勾股定理教学中融合数形结合思想的实践

李雪雪

【摘要】数形结合既是一种高效的解题方法，又是一种先进的解题思想.在勾股定理教学中融合运用数形结合思想，可以有效提高学习效率，培养学生的数学核心素养.本文分别从融合数学文化、结合信息技术、设计思考问题、布置练习任务、拓展生活作业等方面，探索初中数学勾股定理教学中融合数形结合思想的实践.

【关键词】数形结合；勾股定理；初中数学

数形结合是初中数学教学的一种思想，该思想立足于“形”和“数”这两个基本的研究对象，深入分析其中的内在联系与转化关系.如果学生能充分掌握、熟练应用数形结合思想，就能事半功倍地学好几何课程.

对于初中数学而言，勾股定理被誉为“几何学的基石”，在勾股定理教学中有效融合数形结合思想，可以直指教学重点，激发学生的求知欲，拓展学生的思维深度.下面从融合数学文化、结合信息技术、设计思考问题、布置练习任务、拓展生活作业等角度入手，探究有效的实践策略.

1 融合数学文化，引入教学主题

虽然学生对“数”和“形”的概念不陌生，但将二者结合在一起的学习思路，学生需要一定的时间去接受和理解.为了有效缩短这个内化知识的过程，促进数形结合思想与勾股定理教学的深度融合，教师可以适当结合数学文化，通过内涵丰富的文化元素，引入有关数形结合的教学主题，循序渐进地引导学生探究新知、验证定理、证明结论[1].

例如 教师可以对学生介绍三国时期东吴的知名数学家赵爽，他曾经发表过著作《周髀算经注》，并附有“勾股圆方图”，在今天也被称为“赵爽弦图”.其内容不仅具有简约之美，也附有深厚、经典的文化内涵.通过以上数学历史，可以直观体现数形结合的思路，给出勾股定理的详细证明方法.如图1所示，将四个相同的直角三角形按照图1的形式拼合在一起，可以构成一个更大的正方形.该正方形的面积为三角形弦的平方，也等于中间的小正方形的面积加上四个直角三角形的面积，而小正方形的面积为“股减去勾”的平方.由此，根据以上推导，建立以下等式：（b－a）2+4×1／2ab=c2，经化简之后，就能得出a2+b2=c2的结论.

除了我国悠久灿烂的数学历史文化，教师还可以引入国外的数学故事，进行中西文化对比，起到百家争鸣的教学效果.

例如 教师可以为学生介绍爱因斯坦在11岁证明勾股定理的故事.如图2所示，爱因斯坦先在一个直角三角形的斜边上引出一道垂线，将其分成不同的两个部分，构成了三个大小不同的直角三角形.随后，再如图3所示，利用三个三角形的斜边作为边长，作出三个新的正方形.因为边长分别为a、b、c，所以面积为a2、b2、c2.虽然三个图形的面积不同，但形状完全一样，符合相似性的特点.所以每一个图形之中，三角形的面积与正方形的面积比值也应当完全相等.假设这个比值为m，则三个三角形的面积分别为ma2、mb2、mc2.因为两个小三角形的面积加起来等于大三角形的面积，所以ma2+mb2=mc2，a2+b2=c2.

教师通过引入趣味横生的数学故事文化元素，学生不仅能感慨于古代数学家的智慧，也能活跃思维，启发学习思路，对数形结合思想产生更为深刻的认识.

2 结合信息技术，剖析思想特点

教师若想将数形结合思想以通俗易懂的形式展现出来，需要采用更为直观、形象的教学方案[2].初中生普遍活泼好动，对充满趣味性的事物具有强烈的探究兴趣.针对初中生的学习特点，教师应当贯彻趣味引导的教育原则，充分优化学生的学习动机.对此，教师可以在教学中有效利用信息技术，创设引人入胜的教学情境，深入剖析数形结合思想的特点，给予学生良好的数学学习体验.

例如 教师在解析“赵爽弦图”“爱因斯坦的勾股证明圖”时，可以通过动画制作软件，将图形的拼组、数与图之间的转化以动态的形式呈现出来.教师借助信息技术，可以添加视效、音效等多种元素，让勾股定理的证明过程显得更加生动有趣.此外，合理利用信息技术，也能帮助学生建立严谨的知识体系.让学生根据导图的提示，了解勾股定理中数和形的内在关系.比如，能称为直角三角形三条边的正整数组分别是什么？如“3，4，5”“6，8，10”“5，12，13”等等，并搭配平面图形.同时，教师还可以在思维导图的框架中引入其他定理，如勾股数的倍数也是勾股数，某三角形的三条边a、b、c满足a2+b2=c2，说明该三角形为直角三角形.由此，通过信息技术的辅助，可以给学生带来视听结合的感官刺激，将数形结合思想的特点形象地展示出来.

3 设计思考问题，促进深度联想

数学学习不能照本宣科，教师应当激发学生的主动学习意识.通过情境教学的铺垫，教师需要让学生再思考，深入理解数形结合思想的内涵.对此，教师可以通过设计思考问题的方式，促进学生的深度联想，让学生尝试应用之前学习的思路，按照自己的理解尝试证明勾股定理[3].

