关于高中生自学数学课本的一点探究

2023-07-18上海市市北中学200071

中学数学月刊 2023年7期

关键词：自学例题课本

杜平 (上海市市北中学 200071)

1 提出问题

自学能力,是指没有其他人的指导和教师的教学,通过自己获得一定的知识或技能,并掌握其应用和提升素养的一种学习能力．自学过程中,只有自己一个人,但是可以运用不同的工具、书籍等．

今日世界科技日新月异,知识爆炸．由于互联网的作用,知识得以海量地传播并快速更新,因而要求人们具备一定的自学能力,以适应新时代终身学习的需要．中科院院士卢仲衡指出:“未来的文盲不再是不认识字的人,而是没有学会怎样学习的人．”

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出[1]3:提倡独立思考、自主学习．培养学生自学能力,完全契合这一理念,日常的教学有助于该理念得到切实的落实．

相对于小学、初中学生,高中生学习的自觉性、注意力大为增强,对事物的感知能力、领悟能力和独立思维能力大为提高,是培养自学能力的黄金时期．因而在高中数学教学中,如何培养学生的数学自学能力是一个值得重视的问题．由于学生每天要学习多门学科,能用于学习数学的时间有限,故每次选取大约一节课容量的课本内容组织学生展开自学活动,可把学生的自学融于日常的教学之中,既切合实际又便于实施．本文的意图是以此作为切入点,探寻学生开展较为科学的自学活动的方法,为提高学生的数学自学能力作些探讨．

2 学生自学的一次尝试

2.1 自学任务布置

学生来自一所上海市重点中学的高一年级,为了解学生自学能力的现状,笔者在没有对学生进行自学方法指导的情况下布置了如下作业:自学课本第112～114页上的“8.3.1向量基本定理”,完成第115页上的练习8.3(1),并做自学笔记,把你认为重要的记下,要求用时大约四十分钟．并告诉学生,在第二天数学课上,对自学情况进行反馈．所用教材为上海市2020年版高中数学新教材[2]．

2.2 自学情况反馈

第二天课上,先让学生阅读课本,复习温故自学内容．然后,为较真实地反映自学情况,要求学生只能看笔记,不得看课本,回答下列问题:

1．这段课本内容讲述的主旨是什么?

2．该内容有怎样的层次结构?

3．该内容涉及的定理是什么?写出该定理．课本是怎么发现这个定理的?请给出该定理的证明,说说你对该定理的认识．

4．该内容涉及的概念是什么?课本是怎么引入的,又是如何定义的?说说你对该定义的认识．

5．新引进的数学符号是什么?

6．例题涉及什么问题?与上述定义、定理有怎样的关系?你能概括出它的解法吗?

7．在处理这些问题的过程中,使用了哪些数学思想与方法?

8．给出第115页上练习8.3(1)的解答,课本设置这些练习的意图是什么?

9．自学过程中,你对课本内容进行了( )．

|A．有选择的浏览 |B．完整的浏览

C．完整的阅读 D．完整的研读

10．你有自学的目标和规划吗?( )

A．没有,随意阅读

B．只觉得要看定义、定理、例题

C．有,但比较模糊

D．有明确的目标和规划

学生答完后,收交批阅,根据学生回答的合理性程度打分:若基本答不上,得0分;能答上一点,但与正确答案有较大的偏差或缺漏,得1分;能回答出正确答案的要点,但有些小偏差或小缺漏,得2分;能正确解答问题,得3分;问题9、问题10选A,B,C,D依次得0,1,2,3分．

2.3 自学情况分析

表1给出了学生答题的得分情况,具体分析如下．

表1 学生答题的得分情况

问题1:明确自学内容的主旨有助于明了自学内容所表达的用意或目的,把握自学内容的要点．这个问题学生得分不高,大部分学生只是给出了课本的标题,对主旨的认识是模糊的、表面的．这说明很多学生自学时并不关注这一点．

问题2:揭示自学内容的框架结构是对问题来龙去脉的宏观把握．学生在这个问题上得分偏低,大多数人回答不出,说明其自学行为缺乏大局观,易被一些只言片语所吸引．

问题3:大多数学生能回答出课本介绍的是向量基本定理,借助笔记能写出定理．但是,关于定理的发现、证明以及对定理的深层次理解,学生回答得不理想．这说明他们只是被动接受定理,缺乏领会的习惯与能力．

