例谈“数学运算”素养如何在教学中落地

王科

摘要：数学运算是一种逻辑推理，学生在学习过程中普遍存在问题.为了使学生更好地理解数学运算素养，提升运算素养水平，本文从数学运算的方向、方法和程序的角度，培养学生思维的广度、敏捷度和深度，结合实例来探讨“数学运算”素养如何在教学中落地.

关键词：核心素养；数学运算；教学；落地

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2023）15-0011-03

我们在教学过程中常常遇到一个让人困惑的现象：对于很多题目学生知道运算方法，但总是算不下去，或是运算出错，做得不够完整，解答过程不够规范，等等，呈现出一种“会而不对，对而不全，全而不规”的特点，这是数学运算能力问题.教师在执教过程中，经常会跟学生强调数学运算能力的重要性，也给了学生充足的时间让其运算，但这样还远远不够.

在《普通高中课程标准（2017年版2020年修订）》中，数学运算作为六大核心素养之一，是数学的基本能力，是学生借助运算培养解决问题的能力.课标明确指出数学运算是指确定运算对象，由运算法则解决问题的素养.它包含：运算对象、方向、方法、程序、运算结果等等.数学运算能力的培养，能促进思维品质的提升.而学生主要是在运算方向、运算方法以及运算程序上出现了问题，本文以这三点为载体，结合具体例子，谈谈教师除了在“意识”上重视数学运算之外，如何在“行动”上落实数学运算素养的培养.

1 实例分析

数学运算是一种演绎推理、也是逻辑推理的呈现形式，根据规则运算每一步，最终得到数学问题的结果.学生恰恰是因为抽象能力不够、运算方向感不强、整理化简能力欠佳等原因导致了运算的错误.比如三角函数边角互化的问题中，学生总是算到中途就不知道往哪个方向走了；解析几何运算时只知道“联、化、判、韦”，但是在运算方法的选择上却不够灵活，导致计算量人为加大，等等.下文针对这一现象做具体阐述和对策分析.

1.1 多角度寻求运算方向，培养思维的广度

思维的广度是指从多方面思考一个问题.对这个问题的事实作多方面的说明，用多种方式表述这个问题的条件、可能的思考方向，能找到多种角度下各种不同的解法.在教学过程中，要注重培养学生多思考问题以及多角度探究运算方向，挖掘思路清晰且运算量小的方法，以培养学生的运算能力和思维的广度.

例1△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2B2，求cosB.

分析首先明确运算方向——求cosB，即要保留角B或cosB，故先把sin（A+C）写成sinB，得sinB=8sin2B2.接下来该从哪个方向来求cosB，是本题的核心所在.

解析若是由降幂公式得sinB=4（1-cosB），那么接下来可考虑从以下三个方向着手.

方向1移项得sinB+4cosB=4，得17sin（B+φ）=4，φ不是特殊角，很难求出角B或cosB.

方向2由sinB=4（1-cosB）两边平方得1-cos2B=16（1-cosB）2，即17cos2B-32cosB+15=0，即（cosB-1）（17cosB-15）=0，又cosB≠1，所以cosB=1517.

方向3由sinB=4（1-cosB）两边平方得1-cos2B=16（1-cosB）2，又cosB≠1，得1+cosB=16（1-cosB），得cosB=1517.

方法4若是由二倍角公式得2sinB2cosB2=8sin2B2，则有tanB2=14，接下来可用二倍角公式求tanB.

tanB=2tanB21-tan2B2=815，从而cosB=1517.

点评方向1出现“算不下去”的原因有：（1）没有明确运算方向，正确的运算方向是求cosB，而不是直接求角B；（2）受到辅助角公式的影响，形成了定式思维，看到这样的形式，就想到辅助角公式，这也是很多学生思维受阻的原因. 方向2通过两边平方，消去了sinB，得到了关于cosB的方程，是个很好的思路，不足的是如果学生因式分解掌握得不好，算出结果需要一定的时间，而方向3正好弥补了这一点，先约去1-cosB，简化了运算. 方向4先用二倍角公式求出tanB2=14，再求cosB，方向明确，而且运算量不大.多角度地探究运算方向，在探究过程中，探寻方向性强且运算量小的方法，是解题教学的重要任务，也是培养学生思维广度的有效途径.

