初中数学教学中模型思想渗透策略研究

赵平海

摘 要：培养学生的数学应用意识是初中数学学科教育的主要目标。在初中，建模思想是学生学习与解题的主要思想，在课堂中融入建模思想能够有效培养学生的创新意识、思维能力、运用意识。基于此，文章介绍了初中数学教学中渗透建模思想的原则，并重点阐述了在数学概念课、原理课、习题课教学中如何渗透模型思想，以期促进学生多方面的发展。

关键词：初中数学；教学；模型思想

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1673-8918（2023）21-0119-04

一、 引言

传统初中数学教学以讲解为主，很少渗透数学模型思想，导致学生对模型理解不透彻，没有形成数学模型思想。这是因为一些一线教师对模型思想的认知还存在误区，认为这会让解答数学问题变得复杂。其实不然，先建立数学模型再学习或者解答数学题可以帮助学生减少很多思考的步骤。

二、 初中生数学建模的一般过程

（一）探寻实际问题情境

这一过程指学生在现实情境中观察有关信息，确定实际问题的结构、类型，总结实际问题的表征。接着通过观察与概括等形式，确定实际问题中有哪些条件，厘清实际问题的条件与目的，为下一步抽象现实问题模型奠定基础。

（二）抽象现实问题模型

在上一探究过程后，学生能够清晰地表达实际问题，并能刨除一些无用信息，抽象出实际问题和关键信息。有时学生们不能抽象出更精简的数学条件，则要再次分析，用图形、文字模型等形式进行表达，理清要解决的实际问题中的数量关系，化繁为简，以此抽象出现实问题模型，便于学生将问题模型数学化。

（三）将现实问题数学化

在构建问题模型之后就可进行数学化，将实际问题转化成数学问题，实现数量关系的结构化、符号化。在此可以教授学生利用数学概念、定理与公式表达情境，然后就可运用数学方法来解决。也就是说学生在建模的过程中要先将实际问题数学化，将与生活相近的实际问题转换成新的数学问题，然后构建模型，尝试解决问题。

（四）将数学问题模型化

在确定好数学问题后就要建立数学模型，将问题中的条件与学生已学的数学概念、规则、公式等联系，构成基本数量关系，进而建立方程（组）、不等式（组）、函数等模型。

（五）求解数学模型

一般情况下数学模型是对数学材料的重组，在弄清楚变量之间的变化后，就可以制定数学模型解题的方案，找到一个彻底解答数学模型的方案，得到最终的数学结果。最后通过反思与检验的形式验证建模与解答模型过程的正确性。

三、 初中数学教学中渗透模型思想的原则

（一）情境性原则

数学来自人们的生活实际，如果脱离现实，数学只代表数字与符号，所以教师开展的数学教学不能脱离现实情境。学生们建立数学模型解决实际问题是一种学习策略，有很强的抽象性，教师在教学的时候通过将数学知识与实际生活结合，能够帮助学生将感性与理性认知联系起来，加强对知识的理解。

（二）循序渐进原则

不同学生的数学认知能力也有很大的差异，教师在教学的时候，不能因为模型思想渗透难度大而放弃教授这部分知识，也不能指望学生能够短时间掌握数学模型思想。而是要在学生掌握基础知识之上，由教师循序渐进地进行教学，让学生通过学习逐渐感悟模型思想，提升建模能力。

（三）数学化原则

初中数学中的知识来自生活中的多个方面，而学生学习数学，是为了能够在实际生活中运用数学解答问题，同时运用数学改造生活。模型思想的本质也是通过数学语言与符号、图形，将生活中的问题转化为数学问题，然后通过函数、方程、不等式等表示数学中变量之间的关系，获得问题的结果。

四、 初中数学教学中渗透模型思想的策略

（一）数学原理课中模型思想的渗透

数学原理有数学公式、数学定理、数学法则等。数学公式有完全平方公式、平方差公式、平均数公式、方差公式、扇形面积公式与弧长公式等；数学定理有三角形内外角定理、角平分线定理与逆定理、全等三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形HL判定定理、分式的基本形式、四边形与特殊四边形的性质与判定、韦达定理等；数学法则有加减乘除法则、有理数的混合运算、整式的加减乘除、幂的乘除与乘方、分式的加减乘除法则。

由此可知数学原理课占整体教学内容比重较大，教师要重视此部分课程的教学，并能运用适合的资源在课堂中渗透数学模型思想，让学生在数学原理课中体会建模的重要性。此类课型教授给学生的知识不只有定理与公式、法则，更重要的是对这些知识探索的过程，能够让学生发现规律，然后利用模型表达。自此经历从特殊到一般的过程获得数学知识。数学原理课中模型思想的渗透过程为：观察实例、提出猜想、验证推理、形成原理、运用实践。课堂中为学生提供的实例要简单，易于猜想，然后推理验证。因为初中生的推理能力有限，所以可以运用实验验证与归纳推理法，确定猜想形成原理后，就可进行简单的推广运用。