问题4:大多数学生由笔记能写出基的定义,但与定理的自学类似,对定义的认识回答的正确率、合理性不高．学生自学时,不去、也不善领悟和揭示概念的本质,更注重的是对定义的机械记忆．

问题5:数学符号是数学的重要组成部分,可使数学问题表达简洁明了、思维简约．大多数学生答不出向量基本定理结论中的符号表示a=λe1+μe2,表明数学符号不被学生关注．

问题6:在介绍定义、定理之后,通常课本会设置与定义、定理有关的例题,这种相关性被忽视,很多学生对例题解法的表述不得要领,说明学生对课本设置例题的意图和解法未加揣摩．

问题7:很多学生答不出这个问题．自学时,他们关注更多的是数学知识层面,而对技能技巧和数学思想方法方面关注不够．

问题8:大多数学生解答得较好,主要原因可能是问题比较简单,且有例题模仿．但对设置练习的意图回答正确率不高．说明学生只管做题、不问目的,没有反思意识．

问题9:选D的学生最少,选A,B,C的相差不多．反馈发现,凡仔细研读的,自学的效果普遍较好．数学语言抽象、符号奇特、极具逻辑、充满探索,数学学习对学生有很高的领悟和思维能力要求,学习时需要仔细琢磨、认真体会,方能领会．而浏览性阅读缺少深入理解的环节,难于领悟课本内容的确切含义．

问题10:大多数学生选择B,选D的几乎没有．这反映出学生学习无计划,目标模糊．这样的自学,学生无法把控好自己的学习活动,难免会出现迷茫、不知所云,最终无功而返．

以上10个问题学生的平均总得分刚过半,并且从上面的分析可知,被测学生的自学行为存在诸多问题,效果不佳．其原因是不知如何自学,亟待寻求有效措施加以转变．

3 对自学的分析

3.1 关于自学的对象

高中数学教材是按章节顺序编排的,通常每章分为若干节．如一节内容较多,又分若干小节．再按大约一节课的教学容量,将每小节又分成若干部分．一般地,每个部分通过实例、创设问题情境等手段,引导学生导出数学的概念与命题(包括公理、定理、法则、公式、性质等)．通过例题、练习,帮助学生对教材内容进行强化、加深理解、掌握应用,并让学生得到训练,形成一定的技能．这个过程中,借助了一些技能技巧、思想方法来解决上述问题．教材的编写考虑到了便于学生自学．

普通高中数学课程目标所表述的大概要点为[1]8:通过高中数学课程的学习,学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的“四基”,提高数学角度的“四能”．在学习数学和应用数学的过程中,发展学生的“六个核心素养”,培育学生学习数学的情感与态度等,这些在教材里均得到了体现与落实．由此可见,高中学生的数学学习是多维的,在学习过程中需作出多方面的考量．

3.2 关于课堂教学中教师的作用

课堂教学是中学生学习的主阵地,教师起着主导作用,是学生学习过程的布局者、学生学习目标的确定者、学生学习活动的监察与调控者、学生学习的授业解惑者、学生学习情感与态度的培育者以及学生学习成效的评价者．这样的课堂教学,就学生学习而言是他控学习．

3.3 关于学生的自学活动

自学的本质,是与学生他控学习相对应的自我调控学习．自学时,自学者的学习不可无章法地进行,须承担起教师在课堂教学中所起的作用,方能顺利地展开学习活动．这对学生来说具有挑战性,如何做到呢?

申克和齐默尔曼将自我调节学习界定为[3]272-279:学习者系统地引导自己的思维、情感和行为而使它们指向目标实现的一种过程．由此可看到,自我调节学习是主动建构的一种过程,是由自己确定目标并引导学习过程,围绕目标对自己的认知、情感、动机进行监督、调节与控制．自我调节学习涉及学习者认知方面的因素与动机方面因素的整合．

温内和哈德温的学习过程模型把自我调节学习分为四个阶段[3]272-279——分析任务、设置目标与制定计划、实施策略、调节学习．这个过程不是直线进行的,而是循环往复的．