1.2 合理选择运算方法，培养思维的敏捷度

数学思维的敏捷性是指思维、智力活动的灵敏程度，体现在思考问题时不固执己见，能随机应变、触类旁通，不拘泥于某一固定形式或模式. 在解题教学中，合理选择运算方法，减少运算量，以及对问题的一题多解，发散思维，都可以培养思维的灵活性.

解析几何运算量较大，很多學生容易出现“算不下去”或算错的情况，往往不能得到正确答案，或得到了正确答案，但花费了很长的时间.出现这一现象的原因是没有选择合理的运算方法.那么在教学中，应该怎么解决这一问题呢？除了多训练计算能力外，更需要多思考、多总结.比如，若直线过定点M（0，m），则设其方程为y=kx+m，若直线过定点N（n，0），则设其方程为x=ky+n；若有两个点都在圆锥曲线上，可选择“点差法”；若遇到中点，则选“中点弦公式”；若遇根式，可选换元法或整体运算等等.

例2设F1，F2分别为椭圆x23+y2=1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若F1A=5F2B，则点A的坐标是.

解法1设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AF1为x=my-2（设线优化），与椭圆联立得（m2+3）y2-22my-1=0，由y1=-5y2和y1+y2=22mm2+3得

y1=-m2（m2+3），y2=5m2（m2+3），又由y1y2=-m2（m2+3）·5m2（m2+3）=-1m2+3得5m22（m2+3）=1，解得m=±2，所以A（0，±1）.

解法2因为点A，B都在椭圆上，故考虑利用椭圆方程整体消元.

设A（x1，y1），B（x2，y2），由F1A=5F2B得（x1+2，y1）=5（x2-2，y2），得x2=62+x15，y2=y15，

因为点A，B在椭圆上，x22+3y22=3.

所以（62+x15）2+3×（y15）2=3，即72+122x1+x21+3y21=75，由x21+3y21=3，所以x1=0，所以A（0，±1）.

点评先由已知得A，B两点坐标的关系，再用“整体消元法”，不需要与椭圆联立，过程简洁，运算量小，优化了解法1.

2 依据本质设计运算程序，培养思维的深度

思维的深度在具体问题中表现为：对问题提炼的深度、抽象程度和逻辑思考水平，即思考问题的深度和难度.依据问题的条件、现象，思考问题的本质和联系，是思维深度与否的主要体现.我们在教育教学活动中，老师应该由外及里，由一点向多角度发散，提炼题目的本质和规律，可以采用的运算程序，以达到培养深度思维的目的.

例3已知函数f（x）=ex-ln（x+m），当m≤2时，证明f（x）>0.

解析当m≤2时，ln（x+m）≤ln（x+2），所以f（x）=ex-ln（x+m）≥ex-ln（x+2），故只需证明当m=2时，f（x）>0.

当m=2时，f ′（x）=ex-1x+2在（-2，+SymboleB@）上单调递增，又f ′（-1）<0，f ′（0）>0，故f ′（x）=0有唯一实根x0，且x0∈（-1，0）. 所以f（x）在（-2，x0）上单调递减，在（x0，+SymboleB@）上单调递增，从而f（x）在x=x0处取得极小值.

由f ′（x0）=0，得ex0=1x0+2，ln（x0+2）=-x0.

所以f（x）≥f（x0）=1x0+2+x0=（x0+1）2x0+2>0.

点评本题的关键是证明当m=2时f（x）>0，即证ex>ln（x+2）. 那么m=2是怎么得到的呢？

由人教A版选择性必修第二册99页第12题得ex≥x+1①

当且仅当x=0时等号成立.

又由人教A版选择性必修第二册94页第2题得x-1≥lnx，把x换成x+2，得到x+1≥ln（x+2）②

当且仅当x=-1时等号成立.

根据①②式，可得ex>ln（x+2）.

（这是因为①和②等号成立的条件不同，即两式不能同时取到等号）.

