中国古代数学的图腾:赵爽弦图(续)

张维忠 唐慧荣 (浙江师范大学教育学院 321004)

2.4 数学中考试题中的“赵爽弦图”

由于“赵爽弦图”中蕴藏着丰富的中国传统数学文化,近些年来,它已成为各地数学中考题的热门题材．下面,我们再来看看数学中考试题中有哪些关于“赵爽弦图”的内容．

图11

图12

(3)(2021·贵阳)(a)阅读理解:我国是最早了解勾股定理的国家之一,它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图13所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程．

图13 图14 图15

(b)问题解决:勾股定理的证明方法有很多,如图14是古代的一种证明方法:过正方形ACDE的中心O,作FG⊥HP,将它分成4份,所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC=12,BC=5,求EF的值．

(c)拓展探究:如图15,以正方形一边为斜边向外作直角三角形,再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形,重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n,小正方形A,B,C,D的边长分别为a,b,c,d．已知∠1=∠2=∠3=α,当角α(0°<α<90°)变化时,探究b与c的关系式,并写出该关系式及解答过程(b与c的关系式用含n的式子表示)．

图16

图17 图18

这些中考题注重知识的产生和应用,体现了对数学素养的重视．“赵爽弦图”在中考中的应用,还会被深入地挖掘[4]．

通过对“赵爽弦图与勾股定理”的探究,可以发现中国古代数学是非常注重实用的一门科学．

3 勾股定理的古代及现代应用

3.1 勾股定理的古代应用

在四大文明古国的历史中,勾股定理的应用不胜枚举．在古埃及,人们在建造宏伟壮观的金字塔时用到了勾股定理,金字塔底部四角都是严格的直角;在古巴比伦,后人找到了一块编号为“普林顿322”的泥板(图19),上面记载了很多勾股数;在古印度,人们用它来建造祭坛(图20);在我国古代,利用勾股定理更是有大量实例,如数学名著《九章算术》和其他数学著作中就记载了大量勾股定理应用于实际生产和生活中的案例．

图19 “普林顿322”泥板 图20 祭坛

(1)应用勾股求长度

如著名的“引葭赴岸”问题(图21):今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐．问水深、葭长各几何?

图21 引葭赴岸 图22 图23

译文:有一个边长为10尺的正方形水池,正中央长有一棵芦苇,高出水面1尺,把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,芦苇顶部刚好碰到岸边．问水多深?芦苇多高?(注:尺、丈均为旧制长度单位,1丈=10尺)

解 如图22,设水深AC为x尺,芦苇AD(=AB)的长为(x+1)尺,可列方程x2+52=(x+1)2,解得x=12,即水深12尺,芦苇长13尺．

还有“折竹抵地”问题(图23):“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”

译文:一根竹子高一丈,折断后竹子的顶端落在了距离竹子底端3尺的位置,折断处距离地面的高度是多少?(注:1丈=10尺)

(2)勾股应用于行程问题

“行程问题”:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三．乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何?”

译文:甲、乙两人同时从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3,乙一直向东走,甲先向南走十步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙分别走了多少?

(注:“步”为旧制长度单位,一步等于五尺．不同的朝代,“步”的长度不一样．)

解 如图24,设经过x秒,甲乙在B处相遇,这时乙共行AB=3x,甲共行AC+BC=7x．因为AC=10,所以BC=7x-10．又因为∠A=90°,根据勾股定理,可列方程(7x-10)2= 102+(3x)2,解得x=3.5,则甲的路程是7×3.5=24.5(步),乙的路程是3×3.5=10.5(步)．

图24

除了以上两个例子,《九章算术》中还提到了非常多的相关应用．另外,李冶的《测圆海镜》有一著名的“圆城图式”(图25);刘徽在《海岛算经》中用到勾股定理进行山高或谷深的计算(图26)．