4 自学的实施

针对课本一节课内容的自学,怎么开展自学活动?下文主要以自学向量基本定理为例作些探究．

4.1 分析任务

自学应从阅读课本开始．首先,通读浏览,就是艾德勒和范多伦所说的检视阅读[4],着重关注阅读材料的层次结构,关注阅读材料研究的主旨,看不懂的暂且先放一下．据此分析知,课本向量基本定理这一小节的逻辑结构为:提出问题,在平面坐标系内,起点在原点的向量与其终点坐标一一对应,如何用向量知识对其表述?并给予解决→进一步提出,如何推广到一般情形?引出向量基本定理→向量基本定理的证明→介绍基的概念以及向量基本定理的另一种表述方式→进行向量的线性表示→巩固练习．这节内容表述的主旨是,介绍向量基本定理和基的概念及向量的线性表示．由此可见,通过通读浏览,可从“揭示结构”“明确主旨”两个方面分析任务．

4.2 设置目标

该小节的学习目标确定为:理解向量基本定理及存在性的构造法和唯一性的同一法证明,理解基的概念,体验向量基本定理的发现和证明及基的概念的形成过程,会用基表示向量,培养勇于探索的进取精神．关于教学目标,当前普遍的共识是分为三个方面[5]:知识与技能、过程与方法、情感与态度．“四基四能”和“六个核心素养”涵盖于前两个之中．关于学习目标的确定,根据前述“分析任务”,也应该从三个方面进行提炼．在平时的教学中,应向学生介绍目标中的一些常识,比如核心素养、情感与态度等．这些在他控学习时学生未必关注,但在自学时会直接影响学习目标的制定,学生应当提前知道．

4.3 实施策略

此环节要对课本内容进行精读钻研,可沿“分析任务”中揭示出的逻辑结构逐一展开．

·命题的学习

(1)特例分析

如何用向量知识描述平面向量与有序实数对一一对应的关系?这为抽象的向量基本定理提供了具体的指称对象,从而使向量基本定理不至于太抽象．学生不宜直接阅读课本,而应自己先去探讨,这有利于其积累活动经验,为处理推广情形作好铺垫．

图1 向量与坐标的一一对应关系

(2)推广探究

图2 向量分解

(3)命题发现

让学生试着得出向量基本定理,这种注重自我构建得到的命题表述也许不太准确,甚至是错误的,但与直接接受课本的表述相比较,对发展学生的数学抽象素养,培养学生发现、提出问题的能力,培养勇于探索的精神,以及对定理本质的准确把握、数学语言的准确表达所起的作用,不可相提并论．向量基本定理可表达为:如果e1,e2是同一平面内的两个不平行的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,都可以唯一表示为e1,e2的线性组合,即存在唯一一对实数对λ,μ,使得a=λe1+μe2．

(4)命题理解

得出定理后,应该对定理的界定仔细斟酌,进行再认识．此时要做好三件事:一是“二明确”,明确条件是什么、结论是什么.对向量基本定理,条件涉及三个向量e1,e2,a,它们共面,e1,e2不平行,a任意．结论为a可用e1,e2的线性组合表示,这种表示唯一,线性组合指a=λe1+μe2,唯一由存在唯一一对有序实数对λ,μ体现．二是“三表达”,用文字语言、符号语言、图形语言分别表示定理,当然不是所有定理都有三种表示,尽量用多种方式表达．如向量基本定理,同时重视文字、图形(如这里用了平行四边形法则)和符号(如这里的a=λe1+μe2)表示．三是对定理本质的揭示,如向量基本定理的本质为“平面上任何一个向量,都可唯一地分解成平面上两个不平行向量的线性组合”．随着学习的推进,还需再深入地去领悟与揭示．

(5)命题证明

先自证,再阅读课本证明．经历了自主探求,更易领悟课本的证明,证后还需揭示证明过程中所用的知识与思想方法．向量基本定理的证明分存在性和唯一性两个步骤.由(2)知,证明存在性用了构造法,构造出平行四边形实现论证;而证明唯一性,用了同一法．这在以往教材中没有明确提及,学生会不理解,或误认作反证法,因而自学时常会遇到困难．这一方面要求学生勇于探索、坚定意志,不要轻易放弃．另一方面,注意适可而止,可通过查询图书资料,或利用网络,或寻求他人(包括老师)帮助而获得解决．这也是当今时代人们获取新知的重要途径和所需具备的一种求知技能．

