在分类中把握特征，在集合中构建关联

张晓辉

摘要：数学思想蕴含在数学知识之中，又对数学活动具有重要的指导作用。《四边形的分类》复习课，充分融入并运用分类与集合的思想，让学生自主制定分类标准，通过动手操作，从部分到整体，从特殊到一般，帮助学生深刻理解图形特征，在把握图形内涵的同时揭示外延，对一类图形之间的联系与差异建立起清晰的认知。

关键词：小学数学；数学思想；分类；集合；四边形

课例剖析《四边形的分类》是一节复习课，为了帮助学生在认识平行四边形、梯形的特征后，厘清不同四边形之间的关系。本课的教学过程与思考如下：

一、教学过程

（一）回顾两条直线的位置关系

师（出示图1）在图中找一找两条直线之间的位置关系。

（学生交流得出两条直线之间的位置关系有相交、平行、垂直。）

师这三种位置关系都有各自的特点，谁来说一说。

生平行的两条直线没有交点。

生相交的两条直线有一个交点。

生垂直的两条直线也有一个交点。

师两条直线可以没有交点或有一个交点。根据有没有交点设计分类标准，（出示下页图2）可以分成两类。

师相交和垂直这两种位置关系之间有什么关系？

生垂直的两条直线一定是相交的，相交的两条直线不一定垂直。

师所以，（出示图3）相交和垂直是包含关系。

［设计意图：四边形都可以看成由相同或不同位置关系的两组直线（线段）构成。借助“找一找”任务，引导学生回顾整理同一平面内两条直线的位置关系，加深对平行和垂直概念的理解。在比较关键特征的过程中，初步渗透分类及集合的思想，帮助学生认识分类可以使知识条理化、系统化，用集合圈可以表示相同特征事物的集合以及它们之间的关系。］

（二）在分类中辨析不同的四边形

（教师借助软件，通过旋转、平移相同或不同位置关系的两组直线，构成不同的四边形，如图4所示。）

师从图中我们可以看到什么？

生四边形。

（师生共同回顾已经认识的四边形，并一一展示，最终结果如图5所示。）

师这些四边形除了有4条边和4个角，还有哪些特征？你能找到一个标准分分类吗？小组合作，找一找、分一分。

（学生小组合作分类，几种典型的分类如图6—图8所示。）

师不同的分类标准会有不同的分类结果，这三种不同的分类，你更喜欢研究哪一种？

生第一种，因为分得更细。

生更喜欢按照对边平行的标准分类。

师那好，我们就来研究根据对边平行的分类情况。像这样只有一组对边平行的四边形叫作——

生梯形。

师这些梯形中有没有比较特殊的？

生有的梯形有2个直角。

师这叫作直角梯形。

生有的梯形有一组对边长度相等。

师即梯形的腰长度相等，这样的梯形叫作等腰梯形。

［设计意图：分类的过程既要关注不同图形特征的共性，还要关注同一类图形特征的差异性。四边形都是由4条边围成的图形，但根据对边（两条直线）的位置关系，有对边平行的，也有对边不平行的；有两组对边平行的，也有只有一组对边平行的。从整体划分出局部，而这一局部又可以分类，如其中只有一组对边平行的四边形（梯形），又能继续分为特殊梯形（直角梯形、等腰梯形）和一般梯形。通过这样统一标准、逐级分类对四边形开展研究，帮助学生认识到共性和差异性，培养学生的抽象能力，助力学生深刻地把握每一类四边形的本质特征。］

（三）在分类中把握平行四边形的特征

师有两组对边平行的四边形是什么图形？

生平行四边形。

师平行四边形有什么特征？

生对边平行且相等。

师在这些平行四边形中，有没有特殊的？还可以怎样分类？小组讨论一下。

（学生小组讨论。）

生（展示讨论结果，如图9所示）可以根据有没有直角来分类，分为两类。

生（展示讨论结果，如图10所示）可以根据边的长度是否相等来分类，也分为两类。

［设计意图：学生在认识长方形和正方形时，都是从角和边的特征开展研究的。因此，研究图形的边和角是学生认识图形的起点，也是学生合理制定分类标准的依据。合理制定分类标准并加以实施，能帮助学生更系统、更有条理地抓住图形的本质特征，在原有的经验基础之上进一步丰富数学知识经验。而遵循标准开展活动，能锻炼学生学习的毅力，如有的小组制订了依据角的大小标准进行分类，但发现在活动中不便于操作：有的图形既有钝角，也有锐角，甚至还有直角，无法准确把握这一类图形的特征。因此，分类标准需要在实践中进行调试甚至推翻。在这样的过程中，学生经历了挫折，但最终也体验到了成功的快乐。］

（四）以集合图构建平行四边形的知识结构

师长方形、正方形、菱形都是平行四边形，你能用自己的方式表示这四个图形之间的联系吗？

（学生小组合作探究。）

生（展示小组探究结果，如下页图11所示）把平行四邊形较长的对边缩短到和短边长度一样时，就是菱形；把长方形的长缩短到和宽的长度一样时，就是正方形。

生也可以把平行四边形的短边或长方形的宽拉长。所以，菱形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形。

