数学课程中的控制与调节

楼思远 (浙江省杭州第十四中学 310006)

教学过程是完成数学教育任务的主要途径,而对各种结构形式的控制与调节是有效提高数学教学质量的关键.在数学教学过程中,通过合理的优化组合,选用适宜的教学方法,适时采取控制与调节手段,能使数学教育在培养学生核心素养方面得到显著的成效.要实现这一点,就必须厘清教材结构、知识结构、教学结构这三者与学生认知结构之间的关系问题.

知识是人们对客观事物的特征、属性以及联系的反映,是人类经验、思想、智慧赖以存在的形式.人类在历史长河中积累了大量的知识,后人就是在充分继承前人知识的基础上不断探索、不断前进的.不论人们掌握何种知识,从心理活动来讲,都是通过对新信息进行内部加工,获得表象和意义,从而形成或重组知识系列结构.要让人类已有的知识转化为学生个体知识,必须以教材结构为主线、以教学结构为媒介,使知识结构转化为学生个体的认知结构,这是数学学科教学的必然规律.学生的个体认知结构是由一定的概念判断和推理所组成的思维模式,由于学生掌握的数学概念、判断和推理的基础程度有所不同,认知水平也就有不同的层次,因此必须采取合理的教学模式．而教学的方式和手段是由教材的内容和学生的认知结构决定的,教师不是教教材,而是用教材教(教思维方式),学生不是学教材,而是用教材学(学思维方法),也就是说学生的认知结构组织是在教学活动结构中的重组．因此只有把教材结构、知识结构、教学结构这三者与认知结构有机结合起来,并有效地进行控制与调节,才能将教材的知识结构转化为学生个体的认知结构,从而实现数学水平的提高.

1 在教材结构上,整体控制、局部调节

数学教材的结构体系按一定的逻辑顺序排列,要用这些知识结构去构建学生的思想和认知结构,不仅要考虑知识的逻辑顺序,还需考虑学生的心理发展顺序.因此,需要进行创造性的再建构,通过整体点化,里外贯通,把知识的整体与部分组织成纲目清晰、主次分明的网络结构,做到整体控制与局部调节相结合,使之伸张自如,从而有效地完成数学教学任务,达到教育目标.

整体控制包括两方面:一是居高临下地把握教材的整体结构,抓住知识的“纲领”;二是提炼出教材知识结构体系中能发展学生思维、完善认知结构的数学问题进行有效的设计,从而精准把握教学内容的量.局部调节也包括两方面:一是注意教材前后逻辑上的自洽,学后面的知识时必须有前面应该有的认知结构;二是对教材的结构进行再加工、再创造,通过合理调节,使之符合学生已有的认知结构.

整体控制与局部调节主要体现在备课中.在讲课前教师如不能准确把握整个知识结构,就如同建造大楼却不知道这幢大楼的总体设计;同时,若不掌握用料的先后顺序,那么构建大厦将成为纸上谈兵.因此教师既要从教材整体上予以合理的控制,又要在编排设计教学过程时对教材内容适时加以调节,这样才能收到事半功倍的效果.如函数的概念与性质这一章节的教学,可从以下方面去适时调节并实施于教学过程:

(1)重视章引言的教学.章引言介绍了本章的主背景,是核心内容的原型,也是整章知识的生长点,教师应结合一些生活中的实例,让学生对学习内容有一个整体的了解,引发学生思考并激发他们探索新知的欲望.

(2)以学生熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数为载体,以图象为立足点,研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性,然后上升到对一般函数的这些性质的代数刻画.

(3)反过来,又利用代数刻画对一次函数、二次函数、反比例函数的性质进行重构,在此基础上,利用函数的性质研究函数与方程的问题.

(4)通过对上述研究方法的强化与同构,为后续指数函数、对数函数、幂函数的性质研究作好铺垫,进一步加深对函数性质及其研究方式的理解.

学生掌握了教材的基本结构,就能在此基础之上形成大量的正迁移.这种迁移是指现学的知识对以后学习产生的积极影响,是学生认识结构稳步发展的必要条件,可以为学生终生学习奠定良好的基础.因此,在控制教材整体结构的基础上,对部分教材结构进行适时的调节,不但能够突破重点、渗透数学思想和方法,更重要的是使学生形成良好的批判思维品质.

2 在知识结构上,深度控制、广度调节

这里所谓的知识结构是指教师对教材知识结构进行加工、创造之后形成的知识结构,教师恰当地处理知识结构内部的深度和广度是拓宽学生思维、开阔知识视野、增强学习兴趣、坚定学习信念的重要条件.对有些知识内容如不挖掘到一定的深度,学生就不能形成严谨的认知结构,尝不到知识清泉的甘甜,更不能培养克服困难的坚强意志;对部分知识结构如不拓展到一定的广度,学生就不能感悟到数学思想和眼光,达不到更上一层楼的广阔意境,更不可能激发出学习数学的兴趣.

在深度控制上,要以教学大纲为标准,紧紧围绕知识结构内在的必然联系来制定教学目标,使数学发挥其应有的育人功能,以培养和提升学生的探索能力和创造精神,但切不可盲目追求深度,否则会打击学生的学习信心、禁锢学生认知结构的发展.

数学知识结构一般可分为三个层次:(1)数学问题中的常规解题方法与技巧,是第一层次;(2)数学问题中的思路分析及思想归纳,是第二层次;(3)数学问题背后的数学眼光与数学意识,是第三层次.

