例论常规方法受阻时的解题教学*

孔祥武 (江苏省常州市第一中学 213003)

罗海兵 (江苏省淮安市淮阴区教师发展中心 223399)

1 问题的提出

章建跃博士认为:注重通性通法才是好的数学教学[1]．淡化技巧﹑注重通性通法也早已成为教师们的共识．然而,就算知道并熟悉了这些常规的通性通法,当碰到一些非典型问题时,解题者依然会捉襟见肘．有些看上去挺正常的题目,做起来却不是那么回事,或是因为复杂的运算而畏葸不前,或是因为常规方法不具可操作性而难以为继,这时解题者常常陷入进退两难的尴尬境地．当常规方法受阻时,解题者如何在常规方法和变换方法的纠结中突围?同时,倘若常规方法失效了,我们被迫选择了非常规方法,有些教师不知不觉中又把解题教学搞成了“题型+技巧”的展示,淡化了通性通法,突显了特殊技巧．加之2022年新高考Ⅰ卷整体难度颇大,现在各校高三教学随之普遍加大了难度,变化多端的技巧让学生无所适从,作为解题指导者的我们该如何破局?

2 常用教学形式

讲题容易破局难,成败关键在教研．笔者以为碰到常规方法受阻的问题,一定要加强研究．只有建立在自己深入研究的基础上,才能更好地指导学生解题．研究有了深度,课堂才有力度,教学才有效度．笔者经常基于这些非常规问题,引导学生从以下四个维度展开学习,现撷取一例以说明问题．

(1)求圆D的方程．

①若圆D关于直线l1对称,求n的值;

②若m>0,n>0,求证:mn+m-n为常数．

前面的思路自然清晰,但运算过程让人望而生畏,解题陷入窘境,常规方法似乎失效了,怎么办?

2.1 引导学生主动求变,另辟蹊径

解题受阻时要引导学生学会换一个视角看问题．正因为求交点复杂,代入后繁上加繁,我们可不可以另辟蹊径转而设出这个交点呢?

正所谓退一步海阔天空,穷则思变,换一个角度,调整思维的触角,通过主动求变来突破．解题教学中我们要引导学生学会“及时止损”,勇敢地放弃原来的想法,或许会“柳暗花明又一村”．

2.2 引导学生知难而进,调整优化

常规方法真的无效吗?有时可行与不可行也是相对的,因人而异的．解题者囿于自身水平,倘若实在想不出其他有效方法,也可以选择不忘初心,迎难而上．解题教学中我们可以引导学生继续审视自己原来的常规思路,进行调整优化．沿续最初的解法,我们选择硬算解之,“明知山有虎,偏向虎山行”．初步尝试后,学生发现项比较多,式比较乱．在学生经历“苦楚”之后,笔者适时引导学生以m为主元进行整理,整理成m的二次方程后再观察,得到如下解法．

但这种方法需要强大的“运算修为”作支撑,同时要运用因式分解技巧,因此曲高和寡,很少有人能“修成正果”．

2.3 引导学生寻根究底,追本溯源

多一些想,方能少一点算．学生都十分惊叹,为解法的简洁美所折服．像这样沿着命题者的足迹,居高临下,往往会产生优美的解法．

2.4 引导学生躬身自省,解题反思

题不仅要会解,更要会“品”．引导学生解题后反思也是解题教学的重要环节,可以帮助学生把理念升华．教师大致可以引导学生从以下角度再回顾:反思有无其他解法——拓展思维多样性;反思有无疏漏之处——确保思维严密性;反思提炼活动经验——形成方法迁移性;反思策略是否合理——提升解题实战性．笔者在引导学生反思该例题的时候,总觉得“不淋漓尽致,不痛快”．解法2的解答过程总觉得过于惊心动魄,其中因式分解提取公因子3m+1和3n+1在解题中具有很大的不确定性,这就使得这种方法缺少很好的适用性．难道这一因式分解过程就不能从其他角度发现端倪吗?笔者顺势把问题抛给了学生．

每一个解题的人都有自己的经验,可以根据自己的经验总结出若干条有用的要诀．教学中教师要善于引领学生进行解题反思,提炼活动经验.比如,就本题学生提炼出如下解题启示:做解析几何题要注意数形结合思想;解交点困难时可以设交点;对于凌乱的式子,要选择一个主元进行整理;遇到复杂的代数表达式要注意因式分解技巧．这样的解题心法与经典例题相结合,有血有肉,使解题方法更有生命力,有助于实现方法迁移．

3 几点教学启示

3.1 要重视非常规问题挖掘——忌浅尝辄止

常规方法受阻了,恰恰说明我们碰到的问题非典型、不一般,教师要深入研究,往往能积极促成自己更新解题观念,拓宽解题思路,弥补经验不足．同时笔者认为“常规”与“非常规”具有相对性和阶段性．现在的“非常规”问题随着研究的深入或是将来的“常规”问题．高考题中必然会有一定比例的“非常规”试题,以更好地实现甄别和选拔功能．就像f(x)=x·ex与g(x)=lnx·x相类似的同构技巧,刚开始出现时,大家往往惊叹于它的神奇,觉得“非常规”,但随着高考题推波助澜,逐渐引起大家关注,如今大家都已见怪不怪,觉得很“常规”了,所以我们的解题研究和教学要有前瞻性．比如解法2中提及的因式分解和主元整理技巧,看上去技巧性过强,有些“非常规”,却与2022年新高考数学Ⅰ卷的第22题有异曲同工之妙;解法3中用斜率来表示角的思想与2021年八省适应性考试数学卷第21题如出一辙．因此,我们平常碰到常规方法失效的问题时,一定不能简单冠以“非常规”的帽子,浅尝辄止．这些问题的出现恰恰是提升我们解题能力的重要契机,也许不经意间会与高考题来一场美丽的“邂逅”．

3.2 不要轻易否定常规方法——忌剑走偏锋

碰到常规方法受阻的问题,我们也不能轻易否定常规方法．常规方法暂时失效,不代表真的无效．常规方法通常有着广泛的“群众基础”,具有普适性,脱离了常规方法玩技巧,容易剑走偏锋,未必能达到好的教学效果．常规方法也属于通性通法．坚持通性通法,不仅能经常回顾和复习基本知识﹑基本方法和基本技能,而且能以“不变”的思考方式来应对“万变”的数学问题[2]．解题教学中碰到常规方法不能解决的问题时,若能想出不同于常规方法的解法,同时又能基于常规方法作改进,引导学生从失败走向成功,这样的教学往往更能直击学生要害,更具说服力,能引起学生认同．

3.3 要暴露思维调控的过程——忌包办代替

非常规性问题的解题教学活动中教师要注意暴露自己的思维调控过程,向学生展示预判﹑调整﹑抉择的真实过程,给他们示范自己是如何从失败走向成功的．只有真实的解题教学,才会使学生受到启迪,引导他们正视困难、面对挫折,从解题模仿到解题创造．哪怕常规方法最终被确定是无效的,教师也切忌包办代替,直接把自己成功的经验和结论告诉学生,因为不经历挫折的经验“来也匆匆,去也匆匆”．让学生经历其中,才更容易帮他们理解﹑接受和形成迁移．

常规问题,要做到熟练化,熟是纯熟自如,化是出神入化,不熟不化,更要多练,待到后来,自然熟能生巧,变化无穷．由此看来,常规方法如能娴熟运用也很有威力．碰到常规方法受阻的问题,思考时要坚持先常规方法后非常规方法,教学时要坚持通性通法为主,巧解妙招为辅,这样的教学才能既扎实又灵动,让不同层次的学生各有所得．