首先，教师可以为学生展示邹远治的“内弦图”.同样作为我国古代知名的数学家，内弦图的证明思路也有其独到之处，并与“赵爽弦图”相类似，具有一定的内在联系，可以作为学生思维训练的经典案例.此外，教师还可以介绍美国总统加菲尔德的证明方法，即将一个等腰直角三角形和两个全等的直角三角形重新拼组，构造成一个梯形，再根据其中的面积关系，代入重要数据，推导出勾股定理的代数关系.由此，教师通过两个证明案例，合理实施问题教学法，点明如何通过数形结合思想证明勾股定理，可以有效加深学生的学习理解.

其次，教师可以通过设问的过程，帮助学生梳理有关勾股定理的知识细节，进一步提升数形结合思想的应用能力.比如，运用勾股定理的时候，应当注意哪些前置条件？勾股定理主要探究了直角三角形的什么问题？如何通过图示，表达勾股定理中的代数关系？学生在思考以上问题的答案时，可以对勾股定理的证明过程进行初步总结.并通过问题的提示，深入思考数形结合思想的应用要点，为接下来的实践应用打好基础.

4 布置练习任务，巩固学习收获

纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行.当学生通过探究勾股定理的过程，深入理解了数形结合思想，教师应当趁热打铁，为学生布置随堂练习任务，让学生结合做题的过程，及时巩固学习收获.这样才能帮助学生从了解走向熟悉，充分理解勾股定理的内涵，熟练掌握数形结合思想.

例1 在△ABC中，∠A=60°，AC=30，BC=70，试求AB的长度.

在未学习数形结合思想之前，学生只从图形的角度分析，很难找到本题的破题点.而根据数形结合的解析思路，将图形的关系转化成数字的形式进行求证，看似复杂的问题就能迎刃而解[4].首先，本题并未说明△ABC是直角三角形，这也意味着学生不能直接套用勾股定理的公式.但根据∠A=60°这个条件，可以联想到构造某个角为30°的直角三角形.因此，作CD⊥AB，交点为D，因为∠ACD为30°，△ACD为直角三角形，所以AD=1／2AC=15.同理，根据勾股定理，在求出AD的长度后，可以通过AD2+CD2=AC2，求出CD的长度.再根据CD2+BD2=BC2，求出BD的长度.最后，再将AD和BD作和，就是本题的最后答案.

随堂测验是在案例教学的基础上进行做题演练，其题目内容会在勾股定理的固定应用套路上进行拓展延伸，这可以开阔学生的做题视野，防止学生出现思维僵化的情况.学生如果能在做题的过程中迅速想到解析思路，就能及时随机应变，将数形结合思想融会贯通.

5 拓展生活作业，激活应用意识

除了随堂练习，课后作业也是巩固学生学习收获的重要环节.勾股定理作为几何课程的基础，具有较高的实践应用价值.教师可以为学生拓展生活类型的课后作业，让学生以小组为单位，在动手操作的过程中进行总结和反思[5].这既可以激活学生的数学应用意识，也能让学生了解数学与生活之间的密切关系，深刻感受数学学科的内在魅力.

例如 教师可以让学生思考：一根长度为70cm的木棒，是否能放进长为50cm，宽为40cm，高为30cm的箱子里面？单从木棒的长度与箱子的长、宽、高思考，棒子的长度必然无法以水平或竖直的角度放置在箱子之中，但结合实践操作，不难发现在箱子这个立体空间中，最大的空间长度并不在水平面上.由此，学生可以按照题目的要求，在家中准备道具，通过动手实践的方式进行验证.也可以绘制长方体的立体图形，找出其中最长的线段，并分析这条线段处于哪个直角三角形中，需要应用哪些数据进行计算.由此，学生通过观察、测量、思考、拼组、计算的探究学习过程，可以促进数形结合思想的教学渗透.

再比如，教师可以为学生布置一些开放性的课后作业，如例2.

例2 因条件有限，某工作人员不能直接测量池塘边某两点之间的距离，已知他手里有量角器和长度足够长的卷尺，他可以用什么方法完成测量任务？

学生可以通过合作交流，设计各种各样的实践方案.比如，设测量的两点为A和B，在池塘外找到一点C，构建直角三角形，并规定∠ACB为30°，由此，就能构成一个典型的勾股图形.此时，可以假设直角边AB为x，则斜边BC為2x，AC边是可测的直角边.根据勾股定理的公式x2+AC2=（2x）2，就能得出正确的结论.

6 结语

数形结合不仅是数学思想，也是重要的解题手段.教师在教学中有意识地融合数形结合思想，对学生整个初中阶段的学习都能起到积极的影响作用.由于勾股定理是初中几何课程的基石，教师应当巧妙寻找多种教学思路，为学生营造引人入胜的教学情境，让学生在动手操作、解决问题、深入思考的过程中，深刻体会数形结合思想的应用价值，培养学生优秀的数学核心素养.

参考文献：

[1]韩茂芳.借助数学文化 渗透数形结合思想——“勾股定理”教学设计与思考[J].教育界，2021（16）：25-26.

[2]田载今.从勾股定理看数形结合[J].中学生数理化（八年级数学）（配合人教社教材），2022（2）：4-6.

[3]贺洪秋.论数形结合思想在初中数学勾股定理教学中的渗透与应用[J].新课程，2021（37）：109.

[4]牛建玲.浅谈初中数学教学中数形结合的应用[J].数学学习与研究，2020（03）：112-113.

[5]何燕丽.例谈勾股定理的应用[J].中学数学教学参考，2019（36）：58-59.