苗族银饰和刺绣图案中的数学文化*

何 贤 李东瑞 王天志 (云南师范大学数学学院 650500)

民族数学文化近年来受到了数学课堂教学越来越多的青睐.在数学课堂教学中渗透民族数学文化,一方面能发挥民族数学文化的传承功能,另一方面更能激发学生学习数学的兴趣．民族地区的数学教育应充分体现民族数学文化,将民族数学文化引进课堂,有利于民族数学文化辅助数学教育．云南文山壮族苗族自治州约350万人,其中苗族人口约50万人,当地很多学校都会设立苗族班级．研究苗族数学文化,将学生熟悉的银饰、刺绣等蕴含的数学元素融入到数学课堂中具有一定的可行性和实用价值．

关于苗族的数学文化研究多与苗族的服饰、刺绣有关．康美龄[1]分析了文山苗族服饰中的刺绣图纹内容、颜色和构图形式;李丹[2]从历史、文化角度出发,对云南苗族服饰图案在美学和人类学方面的艺术价值进行了研究．总体来说,关于云南苗族文化的研究文献还相对较少．但关于贵州苗族的研究文献较为丰富．罗永超[3]探析了黔西南苗族银饰中的几何图形,并通过设计数学课堂情景、问题的方式将这些数学元素融入到教学中;杨孝斌[4]借助苗族传统服饰中的几何图形完成了一篇关于“完全平方公式”的教学设计,将苗族服饰与课堂联系起来,为民族地区数学教学提供参考;王祖美[5]以黔西南歪梳苗族为例,分析了其刺绣图案中位似、旋转、对称变换等数学知识;杨通德[6]研究了歪梳苗族的背扇,从中发现了苗族刺绣图案中蕴含的勾股定理、等差数列、等比数列、平面曲线等数学文化．虽然同一民族在不同地区经过长时间的发展,文化等方面会产生差异,但关于贵州苗族数学文化研究的文献对于研究云南苗族数学文化仍有着很大的参考意义．云南少数民族数学文化资源的开发与利用任重道远.少数民族数学教育是我国数学教育不可或缺的一部分,有着非常重要的地位.尽管我国在这一领域已经付出非常大的努力,但仍有很大的进步空间[7]．

探寻少数民族数学文化,对巩固民族团结、缩小教育发展差距、推动区域经济协调发展具有重要的现实意义．各民族在历史进程中发展了各具特色的数学文化,如纪年、建筑、服饰等,本文仅从银饰和刺绣的角度做一点探讨．

1 苗族银饰中的数学文化

苗族银饰有银帽、银耳环、银项链、银手环、银胸佩、银腰坠等,常以千奇百怪的变形图案为主题.苗族银饰图案中存在着许多的几何变换,因而苗族地区的学生可以从他们熟悉的银饰图案入手来了解这些变换的基本特征,学习变换的基本性质,体验变换在现实生活中的广泛应用.这对于中小学生认识丰富多彩的现实世界,形成初步的空间观念,了解图形间的联系,以及感受、欣赏图形美都是大有裨益的．

1.1 多边形内角和

图1至图4分别是三角形、四边形、五边形和六边形耳环,这些耳环都由三角形组成．由此可提出问题:①已知三角形内角和为180°,由两个三角形耳环组成的四边形内角和为多少度?五边形、六边形内角和各为多少度?②依此类推,请归纳出n边形内角和表达式．

图1 图2 图3 图4

1.2 圆的位置关系

圆形在银饰中十分常见,苗族人通过改变圆之间的位置关系使银饰外形更加丰富．图5是由很多同心圆组成的一个银耳环．从图6的手镯可以看出,内层的各个大圆相互外切,外层的小圆分别与内层的每个大圆相交,且小圆之间相离．