生正方形也是特殊的菱形，只要把菱形的一个角变成90°就可以了。

师从这一个小组的探究中，我们可以看出图形之间的转化，但相互之间的联系还不是十分清晰。有哪个小组可以更加直观地表示出它们之间的联系？

生（展示小组探究结果，如图12所示）我们小组用一个圈表示平行四边形，长方形、正方形和菱形都是特殊的平行四边形，所以在平行四边形的圈内。

生正方形既是特殊的长方形，又是特殊的菱形，所以正方形既在长方形圈里，也要在菱形圈里。

师这一小组的作品，有没有清楚地表示出这些图形之间的关系？

生感觉正方形重复了。

生这样子，还可以看成长方形是特殊的正方形，菱形是特殊的正方形了。

师那正方形究竟放在什么地方，才不重复，也不会产生误解呢？

生把正方形放在长方形和菱形的交叉处。

师（出示图13）这样，你们能看懂正方形和长方形、菱形的关系吗？

生看懂了，交叉圈里的图形既有长方形的特征，又有菱形的特征。

师正方形既属于长方形圈，又属于菱形圈，那就要放在这两个圈的交叉处。

［设计意图：通过探究不同平行四边形之间的联系，从一般到特殊，层层推进，明确不同平行四边形的内涵，建立包含与被包含的关系。基于学生不同的思维方式，以及对认知的不同表征，通过辨析、互补、改进等活动逐渐完善对不同平行四边形之间联系与区别的认识，最终用集合图准确、清晰地表示出这种关系。］

（五）以集合图构建四边形的知识结构

师刚才同学们用集合图表示出了不同平行四边形之间的区别与联系，黑板上除了平行四边形还有其他四边形，这些不同的四边形之间又有着怎样的联系呢？你能试着用集合图画一画吗？

（学生小组合作完成，典型作品如图14所示。）

师你能介绍一下这个集合图吗？

生四边形最大，包含平行四边形、梯形。

生平行四边形和梯形是分开的，互相不包含。

生平行四边形又可以分为长方形、正方形和菱形，其中正方形既属于长方形，又属于菱形，所以用交叉的部分表示正方形。

师为什么平行四边形和梯形没有交叉？

生没有图形既属于平行四边形，又属于梯形，所以没有交叉。

［设计意图：在构建不同平行四边形之间的联系时，通过分析、表征，逐步形成了集合图，让学生形象直观地看清了平行四边形与长方形、菱形之间的包含与被包含关系，同时也运用交集表示出了正方形兼具长方形和菱形的特征。有了这些经验基础，引导学生用集合图表示出四边形之间的联系就有了可行性。］

二、教学思考

数学思想对概念的形成、特征的把握以及概念之间内在联系的建立具有重要的指导作用。而数学思想往往难以教学，也不便于评估。数学思想需要在丰富、典型、适切的背景材料中，通过具身参与，对感性材料进行多形式的加工處理，逐渐感悟和领会。本节复习课充分融入并运用分类与集合的思想，让学生自主制定分类标准，通过动手操作，从部分到整体，从特殊到一般，帮助学生深刻理解图形特征，在把握图形内涵的同时揭示外延，对一类图形之间的联系与差异建立起清晰的认知。

人们对比较复杂的问题，有时无法统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐步讨论，再把每一类的结论加以综合，使问题得到解决。分类思想在小学数学学习中应用比较广泛，可以帮助学生在认识复杂的数学对象时，化繁为简，将同一类对象的不同属性和不同类对象的相同属性清晰、有序地显示出来，从而对数学知识有更深刻的理解。而集合思想是把一类研究对象看成一个整体进行研究的思想。小学数学的很多学习内容都蕴含集合思想，如数的认识、三角形的分类、公因数和公倍数等。分类与集合是密切相关的，将分类对象进行组合，就构成了集合。这在小学数学各个领域都有渗透。在图形教学中，渗透与运用分类与集合的思想，能够引导学生从部分到整体研究图形特征和图形之间的关系，从而把握图形特征的本质，理清图形之间的联系与区别。

一个科学的分类标准必须能够将需要分类的对象进行不重复、不遗漏的划分。［1］在给四边形分类前，不同的小组从不同的角度制定分类标准。有的小组根据对边的平行情况进行分类，有的小组根据直角的个数进行分类，还有的小组按照图形是否为轴对称图形进行分类。当然，不同分类标准的制定都是基于学生原有的经验基础的。四边形的分类活动，是学生在对平行、直角、轴对称等概念已有认知基础上，进行充实和完善，产生新的认知的学习活动。

而集合图的形成过程，就是学生认知发展的过程。尤其是“正方形究竟归属于哪一类、怎样表示出来”这一学习难点的处理，教师结合第二小组的错例，让学生感受到表示方法有重复和歧义，从而产生认知冲突。然后，教师通过提问“正方形究竟放在什么地方，才不重复，也不会产生误解呢”，引导学生从“正方形既是特殊的长方形，也是特殊的菱形”这一特征去考虑，找到长方形圈与菱形圈的交叉处，以形象直观的方式呈现这几种特殊平行四边形的联系；同时，渗透交集的概念，为学生自主构建四边形的集合图做好铺垫。

参考文献：

［1］ 顾泠沅.数学思想方法［M］.北京：中央广播电视大学出版社，2004：148.