例如“有理数的加法”教学内容是在小学阶段的正数加法的基础上增加了负数，有负数+正数、负数+负数、负数+0，这三种类型的加法问题算理就是确定结果的符号、绝对值。在实际案例中学生可以根据生活经验了解这些相反意义的量，例如：“乒乓球比赛中，晨晨赢了3个球+3分，输了1个球-1分，她一共得了多少分？”表示为3+（-1）=2，此處运用的计算思维是正负抵消。这可以加强学生对正负数加法算理的认知，然后教师可再设置一个学生难以跨越的“障碍”，让学生建立构建模型的意识。如设置问题诸如-23+34，让学生在之前经验基础上，自己想办法解决问题。例如：算式3+6=9、-6+0=-6、3+（-2）=1、6+（-3）=3、-4+3=-1、0+3=3、-4+1=-3、-4+（-1）=-5、-1+（-4）=-5。第一步，制定模型标准。有正数+正数，这部分是小学学习的内容，如3+6=9；正负数+0，0与任何一个数相加都等于这个数，如-6+0=-6、0+3=3；正数与负数相加，如3+（-2）=1、6+（-3）=3、-4+3=-1、-4+1=-3；负数与负数相加，如-4+（-1）=-5、-1+（-4）=-5。第二步，提出猜想。对上面模型进行细致分析，本次课程原理课主要是为了解决第三、第四类问题，即确定负数与另一个数相加确定结果的符号与绝对值。下面要思考的是怎样确定符号、怎样确定绝对值。学生们会发现，大的负数加小的正数结果是负数、小的负数加大的正数结果是正数、负数加负数结果是负数。这时学生们说的“大的”“小的”就是指绝对值的大小。虽然学生的语言不规范，但是认知是正确的，教师表扬的同时要客观指出问题，然后引导学生规范表达。第三，推理验证模型，教师出示问题-12+3、-12-3、-12+0等问题，让学生利用自己的猜想解答，然后验证猜想。第四，形成原理。在验证无误之后，运用规范性的数学语言表达有理数加法法则，让学生在此过程中感受数学语言的严谨性。第五，应用推广，就是运用模型的过程，再出示习题让学生运用有理数加法法则进行计算，教师尽量鼓励学生摒弃旧的计算习惯，使用法则来计算，学生刚开始改变计算习惯可能有一些错误，所以需要教师带领学生反复使用法则运算，慢慢让学生内化成习惯，快速提升计算能力。

（二）数学概念课中模型思想的渗透

七、八年级有很多概念形成的课型，如一元一次方程、有理数、函数、不等式、分式等概念。在这些概念的教学中要让学生经历概念生成的过程，就像伟大数学家发现概念一样，概念形成的过程就是建模的过程。例如无理数概念的教学，学生们对整数知识理解得比较透彻，对分数也知道分子分母。他们会经常产生这样的疑问，有没有既不是分数又不是整数的数？这样的数叫什么？基于此，教师可以渗透数学模型思想进行无理数概念的教学。

第一，发现问题。在勾股定理教学之后，学生们经常遇到这样的问题，一个等腰直角三角形的两条直角边为1，那么根据勾股定理得到第三条边a的长为a2=2，这里的a是有理数吗？则让学生产生数学“危机”，知道a不是整数，是介于1～2之间的数；也不是分数，因为分数的平方也是分数，却不知道a到底是什么数。所以既不是分数也不是整数，它的平方还是2，根据有理数的概念，a不能是有理数，既然不是有理数，a是什么数呢？

第二，分析问题。对a2=2中a的值，通过计算机计算可知a=1.41421356…，与π相似，都是无限不循环小数，除此之外还有这样的数吗？教师提出例子，正方形的面积为5平方厘米，它的边长是有理数吗？设边长是x，x2=5，可知x不是有理数。再如正方体的体积为5立方厘米，它的边长是有理数吗？设边长是y，y3=5，可知y不是有理数，以此形成概念，然后教师带领学生找出这些数的共同点。即使用计算机计算他们都是无限不循环小数，不能用以前学习过的数来表示。详细分析，分数可以转化为有限小数、无限循环小数；有限小数也能转化成分数。但是无限循环小数转化为分数却是比较困难的，教师可以多列举几个例子让学生体会转化方法。如：0.3·=0.333…①0.3·×10=3.333…②，②-①得到0.3·×9=3，所以0.3·=13。同理可证0.13·=215，0.3·4·=3499。这种转化过程有些许难度，但是为了让学生能够知道无限循环小数是可以转化成分数的，所以教师要在课堂中做这种示范，为渗透建模思想提供充分的契机，让学生知道像上面x、y这样的数的本质是无限不循环小数。

第三，解决问题。教师可以再列举无限不循环小数的例子，让学生知道这种数有很多，思考如何下定义，就是建模的过程。自此“无限不循环小数是无理数”这个定义自然生成，学生能够充分地区分有理数与无理数。

在此过程中可知，在教师的引导下学生主动思考形成概念，同时在发现问题与突破问题中还能发现更多的未知要素，经历抽象概括环节后形成新的概念，在这个过程中就渗透了建模思想，对相同属性的事物构建模型，让概念形成更有条理。

