an + 1 an = f （n） 、an + 1 - an = f （n） 等，进而构造出递推数列.再运用待定系数法、取倒数 法、取对数法等求得数列的通项公式和前n项和，从而 证明不等式.

例4

证明：

四、将数列放缩成可裂项求和的数列

通过放缩，有些分式数列的通项公式可裂为两项 之差的形式，且裂项后数列的前后项可以相互抵消， 即可运用裂项相消法求得数列的和.常见的裂项形式 有： 1 n（n + k） = 1 k ? è ? ? 1 n - 1 n + k 、 1 n + n + 1 = n + 1 - n 、 方法集锦 42 数学篇 1 4n2 - 1 = 1 2 ? è ? ? 1 2n - 1 - 1 2n + 1 .

例5

解：

要 证 明 1 a1 + 1 a2 + ??? + 1 an = 1 + 1 22 + 1 32 + ??? + 1 n2 < 7 4 ，需将数列的通项公式 1 an = 1 n2 放缩为 1 an = 1 n2 < 1 （n - 1）× n ，以将该式裂项为 1 （n - 1）× n = 1 n - 1 - 1 n ，即 可运用裂项相消法求和，证明不等式.最后还需单独验 证当 n = 1 时的情形是否满足不等式.虽然 1 n2 < 1 n - 1 - 1 n 对一切 n ≥ 2 时都成立，但是我们需从数列 { } 1 an 的 第三项开始放缩.如果从数列{ } 1 an 的第二项进行放缩， 将 会 得 到 结 果 ： 1 a1 + 1 a2 + ??? + 1 an = 1 + 1 22 + 1 32 + ??? + 1 n2 < 1 +（1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + ??? + 1 n - 1 - 1 n）= 2 - 1 n < 2 .而 2 > 7 4 ，导致放缩的结果过大，从而无法证明 不等式.一般地，裂项相消后，保留的项越多，其结果越 精确.

四、将数列放缩成可错位相减的数列

我们知道，若一个数列的各项由一个等差数列与一个等比数列的对应项的乘积构成，则可运用错位相减法求数列的和， 因此对于数列的各项是积式或商式的不等式问题，就可以将数列的通项公式放缩为一个等差数列和一个等比数列的通项公式的积或商，利用错位相减法快速求得数列的和，证明不等式.

例6.

解：

我们将 an = n - 1 2n - 1 an - 1 + an - 1 放缩得到 an - an - 1 > n - 1 2n - 1 （n ≥ 2） ，而 n - 1 2n - 1 为等差数列 {n - 1} 和等比数列 { } 1 2n - 1 的通项公式的积，便可利用错位相减法进行求 和，快速证明 an > 3 - n + 1 2n - 1 .

总之，运用放缩法证明数列不等式，不仅要根据数列和通项公式的特征选择合适的方法进行放缩，还要控制好放缩的“度”.有时， 同一个问题有多种放缩方式，如何选择最优的放缩方式？这需要同学们进行深入的探究.

（作者单位：贵州省遵义市第四中学）