基于教材“编写意图”的单元整体教学

张静 陈秀秀 赵鑫

特级教师张鹤曾说：“如果把教师所教授的知识看做A，学生经过学习把知识转化为自己的思维能力看做B，教学的过程应该是从A出发，对A进行演绎（这个过程记为A），再到B，教学的价值恰恰就在于这个让学生经历从A到A，再到B的过程。” 因此，教师首先要努力地研究A，真正地理解单元的知识结构，才能更好地挖掘A，进而实现B。这样让学生有结构、有逻辑地逐渐认识数学的过程，方能落实数学核心素养，才是最美好的数学教育。

理解教材“编写意图”，梳理单元知识逻辑

理解教材的“编写意图”，不仅要弄清楚教材中每个文字、每个符号的含义，更要理清知识点背后所蕴含的思维逻辑：即从整体上建立不同学段单元知识的横向联系，挖掘其知识的一致性，从局部上建立每个学段单元知识的纵向联系，挖掘其知识的连续性。下面，以人教A版高中数学必修一第二章《一元二次函数、方程、不等式》的教材解读为例，具体說明。

《一元二次函数、方程、不等式》是“预备知识”的第二部分，承担着初高中衔接的重要使命，是帮助学生从初中相对具体的知识过渡到高中阶段相对抽象的知识的一个重要载体，更是学生学习方式和学习心理过渡的重要载体。因此，教师一定要理清学生在小学、初中已经学过的“相等关系”的相关内容与高中即将学习的这个单元内容之间的横向和纵向的联系。

首先，从研究逻辑上看一致性。方程和不等式的教学内容虽然分布在不同学段、不同章节，但是研究的“基本套路”是一致的：背景（现实世界中的一类现象）—概念（研究对象）—性质（要素、相关要素之间的关系、变化规律）—结构（相关知识的联系）—应用。例如，初中研究方程的“基本套路”大多是：背景（现实世界中的一类现象）—方程（相等关系）—等式性质（基本性质）—一元一次方程（特殊方程）—一元二次方程（特殊方程）—应用。基于此，教师可以带领学生通过类比研究方程的“基本套路”，形成研究不等式的“基本套路”：背景（现实世界中的一类现象）—不等式（不等关系）—不等式性质（基本性质）—基本不等式（特殊不等式）—一元二次不等式（特殊不等式）—应用。梳理研究每个对象的“基本套路”，能够引导学生成为研究“数学对象”的先行组织者，即面对一个研究对象或者数学问题时，先从整体上规划“基本套路”，再展开具体研究，做到有方向、有方法，发展学生的理性思维。

其次，从思维逻辑上看一致性。方程和不等式是两个核心的内容，用方程去刻画相等关系，用不等式去刻画不等关系，从实际背景中抽象出数学中最基本的数量关系，抽象方法是一致的，一般都是观察（共同特征）、比较（比较相同和不同）、分析（看各个量的局部特征）、综合（看各个量的整体特征）和抽象概括（用语言或者符号将本质特征表达出来）；方程的变形利用的是等式的性质，不等式的变形利用的是不等式的性质；在不等式性质的探究中，类比等式的性质（先研究相等关系自身的特性，然后再研究等式在运算中保持的不变性），研究的顺序和方法都是一致的；在方程中有一类特殊的方程是一元二次方程，不等式中重点研究两类特殊的不等式，一元二次不等式和基本不等式，对于“特例”的研究一直是数学研究对象中必不可少的一部分。

最后，从思想方法上看连续性。二次函数、一元二次方程、一元二次不等式及其相互关系体现了数学学科中非常重要的观点，即“联系的观点”。从知识的联系性出发，可以提高对数学整体的认识。函数是“联结”方程和不等式的“纽带”，方程和不等式是对应函数的不同状态。所以，利用函数的变化规律可以解决相应方程和不等式的问题。基于此，教师在教学《一元二次函数、方程、不等式》单元时渗透“函数的观点”，能够帮助学生在后续解决基本初等函数的方程和不等式的问题时熟练地运用“函数观点”，这直接影响学生对于之后《函数》单元的学习和理解。

总之，理解教材的“编写意图”，从横向和纵向两个维度深入挖掘知识之间的逻辑关系，提升“一般观念”“一般思想方法”的指导意识，不仅有利于教师理解数学，更能促进教师更好的教好数学。

