透视问题本质,玩转“爪形”三角形

徐 颖 (江苏省常州市田家炳高级中学 213001)

“爪形”三角形是指在给定的一个三角形中,连接一个顶点和对边上的任意一点构成的图形.近几年来,每年的全国高考数学卷都会考查“爪形”三角形.

笔者所在的常州市李金蛟名师工作室在高三一轮复习备考过程中,开设了一节解三角形专题课,从一道解三角形范围问题出发,通过变条件、变结论、变模型等方式进行探究,引导学生从中提出问题并解决问题,完善了学生的认知,提升了学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.

图1

图2

图3 图4

图5

1 梳理解法,唤醒认知

(1)AC边上的高的取值范围;

(2)若AC的中点为D,求中线BD的取值范围;

(3)设角B的角平分线与AC交于点E,求BE的取值范围.

2 变式探究,拓展思维

数学深度学习强调把握数学本质,要求学生在完整而深刻地理解数学知识的基础上,充分参与,积极建构,理性批判,并进行有效迁移与运用所学知识,进而发展学科素养[1].波利亚说过:“没有任何一个题目是彻底完成了的,总还会有些事情可以做.”数学教学不应仅限于就题讲题,而要教会学生运用所学进行举一反三.例题中涉及爪形三角形的3条比较重要的线:高、中线、角平分线,它们都与三角形的面积有关.教师可以变换题目的条件或结论,使学生掌握此类问题的通性通法.比如,隐去条件b=2,添加条件S的最值,得到变式1.

解法1设BD=n,AD=CD=m,分别在△ABD,△CBD中使用余弦定理得c2=m2+n2-2mncos∠ADB①,a2=m2+n2-2mncos∠CDB②,由于∠ADB+∠CDB=π, ①+②可得c2+a2=2(m2+n2) ③.在△ABC中由余弦定理得(2m)2=a2+c2-ac,代入③式得4n2=a2+c2+ac.

评析 解法1利用两次余弦定理以及邻角互补的思想,得到a,c和BD的关系,进一步使用基本不等式解决.解法2直接利用向量中线定理,将向量进行数量化,直接得到a,c和BD的关系,相对解法1,运算量大大减少.试想,如果点D是AC上的n等分点,是否可行?据此我们得到了变式2.

若继续将中线(n等分线)换成角平分线,我们可以得到变式3.

评析 本题可以看作由2018年江苏高考第13题的条件和结论互换得到.角平分线问题侧重考查三角形面积公式、等面积法、角平分线定理等.本题涉及基本不等式中“1”的妙用,学生不容易想到.

更一般地,如果BD把∠ABC分成两个不等角,我们又能得到什么呢?

结论 在△ABC中,记BA=c,BC=a, BD=m,∠ABD=α,∠CBD=β,则有

继续更换条件,将角平分线变成垂线,我们得到了变式4.

3 教后反思

“爪形”三角形在高考试卷中以中档题居多,本文在例题及其变式中,围绕ac,a+c,a2+c2等几个基本量对“爪形”三角形进行了深入探究,运用特殊到一般、转化和化归的数学思想归纳出中线、角平分线、垂线等常规解法.解决“爪形”三角形的策略有很多,比如“邻角互补”“等面积法”“算两次”“向量数量化”等,还要关注解三角形与三角函数、平面向量、基本不等式等的综合运用.在平时的教学中,教师要关注那些经典题目,通过一题多解和一题多变,以适宜的方式引发学生的思维碰撞,进而产生新知识,促进学生深度学习,最终实现发展学生核心素养的育人目标.