图5 图6 图7

图7是一个耳环吊坠,画出它的几何图形(图8)后发现,图中有七个等圆,每个小的等圆都相互外切,且圆A,B,C,D,E,F与大圆O内切．由此可以提出问题:①已知六个等圆的半径为r,则小圆和大圆的半径分别为多少?②在大圆外再作六个等圆,且每个等圆与相邻等圆外切,与大圆外切,则这六个等圆的半径为多少?③建立直角坐标系后请写出大圆和小圆的方程;④请写出圆A,B,C,D,E,F的方程．

图8

图9是一对银耳环,可以看到耳环整体为水滴形,中间有一个圆,圆中是一只蝴蝶,这只蝴蝶的翅膀由两个大的等圆和两个小的等圆组成．图10和图11是两个耳环吊坠,中间分别有四个、六个等圆,且这些等圆相互外切,并与外面的大圆内切．现提出问题:①这些等圆的圆心是否共圆?②这些等圆与大圆的切点是否共圆?③这些等圆相互外切的切点是否共圆?④作为课堂拓展,还可以提出,n个相互外切且与大圆内切的等圆的圆心共圆吗?

图9 图10 图11

观察图12、图10和图11可以发现,图的中心分别有三个、四个、六个等圆,它们互相外切,且与大圆内切.我们可以思考:如果这些等圆的半径为r,那么大圆的半径R应该为多少?以图12为例,连接三个等圆的圆心得到一个正三角形ABC(图13),小圆的圆心O即为该三角形的内心,只需求出圆心O到正三角顶点的距离再加上等圆的半径即为大圆的半径．问题的实质是求三角形外接圆的半径,但在学生思考时可能会误认为三个等圆与大圆交点连线过等圆圆心,直接求交点连线所形成的三角形外接圆半径．同理,图10、 图11分别是求正方形、正六边形外接圆半径．此时可以让学生思考问题:如果半径为r的等圆与大圆内切,且这些等圆相互外切,则大圆半径R为多少?

图12 图13 图14

1.3 椭圆

图14是一对椭圆形的耳环,中间椭圆中内切两个小圆,且这两个小圆相互外切,由此图可以设计出一个数学问题:两个等圆相互外切,且两圆与椭圆内切,已知圆的半径为r,求椭圆的标准方程．

1.4 数列

图15是一件银饰装饰,是由等圆组成的一个正三角形,等圆共有五行,第一行1个,第二行2个……依次增加.很明显圆形的个数为一个等差数列.此时可以提出问题:①该数列的公差是多少?②请写出该数列的通项公式;③请求出该数列的前n项和Sn．这个例子比较简单,学生在初步学习等差数列知识后即可求出,也可以将它作为数学情境来引入等差数列．

图15 图16

除上述之外,苗族银饰中还蕴含着大量数学元素,如图16,是用银条盘成的螺形纹的背扣,两个圆形由一个S形的银片连接组成,构成了一个中心对称图形.苗族银饰图案还包括了星形线、玫瑰曲线、螺旋线等.探究苗族银饰几何元素,研究民族数学文化与开发少数民族课程资源,利用学生熟悉的银饰进行教学,是对课程标准的具体落实,对苗族地区数学教育有着重要意义．

2 苗族刺绣中的数学文化

苗族堪称“服饰大族”,刺绣是苗族服饰文化的重要组成部分．文山州苗绣传统图案主要由 规则的几何图形组成,其中涉及直角三角形、等腰三角形、正方形、菱形、八边形、梯形等,同时还包括了花、草、虫、鱼等．图案造型由具体变抽象,图案效果随着几何图形的增加形成强烈的视觉冲击．

2.1 对称

苗绣图案中很大一部分运用了对称的绣法．如图17,图案整体为一个大的轴对称图形,且它的每个组成部分也都是轴对称图形,每个小对称图形重复形成一个绚丽的图案．在课堂中可提出问题: ①图17整体是轴对称图形吗?②组成图17的图案中哪些是轴对称图形?③请找出这些轴对称图形的对称轴．