合理整合教学内容，体现单元整体教学

合理整合教学内容，就是教师在理解教材“编写意图”、梳理单元知识结构的基础上，对整个单元的内容进行适当的重组和整合，揭示知识间的深层联系，从而突出知识的系统性和教学的方向性，这有利于发展学生的思维能力，进而促进核心素养的落地。

首先，根据知识的横向联系，整合单元教学内容，体现单元逻辑的一致性。例如，在前文《一元二次函数、方程、不等式》的单元解读中，我们详细阐述了方程、不等式的横向联系，教材也确实是按照这样的逻辑编写的。但是在实际操作中，方程的相关内容分布在初中的各个年级，跨度较大，再加上学生对研究的“基本套路”等并不熟悉，所以在教学教材基本课时的基础上，增加了单元前置学习任务的梳理——“以真实问题为统领梳理相等关系的研究路径及方法，类比相等关系研究不等关系”。单元前置学习任务安排在课前，学生课下完成，课上展示，教师总结提升，不占用额外课时，但却能够让学生在学习新单元前回顾已有的知识系统，真正让学生成为先行组织者，在已有的知识体系上，建构新的知识体系。

再如，人教A版高中数学必修二第七章《复数的概念和四则运算》，在教材安排的四课时基础上，我们也做了适当的实践调整。先布置单元前置学习任务，请学生查阅数学史的相关资料，梳理自然数系扩充到实数系的实际需要，抽象出从自然数系到实数系扩充过程中遵循的“规则”，即扩充后的数系中的加法和乘法运算与原数系的加法和乘法运算的协调一致，并且使加法和乘法所满足的运算律仍然成立。然后，让学生在单元的第一课时中，展示自己的学习成果，然后师生一起基于学生已有的学习经验学习新的数系——复数系。再用两个课时完成教学中安排的所有四课时的教学内容，第一课时内容为复数的概念（代数表示、几何表示、分类、复数相等），第二课时为复数的四则运算（加减乘除）。调整后的课时设计，学生觉得充实，学得更有意义。

其次，根据知识的纵向联系，整合单元教学内容，体现单元思想连续性。以人教A版高中数学必修二第六章《平面向量及其应用》单元中“平面向量的应用”部分为例具体说明。教材针对“平面向量的应用”部分共安排了5课时的内容，将正弦定理和余弦定理的内容分割开来。在解读教材的过程中，我们发现这部分内容被安排在平面向量的应用部分，意图为向量的应用提供一个重要载体，让学生进一步体会用向量方法解决平面几何问题所蕴含的数学思想、掌握用向量运算解决平面几何问题的基本要领和方法的同时，完善对三角形的认知结构：从初中对三角形的定性研究和对直角三角形的定量研究推广到现在对一般三角形的定量研究。为此，我们在实践中对教材顺序进行了合理的整合，在向量运算及其蕴含的数学思想方法上发力，将通过向量运算解决几何问题一个背景一用到底，一节课一气呵成即可推导出三角形边角关系。基于此，我们将5课时的内容做出了调整：第一课时：平面几何中的向量方法；第二课时：用向量方法研究三角形的边角关系；第三课时：正余弦定理的应用；第四课时：正余弦定理的应用举例；第五课时：向量在物理中的应用举例。调整之后课时虽然没有太大变化，但是学生的整体观和解决问题的能力有了很大提升。

实践证明，通过合理的整合单元教学内容，从整体角度在一定程度上减少了课时，但减少课时不是重点，重点是在整合过程中建立知识之间的本质联系，整体把握教学目标与和课程内容，这也有利于学生建构系统的知识体系，提升思维能力，发展核心素养。

落实每个单元教学，发展学生的思维能力

落实每个单元教学，就是在合理整合教学内容的基础上，在每个单元课时前、单元课时中、单元课时后，设计揭示数学本质的教学活动。通过具体的实践可以发现，要想真正有效地落实每个单元的教学内容，不仅要在单元课时上下功夫，单元课时前的前置学习、单元课时后的单元作业和单元检测一样必不可少。这样连续的教学活动，才能更有效地发展学生的思维和能力。

