初中数学教学“三部曲”

管君阳

摘要：文章论述“命题、公理、定理”一课的前期备课、试讲、磨课、课后反思等环节，促使教师思考如何读懂课堂和学生，即了解学科知识和历史发展，熟悉学生学情，掌握多媒体的运用等。

关键词：初中数学；概念教学；欧氏几何

对学生来说，“命题与证明”的学习是第一次接触演绎推理，了解公理体系，这能为高中集合这一知识点的学习作好铺垫，具有承前启后的作用。

要想打造初中数学高效课堂，教师必须奏响“三部曲”，从课前的深入备课、课中的创新设计、课后的及时反思着手。笔者借“命题、公理、定理”一课的教学实践契机，谈谈如何打造初中数学高效课堂。

一、序曲：备课要“深”

（一）理解概念教学及其相关知识

教师要检索文献，争取从较高的角度理解“概念教学”。经过学习，笔者对以下内容有了更清晰的认知：第一，数学概念的分类包括对象性概念、度量性概念、观念性概念；第二，数学概念教学的过程包括引入概念、形成概念、巩固与运用概念；第三，数学概念教学的知识内涵解析；第四，数学概念的定义方式分类包括描述性定义、形式性定义、发生式定义、关系性定义。

（二）梳理幾何教学的历史发展

历史上的几何教学正是先以《几何原本》为基础，后依托《几何基础》，最后形成了目前的初中几何课程标准，即主要以欧氏几何为主体，简化其中的公理定理，形成适合学生的演绎推理几何。六年级时，学生接触了直观几何课程与实验几何课程，八年级再学习综合几何课程，有助于培养他们的逻辑思维和理性精神。

（三）了解学生的几何学习现状

学生在之前学习了“图形的变换”“全等三角形”等知识，对具体的图形很熟悉，对“垂直”“推导”这些数学术语也不陌生。但是，他们对抽象的图形较为陌生，对平面几何概念之间的实质联系也未能建立关联。七年级教材中已经涉及几何的学习和求证，但学生想当然地将“几何”等同于“证明”，有些学生还会片面地将“几何图形”直接与“三角形”挂钩。

虽然教学准备工作分为三个部分，但它们有着共通性——揭示教材在实际教学过程中的功能是教材研究的基本课题。也就是说，教材发挥怎样的功能，期待怎样的理想教材，依存于人们对包括教师的作用在内的整个教学过程有着怎样的构想。只有深入备课，教师才能积累可重复使用的鲜活的教学资源，帮助学生拓展数学学习的时间和空间。

二、主题曲——上课要“新”

为将“从一些基本事实，证明一些命题的正确性”这一数学核心内容传递给学生，笔者基于学生的学情，创设教学情境，调动学生的主观能动性，让学生发现新知，感悟新知，运用新知。

教学实践包括四个环节，分别是引入概念、形成概念、明确概念内涵、初步应用概念。引入概念，是指通过生活实例或者已有的知识与经验出发，指出判断性语句中需要研究细化的部分，明确本节课的教学目标。形成概念，是指通过如下八个语句：第一，能被2整除的数叫作偶数；第二，有一个角是90°的三角形称为直角三角形；第三，对顶角相等；第四，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互为平行；第五，画∠AOB的角平分线；第六，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；第七，等角的余角是否相等；第八，互为补角的两个角都是锐角，帮助学生再认识陈述句，感受陈述句在数学中具有普遍存在性。明确概念内涵，是指明确概念包含的对象，并通过深挖概念里的关键词深化对定义、命题、公理的理解。初步应用概念，是指应用定义、命题的概念解决课后习题和变式训练，巩固理解。

通过两次试讲，笔者列出表格，比较三个教学设计中有改动的部分，如表1所示。

引入概念是教学环节的重中之重，能起到承前启后、建立知识联系的作用。笔者尝试了两种方案后，发现开门见山直奔主题这一方式效果不错。

在第一次试讲时，笔者运用生活素材引入概念。教学情境如下：电视机在播放乒乓球比赛，奶奶边看比赛边说：“打得好！可惜播音员不识数。”孙子问：“人家怎么不识数啊？”奶奶说：“明明两个人在打球，他却说在单打。明明四个人在打球，他却说在双打。”这个情境的引入，大大提高了学生的课堂参与度高。但是，课后笔者反思：“真的会有人不知道单打和双打的含义吗？这个生活实例是不是为了贴近生活而贴近生活？虽然生活实例的引入可以激发学生的兴趣，引出课题，但是学生对为什么要学定义、命题的概念还不够清晰，教学只停留在了表面。”为了更好地解释学习本课的理由，笔者准备与之前的教学内容联系起来，更加自然地导出定义的概念。