（三）数学解题课中建模思想的渗透

初中数学解题教学占的比重大，每一节新课教学之后都要有对应的解题课，这也是培养学生建模思维的最佳时机。教师在解题教学课中要指导学生如何解题，找共性，建立模型，让学生能够用模型来解题，举一反三。下面从代数与几何两方面阐述如何在数学解题课中渗透模型思想。

1. 代数解题教学中渗透建模思想

代數类问题解答常用的模型是A·B=C，这个模型也是最简单的，学生从小学阶段就开始接触了，如行程问题中的路程=速度×时间、工程问题中的工作量=工作效率×工作时间等。在小学阶段知道三个量中的两个，学生可以轻松求出第三个量，直接列出算式求解。到了初中阶段则是通过设未知数列方程模型，或者通过变量表示函数模型等，加大了学生学习的难度。

例如问题：“商场内出售一款裤子为80元，晨晨买这款裤子一共花了240元，请问晨晨买了几条这款裤子？”此问题的解答是通过设置未知数，晨晨买了x条裤子，然后列出一元一次方程80×x=240来解答。再如问题：“商场内出售一款裤子80元，一款衬衫150元，晨晨一共买三件，花了310元，求晨晨各买了几件衬衫和裤子？”此问题增加了一个研究对象，就变成二元一次方程组问题了。可以直接运用模型A·B=C，详细来说，就是价格模型：总价格=售价×个数。

再加深难度，例如问题：“商场内出售一款裤子为80元，进价为30元，每天可卖100条，据市场调查可知，裤子每降价1元，可以多卖4条，要想每天获得利润5600元，每条裤子降价多少元最合适。”这个问题看似复杂，却仍然可以使用模型A·B=C来计算，此时的模型是总利润=单条裤子的利润×销售量。设每条裤子降价x元，那么每条裤子的利润是80-30-x=50-x（元），销售量则为100+4x。对每条裤子的利润和销售量算式的表达对学生来说难度有些大，分析起来就是学生对模型的认知不足。每一个新知识点的教学，都需要教师引导学生在学习新知识的同时还要与旧知识形成对比，找出异同，挖掘知识本质，在举一反三中巩固所学。当学生学会A·B=C这个模型后，自然就能自己分析代数应用题。

除了方程之外还可用函数表示应用题中的条件关系，在A·B=C模型中将C作为变量y，A或者B作为未知数x，如此一个函数模型就产生了，即y=A（B）x。例如问题：“商场内出售一款裤子为80元，进价为30元，每天可卖100条，据市场调查可知，裤子每降价1元，可以多卖4条，每条裤子降价多少才能获得最大的利润？”之前的问题中给出利润是5600元这个条件，现在没有了这个条件，可以将总利润用y表示，函数关系式为y=（100+4x）（50-x）。通过对一系列销售问题的分析，能帮助学生深刻地认识到函数与方程之间的联系与区别，对两种模型的认知也会更加深入。

2. 几何解题教学中渗透建模思想

初中几何题中的模型较多，几乎每一种基本图形都能够当做模型运用到解题中，如扇形公式、等腰三角形的三线合一等，在复杂的几何问题中可以帮助学生找到基本模型，挖掘有效信息，科学解题。

初中阶段的几何证明题涉及三角形相似的知识点较多，学生在学习平行线分线段成比例的学习后过渡到相似三角形的知识点。学生在做这类题型的时候往往难以在复杂的图形中找到或者通过做辅助线的形式制作相似三角形。

例如问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=3，点D、E在BC边上，连接AD，AE，若∠DAE=45°，BE=52，求CD的长。

图1

此题目中涉及一个相似三角形的模型，即“半角”模型，教师先带学生解答这个问题，在Rt△ABC中，因为∠BAC=90°，AC=AB=3，所以∠B=∠C=45°，∠BAE=∠BAD+∠DAE=∠BAD+45°。∠CDA=∠BAD+∠B=∠BAD+45°。所以∠BAE=∠CDA，所以△ABE～△DCA，所以ABDC=BECA。因为AB=AC=3，BE=52，所以3DC=523，CD=185。解答完问题后，学生在了解解题思路之后，师生一同分析，在等腰直角三角形中，∠DAE=12∠BAC=45°时，能够得到△ABE、△DCA、△DAE是相似的。记住这个几何模型后，以后再接触相似图形的时候，可以马上得到相似的结论，解题过程会更加顺利。

五、 结语

在初中数学课堂中渗透数学模型思想，对学生来说有以下意义：一方面，在构建数学模型思想的每一个环节都需要学生主动参与，对其良好学习习惯的培养有重要意义；另一方面，对初中生来说在学习数学知识的时候建立模型思想，能够帮助他们举一反三，锻炼转化意识，解答更多没有见过的数学问题。可见，在初中数学教学中渗透数学模型思想是可行的、值得推广的。

参考文献：

［1］沃晶晶.深度教学视域下初中数学模型思想渗透路径探索——以“反比例函数概念”教学为例［J］.数理化解题研究，2022（26）：17-19.

［2］王聃聃.模型思想在初中“图形与几何”教学中的应用研究［D］.天水：天水师范学院，2022.

［3］李琪.初中数学模型思想渗透现状及教学策略研究［D］.济南：山东师范大学，2022.