由(1)(2)(4)以及将要讨论的“例题与练习的学习”可以看到,为顺利地进行自学,学生需要具备一定的分析、解决问题的方法和能力,才能更好地理解课本的表述．在数学学习中,这是需要着力培养的数学核心能力．为此,根据波利亚的解题理论[6],设置问题解决的分图3．图3给出了解题所遵循的一般程序和思维的方式方法,对重要环节说明如下．

图3 解题所遵循的一般程序和思维的方式方法

弄清问题解决问题的出发点和归宿是问题,顺利解决问题的前提是对问题的深入了解．应把弄清问题贯穿于问题解决的始终,注意反复、多次进行,切忌臆想．善于借助图象与引入符号认识问题．

双向探求由条件(已知)推出结论(所求)所需,由结论(所求)寻求所证(求)之途．这是数学探求最常用、最基本的模式．

展开联想波利亚解题表的精髓是启发解题者去联想,其目的是建立手头问题与相关知识、方法和曾经历过的问题的连接,再通过合情推理等手法找到解决问题的途径．解题表中“你曾见过它吗”等建议,是产生联想的有效途径．

善于转化问题解决的过程,其实是不断转化的过程,解题者需要掌握一些重要的转化方式、方法．

注意切换复杂问题总会涉及较多的知识和方法,要有思维从一个场景切换到另一个场景中去的意识,以促使知识、方法间的融会贯通．

多维思考问题有多面性,会多种视角考虑问题．

反思深化反思问题解决过程,揭示所用思想方法,思考如何改进、优化、拓展自己的思维,提出新问题．

(6)命题习得

借鉴文献[7]关于数学命题教学的三种模式,设置如下学生习得数学命题的分图4．

图4 学生习得数学命题

对于引入命题,课本通常采用三种模式:①发生型模式．构造问题情境,将问题开放化、特殊化,或进行变式,让学生感知、体验、概括、抽象,从而归纳出命题．②结果型模式．直接给出命题．③问题解决模式．创设问题情境,通过问题的解决产生数学命题．其实,课本关于向量基本定理的引入,是发生型和问题解决模式综合应用的结合．图4中的后面两个环节,将在后续学习中加以研究．对于命题,学生应着力训练这三种模式下的自学能力．

·概念的学习

课本在介绍了向量基本定理之后,直接引入了基的概念:给定平面上的一组向量,如果平面上的任意向量都可以唯一表示为这组向量的线性组合,那么称这组向量是平面向量的一个基．由此可知,向量基本定理是基的概念的上位知识．要理解基的概念,应结合向量基本定理．由向量基本定理和基的概念依次可知:一组向量不平行⟹任意向量都可以唯一表示为这组向量的线性组合⟹这组向量称为一个基(*)．于是,课本直接给出了向量基本定理的另一种表述:平面上任意两个不平行的向量都组成平面向量的一个基．这是基的概念的下位知识．不难得出,(*)中推出符号连接的三个命题等价．因而,基的概念应该也可表述为:若平面上一组向量不平行,那么称这组向量是平面向量的一个基．而课本为什么不这样定义呢?事实上,课本的定义更能突出“基”的内涵:所有向量都可由这两个向量表示,这两个向量便成了所有向量的根基．根据上述认知得:平面向量的基是两个不平行的向量,即可以唯一线性表达平面内任一向量的两个向量．基不唯一,有无数个．以上对基与基本定理作出了两种不同的表述,形成了概念、定理域(系),这一多角度揭示有助于深入理解．

借鉴数学概念教学的三种模式,设置如下学生习得数学概念的分图5．

图5 学生习得数学概念

对于引入概念,课本通常采用三种模式:①概念形成模式．通过具体例子进行分析、概括抽象而得出概念．②概念同化模式．利用所学概念的上位、下位或并列关系为新概念的引入作铺垫,仔细辨认新概念与学过的相关概念之间的异同,剖析概念结构,揭示概念内涵,明辨概念外延,充分利用已有概念同化新概念．③问题引申模式．创设问题情境,通过问题的解决引入概念．不难看到,基的定义的引入,利用了概念同化模式．随着学习的推进,还要进一步做好对概念的理解、强化、应用、形成概念域等工作,方可习得概念．对于概念,学生应着力训练这三种模式下的自学能力．