在第一次试讲后，笔者发现设计的教学内容在40分钟的时间里很难完成。为此，笔者做出了一些改变，即突出教学重点，精炼教学内容。这节课的教学目标是体会定义、命题、公理、定理之间的区别和联系。为了给学生足够的时间来观察、辨析，从而实现教学目标，笔者在第二次试讲之前把 “定义对象的明确问题”和“如何给名词下定义”删除了。笔者也发现把“写出一个是命题的句子和一个不是命题的句子”放在命题概念之后，不仅不能帮助学生加深对命题语句特点的理解，还弱化了上述八个语句辨析陈述句的效果，学生对这个练习的目的性感到茫然。为此，笔者在第二次试讲设计中也将它删除了。

在第二试讲中，笔者的教学节奏紧凑，提高了学生的参与度。但是，课后笔者反思：“学生在课堂学习前后是否有不同？学习后是否引导他们思考了几何本质的问题？”笔者意识到定义、命题、公理概念的解读，命题的先条件后结论的结构讲述都不是重点，让学生理解几何的本质——公理化，才是教学的重点。

首先，通过比对上述八个语句，开门见山地引入定义、命题的概念。从定义到命题这一顺序让学生明确它们之间的关系——它们都是作出判断。那么，接下来的问题就是研究判断的内容与判断类型的识别。

其次，将“命题、公理、定理概念的辨析”放在介绍欧氏几何和公理之后，作为本节课的收尾。例如，笔者设计了几个辩论题：“所有的命题都是公理”“所有的真命题都是定理”“所有的定理都是命题”“所有的公理都是真命题”。通过这个例题，学生再次回到概念里，理解“几何学习重要的不在于研究对象是什么，而在于对象间的互相关系，即逻辑结构”。最终，学生能摆脱空间观念的直觉，通过逻辑演绎推导出命题。

最后，笔者利用慕课视频把“欧式几何、几何公理化的起源”放到教学设计中，让学生了解数学的历史和发展，既开阔了学生的视野，达到知识点的全面覆盖，又不增加教学内容，能在40分钟内高效实现本节课的教学目标。

大概念的揭示和意义获得在于合理利用多种资源和活动，所以教师的工作不是灌输教材内容，而是学会使用教材来协助完成目标。在日常教学中，教师需要学会优化教学资源，创新课堂活动，使数学课堂真正地活起来。

三、尾声——反思要“勤”

反思是教师成长的必由之路。通过这节课的备课，笔者不仅在课堂上，还在学科知识上对“命题、定理、公理”这一概念有了再认识，进一步了解了数学知识的形成过程。通过试讲，笔者认识到，学情不同的学生在学习新课题时，已经具有了日常概念和先入之见，这些会使具体内容的学习变得容易或困难。因此，笔者要利用实际课堂中的互动，以及课前、课后的调整，融合数学学科知识、相关历史知识，最终设计和实践本节课，并由此建构属于自己的教学知识体系。

这次尝试可谓是一次高效的创新教学实践，课后大部分学生对概念的理解、欧式几何的起源、几何公理化的由来达到了一定的认知高度。但是，笔者为这节课作了大量的准备，两次试讲，教研组多次的磨课、评课，使得笔者对这节课如何引入、讲解都了然于胸，并有了充足的课堂预案。

作为初中一线数学教师，笔者曾反復思考课堂教学内容来源于何处，教材无疑是教师的第一指挥棒，但如果只是单纯讲授教材，按部就班地完成课堂预案，学生很难成功地构建自己的知识体系，而这次教学实践为笔者今后的数学教学提供了思路。

高效课堂教学的背后，浓缩着教师的艰辛付出。初中数学教师在引导学生的同时，也要坚持学习，将知识有机地串联起来，给学生创设更契合的教学情境。只要教师用心奏响高效课堂“三部曲”，努力做到备课要“深”、课堂要“新”、反思要“勤”，初中数学课堂教学就能在和谐的乐章中实现高效的目标！

参考文献：

[1]章飞.数学概念的分类及度量性概念的教学[J].数学教育学报，2010（5）.

[2]石颐园.基于PCK内涵解析视角的初中数学概念教学策略[J].教育理论与实践，2017（8）.

[3]周曙.基于定义方式的初中数学概念分类及其教学建议[J].中学数学教学参考，2019（2）.

[4]钟启泉.读懂课堂[M].上海：华东师范大学出版社，2015.

（作者单位：上海市市北初级中学）