图25 “圆城图式” 图26 山高计算

不难看出,古时候人们已经能够广泛地运用勾股定理解决与直角相关的问题．

3.2 勾股定理的现代应用

随着人们对世界的探索,在现代,勾股定理广泛地应用于不同的学科中．如图27,物理学中的合力计算涉及到了勾股定理;在地理学中,结合当地冬至日的正午太阳高度,利用勾股定理来计算楼距是常见的方法(图28)[5]．

图27 图28

勾股定理在生活和生产中更是随处可见．房子验收时需要检测墙角是否为直角(图29),常见的办法是分别测量墙边的两条边长和一条对角线,看这三边是否满足勾股定理即可;工厂生产带直角的零件时,一般是以直角尺(图30)为基准,但对于一些较大尺寸的零件来说,使用这么小的直角尺会产生较大的误差,这时便可以用勾股定理确定直角的方法弥补工具的不足;在直角楼梯上铺设地毯时,可以利用勾股定理进行地毯长度的计算(图31);三角屋顶是我国常见的屋顶构造之一(图32),此类屋顶的设计与勾股定理息息相关;太阳能热水器的集热效率与太阳光照时长有直接关系,可利用勾股定理计算太阳能热水器安装角度(图33),得到更多的日照．

图29 图30

图31 图32

图33

3.3 大千世界与勾股定理

大自然的奇妙逃不过数学家的眼睛,大千世界里的许多现象都涉及到了勾股定理．下面我们以“聪明的葛藤”和“台风的势力”为例找一找勾股定理的影子．

葛藤是一种聪明的植物(图34),为了获得更多的阳光和雨露,葛藤常常以高大的树木为依托,缠绕其树干盘旋而上．它总是沿着最短路径——螺旋线绕树干攀升．若将树干的侧面展开成一个平面(图35),可清楚地看出葛藤在这个平面上是沿着直线向上生长的．

图34 葛藤 图35

如图36,假如树的横截面周长是30 cm,葛藤绕一圈便升高40 cm,则它绕树爬行一圈的最短路程是多少?(将树视为圆柱体)

图36 图37

将树干侧面展开,如图37,可知爬行一圈的最短路程是AB′的长度．利用勾股定理,可列AB2+BB′2=AB′2,即302+402=2 500,因此AB′=50 cm,即它绕树爬行一圈的最短路程是50 cm．

如果该葛藤绕树干爬行5圈就到达树顶,则藤蔓长多少?

方法1 已知AB′=50 cm,从图38可知,藤蔓的总长为5×50=250 cm．

图38 图39

方法2 如图39,将完整的路径展开,可知AF′为藤蔓总长,即1502+2002=6 250,所以AF′=250 cm．

数学真是无处不在!除了植物的生长,大千世界中的其他现象与勾股定理还有什么联系呢?

在夏秋季节,每年都会有多个台风来影响我国,为了降低台风带来的不利影响,气象学家会进行台风移动路径和影响范围的预测．在预测时,光有气象学知识是不够的,还要结合数学知识才能进行相关的计算．

例如,据气象观测,沿海城市A的正南方向220 km的B处有一台风中心正在以15 km/h的速度沿北偏东30°方向移动,且中心风力不变,离台风中心160 km范围内都会受到台风影响,A市是否会受到台风影响?请说明理由;若会受到影响,则影响的时间多长?

解 如图40,设台风沿BF方向移动,过点A作AC⊥BF于点C．在Rt△ABC中,由AB=220 km,∠B=30°,得AC=110 km．因为离台风中心160 km范围内都会受到台风影响,所以A市会受到台风影响．

图40

一直以来,勾股定理以简单的形式和深刻的内涵与大千世界紧密相连,为人类解读大自然的语言提供了重要桥梁．“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲,它存在的历史意义值得我们回味．我们从古人的智慧谈起,借助“赵爽弦图”了解了勾股定理．从长远的历史来看,这些数学定理的产生和发展蕴含着一代又一代数学家们的辛勤付出．

(续完)