借助“K”字模型,解决荒岛寻宝问题*

金子轩 (苏州市阳山实验初级中学校初三(2)班 215151)

指导教师 胡永强 (苏州市阳山实验初级中学校 215151)

1 问题提出

近日,老师给我们介绍了一道有趣的荒岛寻宝问题,这个问题来自著名物理学家乔治·伽莫夫的《从一到无穷大:科学中的事实与臆测》一书,具体如下:

一个年轻人得到了一张藏宝图,上面写着:“在某荒岛的一片空地上,有两棵树,一棵是橡树,一棵是松树,还有一个断头台．从断头台走向橡树,记住所走的步数,向左拐弯90°后,向前走相同的步数,在脚下做一个记号．回到断头台,走向松树,记住所走的步数,向右拐弯90°后,向前走相同的步数,在脚下再做一个记号,两个记号连线的中点便是藏宝之处．”年轻人来到荒岛后很快找到了那两棵树,但断头台却消失得无影无踪,他因此两手空空,败兴而归[1]．请问如果你是那位年轻人,你能找到宝藏吗?

2 模型引入

不难发现上述问题中隐藏着两个等腰直角三角形,这让我想到了“K”字模型．如图1,已知∠A=∠BCE=∠D=90°,BC=CE,容易证得△ABC≌△DCE,由此可以推导出一些相等的线段和相等的角,比如AC=DE,AB=DC,∠B=∠DCE,∠ACB=∠E．这张图有点像躺着的字母K,因此我们常称它为“K”字模型．

图1

3 问题解决

我们用符号语言描述这一问题:如图2,AC=AO,BD=BO,∠CAO=∠DBO=90°,点P为线段CD的中点．试说明点P只与点A和点B的位置有关,与点O的位置无关．

图2

观察图2,我联想到“K”字模型,于是尝试构造这一模型来解决问题．

·代数法

《从一到无穷大》一书介绍的方法是建立实轴和虚轴进而求解,这里涉及虚数的运算,我尚未学习过相关知识．但是,受其启发,我构造了一个平面直角坐标系,借助“K”字模型对其分析解答．

如图3,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,线段AB的中点Q为坐标原点,建立平面直角坐标系．

图3

作CE⊥x轴、DG⊥x轴、OF⊥x轴,OH⊥y轴,垂足分别为E,G,F,H．设O(m,n),A(-a,0),B(a,0),则OF=-n,QF=m,AQ=BQ=a．根据“K”字模型的结论,易知△CEA≌△AFO,所以AE=OF,CE=AF,则QE=-n+a,AF=m+a．于是CE=m+a,故C(n-a, -m-a)．同理D(a-n,m-a),则线段CD中点P(0,-a)．所以点P在y轴上,QP=a,PQ=AQ=BQ．所以点P位置与点O无关,根据A,B两点即可确定点P位置．

·几何法

对代数解法深入思考后,我发现不设坐标,直接使用“K”字模型的相关结论也可以解决．

如图4,分别过点C,P,O,D作AB的垂线,垂足分别为点E,F,G,H．

图4

即点F为线段AB中点．所以点P位置与点O无关,只需A,B两点即可确定点P位置．

4 小结与思考

以上我们可以发现,理解“K”字模型可以帮助我们找到解题思路,构造“K”字模型可以解决一类问题,大家在做题时要善于思考,敢于构造．两种解法也告诉我们看待问题要数形结合,综合利用代数眼光和几何眼光去思考问题,寻找解题思路!

最后不得不说的是,当我成功解决荒岛寻宝 问题的那一刻,我的内心非常激动,体会到了成功的喜悦,同时我也深刻体会到了数学的魅力和价值．

指导教师点评我们在数学学习中经常会遇到一些稳定的结构,通常称作数学模型．大家对数学模型进行深入研究后能够总结提炼出一些规律性的结论,这些结论可以用于解决相应的一类问题．小金同学运用“K”字模型,从代数和几何两个视角分析并解决荒岛寻宝问题,体会到数学学科分支之间的联系,感悟到数学具有广泛的应用价值,同时也品尝到了研究数学所带来的乐趣．