·例题与练习的学习

在讨论概念和命题之后,课本常会设置关于概念与命题的正误辨析、应用问题、相关技能和方法的训练,即落实图4和图5中位于后面的环节．

比如,设e1,e2是不平行的两个向量,找出①e1与e1+e2,②e1-2e2与e2+2e1,③e1-2e2与2e1-4e2,④e1+e2与e1-e2中不能作为平面内的一组基.通过练习,加深学生对“不平行的向量才能为基”的印象,丰富向量基本定理和基的概念的正反例证．

通过应用,也可深化学生对概念和命题的认识,有助于在纷繁复杂的问题中辨认、调动相关的概念和命题,促成问题的解[3]75-79．

图6

用基的思想处理向量问题时,把一个向量表示成基的线性组合是必备的前提,需要形成一定的技能．课本安排的练习中共有3道练习题,都设置了这方面的问题,以便让学生进行一定强度的训练．

图7 习得基本技能

·笔记与反思

做学习笔记是一种良好的治学习惯,它迫使学习者对学习内容进行梳理概括,形成系统,分清主次,揭示要点．完成这些工作需要采用复述、精加工、组织等认知策略,因而可增强学生的认知能力．笔记内容通常由概念、命题、例题、技能技巧、思想方法等组成,并使之形成有内在联系的系统,还要记录概念、命题、例题的注解,自己独到的见解,注意点等,用一些符号、彩色笔等强调重要的内容．同时,考虑图4和图5中位于最后环节的探讨．

反思时,要检查有没有完成学习目标,回顾学习中哪些学习方式方法是成功的、哪些要改进,不断总结自学的经验教训,提高学习中的元认知能力．

5 自学导图

由以上探究,归纳梳理出如图8所示的自学导图．

图8 自学导图

尽管每次自学只有一节课的容量,但涵盖了中学数学的概念、命题、应用及伴随的“四基”“四能”等核心要素．同时,自学活动涉及到学习心理学的众多理论,这些理论对自学活动起着重要的指导作用．导图开头,突出了自学是自我调控的学习,要求自学者时刻把控整个学习的进程与行为．导图后续,遵循了温内和哈德温的学习过程模型,给出了自学的程序、目标与任务,使自学具有计划性和条理性,易于激发学生从宏观到微观的学习动机,提升自学效率和自学效果．习得学习内容,需多次循环往复．据此,导图很多环节间有双向连接．四个分图是导图中精读钻研环节的细化,提供了怎样去认知课本内容的程序与策略,隶属于自学导图．培养自学能力的核心有两个:一是对自学过程的合理把控;二是科学的认知策略．

6 教学建议

6.1 循序渐进

由导图可知,自学其实是较复杂的程序性知识的学习．可以按照安得森的ACT模型三阶段理论展开自学活动．刚开始时,教师先向学生介绍自学导图并进行自学示范,使学生有一个初步的认识．然后,选择较易自学的课本内容让学生进行自学,使其获得感悟和体验,熟悉自学流程,再逐渐加大自学内容的难度,着力培养认知能力．建议学生将自学导图及其分图和数学课本放在一起,把其当成“座右铭”,常研读、勤实践,与自己的自学行为习惯多对照、促改进．逐步进入第二阶段,不用导图也可自如地进行自学活动．课本划分的适合一节课的学习内容五花八门,导图所给的只是比较典型的情形．比如,解三角形在测量中的应用,教材只介绍了两个例题．又如概率初步第一课时,只介绍了一系列概念,无定理与例题,这就需要进行泛化和辨别的训练,来达到第三阶段的要求．以后可扩大到不止一个课时内容的自学,到了长假,还可试着进行一个单元的自学,逐步实现教会学生学习的教学理想．

6.2 持之以恒

数学自学是一项复杂的工作,学生学会自学贵在坚持,非一日之功,教师应该常抓不懈,让学生的自学行为形成常态,日积月累,不断丰富并加以完善,逐步形成良好的自学能力．

6.3 三者协同

指导、反馈、交流,是自学教学过程中的三个重要方面．教师是学生自学的导师,要承担起学生自学的组织、指导、评价工作,这样才能保证自学活动有序、合理、高效地展开．教师要关注学生的自学行为,了解学生自学状况,以便取得及时的反馈,给予学生恰到好处的评价、指导、纠正．教师要组织学生交流自学经验与方法,相互比较、相互借鉴、相互启发、相互激励,因为同学间的交流最易产生共鸣与启示．