首先，单元课时前布置前置学习任务。任务的设置要内容具体，知识简单，形式多样。前置学习的目的有两个，第一个目的是从教师的角度了解学情，即备學生。课堂教学前，教师不仅要基于教材解读和分析了解单元知识结构，更要了解学生在学习本单元前对已有知识的掌握情况、知识漏洞、认知困难等。这就需要教师通过布置前置学习任务详细了解学生的学情，并根据掌握的情况对教学设计进行调整，确保教学对学生更具有针对性。第二个目的是从学生的角度了解学习内容，即让学生在较短的时间内，在任务的引领下回顾已有的学习经验，将已有经验类比迁移到对本单元的学习上。这样“温故”的过程能够为学生快速进入本单元或本课时的学习奠定基础。

其次，单元课时中要创设合适的情境，提出能够揭示数学本质的问题，引导学生开展系列化的数学学习活动。曾经听过这样一个有趣的故事：一个男孩说自己教一只小狗讲话了。但当他的朋友要求小狗表演时，这条狗除了叫什么也不会。于是他的朋友对此提出质疑：“我记得你说教过小狗说话的？”“是的，我教它了，”自称教练的男孩答道，“我教过它说话，但是我没说过它学会了”。这个故事听起来很好笑，但在我们的教学中却不足为奇。作为教师，我们常常会在教学中遇到挫折时，发自内心地抱怨“我教了，但他们没有学会。”受到前文故事的启发，我们可以得知：学并不是由教引起的。教，就其本身而言，永远不会引发学。只有当学习者对学习进行成功的尝试时才会引发学习。教师不能把自己理解的数学内容传授学生，学生必须自己去获得。那么，学生如何才能在教师的引领下获得知识呢？这就需要教师根据具体的课型创设适合学生的问题情境，即在课堂上以一个真实的问题情境或一个有意义的数学情境为统领，引导学生在解决问题的过程中，掌握该单元涉及的不同知识，让学生在反思分析的过程中形成概念或者定理等，这样才能使学生在主动探索的过程中，真正将印在课本上的学科知识转化为学科思维能力。例如，在《一元二次函数、方程、不等式》单元第五课时的教学中，教师以“类比用一次函数的图像求解一元一次不等式，能否用有关二次函数的知识来研究一元二次不等式的解法？”这个问题为统领展开教学，引导学生在自主探究、合作交流中解决问题。在解决问题的过程中，学生在借助初中用一次函数的观点解决一元一次方程、不等式的经验基础上，进一步体会如何利用函数观点、数形结合的思想方法解决有关一元二次不等式的问题，这种思想方法的渗透途径远比教师讲授的效果要好得多。因为它是学生在新的问题情境中主动探索出来的成果，能够真正落实到后续其他方程与不等式问题的解决中，进一步体现数学的整体性和联系性。可见，课堂教学需要教师基于教学内容精心设计教学过程，通过具体的情境和问题，引导学生主动探索知识。整体设计，分步实施，才能促进学生对数学教学内容的整体理解和把握，逐步发展核心素养。

最后，单元课时后教师要设计好课后单元作业和单元检测的内容，以巩固单元学习效果。通过教学实践可以发现，单元作业和单元检测内容的有效设计必须包含四个要素：明确的目标、适当的数量、明显的梯度和及时的批改和反馈。以单元检测具体来说，单元检测中设计的每一道题目都要有明确的目标，要依据单元的知识明细表布置考题的内容。一是简单题目的设计，每个知识点都要设计一道题，而且一道题只考察单一知识点，这样目标就非常明确，就是要从每个学生的完成数据中了解每个学生存在的问题，这样的反馈更聚焦，辅导的针对性也更强。二是要确保中档题和难题有分层，且要控制数量不宜过多，试题数量要匹配考试时间，保证全班90%以上的学生都能完全做完。对于学生完成的检测试卷，教师要及时批改和反馈，反馈的不仅是考试的分数，而是要让学生对照单元知识细目表分析自己存在的知识漏洞，并在教师的指导下整理错题，不断提升。

总而言之，从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”，需要不同学段的教师都能够高站位地理解数学，从教材分析出发，理解教材的编写意图，厘清单元知识的结构与逻辑。在此基础上，对知识进行重构，加强知识间的联系。此外，还要精心设计单元课时前、单元课时中、单元课时后的教学活动，让学生在真问题的引领下有结构有逻辑地认识数学。这样学生12年的数学学习才是连贯的、不割裂的，数学思维才能得到更好的发展。

【本文系北京市教育学会“十四五”教育科研2022年度课题“基于高中数学新教材编写意图的单元教学设计策略研究”（课题编号：MY2022-001）的研究成果之一。】