裂项相消法的解题策略

叶扩会 王景艳

（保山学院数学学院，云南 保山 678000）

0 引言

数列是高中数学中难度跨度大、 求和方法多并且知识综合性强的重要内容， 在解题的过程中， 需要灵活掌握各种求和方法， 既要掌握解题策略， 更要掌握各种求和方法的实用范围。 下面我们针对裂项相消法来研究解题策略。

1 裂项相消法解题策略

裂项相消法是数列求和的重要方法之一， 下面我们将研究如下两个问题。

问题1：如何裂项，需要注意哪些事项？

问题2：如何相消，最后剩下哪些项？

裂项相消法实用范围：若数列{an}具有特征

an=bn-bn+k或an=bn+k-bn，

求{an}的前n 项和，则选用裂项相消法。

在实际的应用中，所给数列{an}并不具备特征an=bn-bn-k或an=bn+k-bn，经验告诉我们：一般地，一个数列的通项如果是一个分式， 即分母上含有n 的一个式子，则可用裂项相消法去求该数列的前n 项和。 如：

等等。 这些数列并不直接具备特征an=bn-bn+k或an=bn+k-bn，

这就要求我们进行裂项，那么，如何进行裂项，需要注意哪些事项？

裂项相消法解题策略：（1） 分母为两项积的形式，如果分母不是，应对分母进行分解因式。 如

（2）认准分母凑分子，分子凑为分母之差，一般地为大减小，如：

分母分别为(2n-1)与(2n+1)两项，因为(2n+1)-(2n-1)=2，故分子应凑2，如

（3）将an裂为两项之差。 如（2）中的

这里：

再如

由上式可知bn与bn+2相数差为2， 故前n 项和Sn中前面应该剩两项被减项b1，b2，后面剩两项减项bn+2，bn+1，即

2 应用举例

为了能更好的说明上述思想，我们给出如下例子：

例[2018 四川广元一模] 已知正项数列{an}的前n项和Sn满足：

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令

又an>0 知Sn=(n2+n)。

当n=1 时，a1=S1=2；当n ≥2 时，an=Sn-Sn-1=2n，综上所述：an=2n,n ∈N*。

（2）对数列{bn}按照裂项相消法解题策略进行变形得

由于分母(n+2)2-n2=4(n+1)，故

显然，数列Tn单调递增，故当n=1 时，Tn取最小值，且

3 结论

本文研究了裂项相消法的解题策略， 从裂项相消法的实用范围， 到如何裂项， 最后研究了相消后所剩下的项及项数。 使得裂项相消法的解题策略程序化，更加易于掌握。