图17

除了轴对称之外,苗绣图案中还存在很多中心对称图形,图18中正方形被分成了八个全等的直角三角形.以红色为例,第一个三角形按同一旋转方向依次旋转90°,180°,270°后得到其他三个三角形,形成了两对中心对称图形,现以对称点为原点在方格纸中建立直角坐标系绘出其中一个三角形(图19),让学生画出其余3个三角形．

图18 图19

图20中四个黄色菱形构成了中心对称图形,四个粉色的菱形也形成了中心对称图形．现以对称点为原点建立直角坐标系,如图21,给出其中一个菱形ABCD的坐标A(1,1),B(6,1),C(8,5),D(3,5),让学生写出其余3个菱形的坐标．

图20 图21

2.2 相似三角形

苗绣的整体结构及局部图案都有相似图形的应用．如图22,可以将这图形简化为图23,由此可以创设问题:①如果点D,E分别是△ABC边的中点,试证明:△ABC∽△ADF;②如果四边形BEFD是矩形,试证明:△ABC∽△ADF．

图22 图23

2.3 勾股定理

如图24,选取图中最大的两个正方形得到平面图(图25),点E,F,G,H分别是大正方形ABCD四条边的中点,请同学们思考:如何利用图25来证明勾股定理?通过面积法学生可以很容易证明勾股定理,该图形与“邹元治证法”证明图不谋而合,展现了苗族人民的智慧．

图24 图25

2.4 数列

图26是图24的平面示意图,Ai+1是AiDi(i=1,2,3)的中点,取AiBi=d．据此提出问题:①请求出A1B1,A2B2,A3B3的长;②观察AiBi的长发现正好为一个数列,求出该数列的通项公式;③请计算出正方形AiBiCiDi的面积;④正方形AiBiCiDi的面积是否是数列?如果是,求出这个数列的通项公式Sn．计算后可以发现两个数列都是递减的等比数列.这个图案从外到内正方形的边长递减,对应的正方形面积也在逐渐缩小,这也说明苗族人民在刺绣时能很好地利用数列这一思想方法．

图26

2.5 平方差公式

图27是苗族服饰的一部分,整体是由四个全等的梯形和一个小正方形组成的大正方形,我们可以借助该图从几何的角度来解释平方差公式．

图27 图28

图28是它的平面示意图,现记大正方形为ABCD,小正方形为EFGH,设大正方形边长为a,小正方形边长为b,此时让学生思考讨论如何用这个图解释平方差公式.经过讨论探究及教师引导后能得出用“面积法”,即“四个梯形面积之和等于两个正方形面积之差”来证明.证明过程比较简单．

2.6 完全平方公式

图29是一块正方形刺绣图案,大正方形的四个角分别有四个全等的小正方形,画出其局部几何图形如图30.令正方形ABCD的边长为a,正方形EIFC的边长为b.据图提出问题:①表示出两个长方形GDFI和HIEB的面积,两个正方形EIFC和AGIH的面积;②在计算出长方形面积和大正方形面积后,根据“两个正方形的面积加上两个长方形面积等于大正方形面积”即可得出完全平方公式．

图29 图30

3 总结

课程标准建议教师“应根据具体的教学内容,从学生实际出发,创设有助于学生自主学习的问题情境”,“教材素材的选取应尽可能地贴进学生的现实”[8],所以在苗族地区的数学教育应根据具体教学内容,从学生熟悉的文化生活出发,创设有助于学生自主学习的情境．以学生熟悉的这些文化素材为学习性题材,让学生在自己熟悉的文化中学习数学,体验实验、分析、归纳、总结的数学思想方法,是现行课程标准所提倡的教学理念．只要我们采纳数学标准对教师的建议,就会自觉地去发掘苗族文化中的数学文化.这些数学文化将为教师在创设教学情境时提供丰富的素材,从而提高少数民族学生学习数学的兴趣,有效拓展少数民族学生的数学素养,全面提高数学教学质量．