如在学习二倍角公式以后,可以引“深”出三倍角的相关内容,并配备以下练习:

(1)证明:sin 3θ=3sinθ-4sin3θ,cos 3θ= 4cos3θ-3cosθ.

(2)试求sin 18°的值.

(3)已知f(x)=3x-4x3,x∈[-1,1],试求f(x)的值域.

以上练习层层推进,先从基本公式入手,引导学生掌握常规解题技巧,然后根据化归的思想方法,通过三倍角这一桥梁揭示多项式与三角函数之间的深刻联系,最后借助由不等式“外壳”包装的证明难题,培养学生观察、分析、归纳的习惯,提升透过现象看本质的思维意识,帮助学生理解“万变不离其宗”的辩证哲理.

在广度调节上,要紧密结合知识结构的内在联系和学生认知结构的发展趋势,根据学生的最近发展区来拓宽知识的广度,以培养学生的总体认知结构意识.如在学习了椭圆的第三定义之后,适时提出一些问题:

(1)回顾前面所学的圆的内容,是否有类似的性质或结论(斜率之积为定值)?

(2)类比圆的性质,若将第三定义中椭圆的两个端点改为椭圆上任意两点(两点的连线仍通过原点(中心)),那么椭圆上任意一点和这两点连线的斜率乘积是否仍然为定值?

(3)关于椭圆的上述结论的证明方法对一般的二次曲线是否适用(可否在后面的双曲线和抛物线中推广)?

(4)什么是几何不变量?如何理解几何不变量?

这就自然地拓宽了学生认知结构的广度,增强了学生的求知欲,又为后续学习做了认知结构上的准备.

3 在教学结构上,宏观控制、微观调节

要较有成效地把已有的数学知识转化为学生个体的认知结构,必须借助教学过程结构完成,教师不能单纯地要求学生从字面上明白或者仅仅记住科学结论(定理、概念等),而是要既讲推理也讲道理,有意识地帮助学生对教材提供的材料进行分析、比较、概括,形成概念,作出判断并运用推理来解决问题．学生不仅仅要掌握各种知识,更重要的是逐步发展完善自己的认知结构,因此好的教学结构既要用精准、简洁的基本概念和原理反映出知识的逻辑结构,又要符合学生的认知特点和心理需要．

目前主要的教学方法包括讲授式、启发式、自学式、大单元教学式等.无论哪种形式,都有其独立的教学结构存在,因此,教师除了在整体与局部、深度与广度上控制与调节之外,还要从教学结构的布局上进行宏观控制和微观调节．

采用符合学生基础学力和认知规律的教学结构,恰当地处理教材,是教师在课堂教学中个性艺术的具体表现和内心追求.研究如何从宏观上对教学结构的整体和每一个层次所占用的时间加以控制、从微观上对各个教学层次合理取舍和调节,是提高四十分钟课堂教学效益的关键．

在教学结构的宏观控制上,要以教材的难易程度和学生的实际接受能力为标准,选择一种主要的教学结构模式,并对每一个层次所需时间进行适当的控制．例如,在众多的教学结构形式中,大单元教学法已成为普遍采用的教学手段,教师要利用大单元教学法进行教学,首先必须理解其实质含义:对数学课程内容进行结构化的整合,突破线性教学的模式,根据学生的认知规律,灵活调控教学内容与教学进度[1].因此,在具体的教学过程中,要处理好局部知识与整体内容的关系,把零散的数学知识有序地链接成知识链,凸显数学知识的整体性,从全局角度出发制定单元整体的教学目标,让学生不断感悟数学的思想与知识的内涵.

在微观调节上,要根据学生的实际理解能力和接受程度来对教学结构进行调整.仍以大单元教学法教学为例,它是教师在学生已有基础上,引导其围绕一个主题,通过联想、类比、推理等开展的模块式探究活动:当学生在学习中未遇见较难问题时,可以省去不必要的师生问答与机械练习环节,并辅之以其他教学方式;对学生普遍感到有疑问的地方,师生展开详细的讨论,在彻底扫清认知障碍后,将该问题涉及的知识点与前后内容有机聚合,建立起融会贯通的数学认知结构.这样的操作有效地利用了教学时间,增加了反馈、评价、矫正、强化的机会,提升学生的核心素养并形成良好的认知结构,提高了教学效果.

4 重视认知负荷,进行再控制与再调节

运用上述控制与调节的手段,可形成对教学效果的先验估计,充分体现以学生为主体、以教师为引导、以核心素养为主旨的辩证统一的课堂教学过程.该过程能加强教学的开放性、民主性,增加透明度,使学生的知识能力、认知结构、思维素养等全面和谐地发展.但另一方面,在课堂教学中,学生解决问题和适应学习任务的各种认知加工活动均需消耗认知资源,产生认知负荷[2].因此,针对数学课程的相关控制与调节不是静态的、一成不变的,而是教师在接收到学生心理变化(情感,行为)的信息反馈后作出矫正(再控制与再调节)的过程:在保证信息反馈的准确性、连续性、及时性的情况下,针对让学生产生认知超载的教学行为进行矫正,使学生的认知压力与学习动机达到动态的平衡,从而使课堂教学效果最佳化.

总之,从学生认知结构出发作出的各种控制与调节,都需根据学生的主体信息反馈随时作出再调控,从而激活并提高其知识建构的自动化水平.