如果我们知道该题的教材背景，则只需要证明①②两式成立即可（教材上的题目），那样就可以简化运算，降低思维难度.因此只要抓住了问题的本质，揭示问题的背景，从而可以为我们的解题提供新思路、新方法，减少运算量.

例4（2017年全国Ⅲ卷）设函数f（x）=x+1，x≤02x，x>0，则满足f（x）+f（x-12）>1的x的取值范围是.

解法1若x>12，则f（x）+f（x-12）=2x+2x-12>1恒成立；

若01恒成立；

若x≤0，则f（x）+f（x-12）=（x+1）+（x-12+1）=2x+32>1，得x>-14，所以-14

SymboleB@）.

解法2注意到当x>-1时，f（x）>0.

当x>0时，f（x）>1，又x-12>-12>-1，所以f（x-12）>0

则f（x）+f（x-12）=2x+f（x-12）>1恒成立；

当x≤0时，下同解法1.

解法3f（x）虽是分段函数，但注意到它是R上的增函数，不必分类讨论.

易知f（x）是R上的增函数，记F（x）=f（x）+f（x-12），则F（x）也是R上的增函数，原不等式等价于F（x）>1，接下来寻找x0，使得F（x0）=1，可用“二分法”思想.

计算得，F（0）=32>1，F（-1）=-12<1，F（-12）=12<1，F（-14）=1，所以x>-14.

点评处理分段函数的常见办法是分类讨论，但有时分类讨论会比较繁琐（比如此题改为求满足f（x+1）+f（x）+f（x-1）+f（x-2）>3的x等等），若能抓住问题的本质和规律，以及可以采用的运算程序，就能根据问题的本质（如本题F（x）单调递增，就可以利用单调性解不等式，不用代入具体的函数解析式，减少了运算量），便可以单刀直入，直达问题的核心，减少解题中的“运算”，提高解题效率.

例4设f（x）=a2（x-b）（x-c）（a-b）（a-c）+b2（x-a）（x-c）（b-a）（b-c）+c2（x-a）（x-b）（c-a）（c-b），g（x）=x2，证明：f（x）=g（x）.

分析如果按常规思路去分母来证明，运算量很大，很麻烦. 此时就需要探寻问题的本质，抓住问题的核心，方可简化运算.

证明注意到f（a）=a2，f（b）=b2，f（c）=c2，又f（x）为次数不超过2的多项式，故f（x）=x2=g（x）.

点评此题的核心所在是挖掘、发现f（a）=a2，f（b）=b2，f（c）=c2，然后利用“多项式恒等定理”来证明这两个多项式相等. 多项式恒等定理即：如果两个次数不超过n的多项式有n+1处取值相等，则这两个多项式相等.这就抓住问题的本质，发现解题的新思路、新方法，从而减少运算量.

数学核心素养与数学基本思想、数学思想方法等密切相关.数学核心素养是数学基本思想在学习某一个或几个领域内容中的具体表现；数学思想方法则是体现如何从操作层面上实现核心素养、基本思想方法；数学核心素养是数学育人阶段性的凝练，是以往“五大数学能力”（抽象概括、逻辑推理、数据处理、运算求解、空间想象）的拓展.数学核心素养之一的数学运算在培养学生数学品质上有着重要的意义和价值.

在培养学生的数学运算能力时，应重视学生思维的广度、敏捷度和深度的培养，这些品质紧密相连，密不可分.缺乏了思维，数学就不是数学，就没有生命和活力.教师在教学过程中，应重点对学生的“思维的过程”进行教学设计，课堂教学的每个环节也应立足培养学生的思维品质，实现“数学运算”素养在教学中落地生根.

参考文献：

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[2] 陈玉娟.例谈高中数学核心素养的培养，从课堂教学中数学运算的维度[J].数学通报，2016（8）：34-36，54.

[3] 马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程·教材·教法，2015（09）：36-39.

[4] 朱潇，李鸿昌.从数学运算素养的内涵，谈运算能力的培养[J].中学数学，2018（01）：57-59.

［责任编辑：李璟］