把握数量关系，培养模型意识

2023-06-07王欣缪宇虹

教育研究与评论（小学教育教学） 2023年4期

王欣　缪宇虹

摘要：苏教版小学数学六年级上册《解决问题的策略》单元安排了两道例题，引导学生初步学会使用假设策略。在第一课时（例1）的教学以“初步学会使用假设策略”为重点的基础上，第二课时（例2）的教学以“进一步把握数量关系，培养模型意识”为重点：引导学生回顾旧知，关注问题中的数量关系；探索新知，分析问题中的数量关系；基于从旧知到新知的变化，引出更多的变化，在比较中把握“变中不变”的数量关系本质。

关键词：小学数学；模型意识；数量关系；假设策略

一、教前思考

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）将《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011年版课标”）提出的10个核心词之一的“模型思想”演化为“模型意识”和“模型观念”，分别作为小学阶段和初中阶段递进培养的核心素养表现。

“模型意识主要是指学生对数学模型普适性的初步感悟。知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径；能够认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释。”［1］可见，数学模型是指问题中一般化（普适）、可迁移（解决一类问题）的数学本质——普遍规律或通用性质。广义地看，它是针对所有问题的；狭义地看，则是针对实际问题的。

为了更好地落实模型意识的培养，新课标在小学阶段“数与代数”领域的课程内容中，突出了“数量关系”主题（将2011年版课标设置的“探索规律”“式与方程”“正比例、反比例”三个主题整合为“数量关系”主题——将“方程”和“反比例”内容调整到初中阶段），其重点便在于用数和符号表达现实情境中数量之间的关系和规律，进而用数学模型解决实际问题［2］；同时，强调了“总量=分量+分量”和“总价=单价×数量”“路程=速度×时间”等数量关系的实际应用［3］。由此，也为初中阶段应用“方程”（等量关系的进一步形式化表示，关键在于用字母表示未知数，进而用程序化的解方程方法解得未知数）、“不等式”（由相等关系到不等关系）和“函数”（由常量关系到变量关系）等模型解决实际问题，培养模型观念打好基础。［4］

具体来看，本课时的教学，首先引导学生回顾旧知，关注问题中的数量关系；其次引导学生探索新知，分析问题中的数量关系；最后基于从旧知到新知的变化，引出更多的变化，引导学生在比较中，把握“变中不变”的数量关系本质，从而培养学生的模型意识。

二、教学过程

（一）回顾旧知，关注数量关系，为模型意识的培养做好铺垫

师上节课我们学习了什么内容？

生用假设法解决实际问题。

师课后，我们完成了相应的复习题。（出示复习题：“在1个大盒和5个同样的小盒里装满球，正好是80个。大盒装的球是每个小盒的3倍。大盒里装了多少个球？每个小盒呢？”）谁来说一下你是怎么做的？

生我是假设全是小盒来做的：80÷（1×3+5）＝10（个），10×3＝30（个），所以，每个小盒里装了10个球，大盒里装了30个球。

师在假设之前，你做了什么？

生分析數量关系。

师很好！本题中有怎样的数量关系？

生1个大盒和5个小盒一共装了80个球;大盒装的球是每个小盒的3倍。

师不错。第一个数量关系中有两个量，即大盒装多少个球和每个小盒装多少个球是未知的。所以，我们利用第二个数量关系，即倍数关系把什么假设成什么？

生把1个大盒假设成3个小盒。

师这样，两个未知量就变成一个未知量了。同时，什么变了，什么不变？

生总盒数变了，总球数不变。

在学习新知前，引导学生回顾旧知，一方面，帮助学生激活已有经验，促使学生体会到问题中的数量关系是使用假设策略的根本原因，从而为后面分析数量关系、提炼数量关系埋下伏笔；另一方面，通过相似的问题情境，为后续改变条件，引出新的问题（教材例2），进而比较问题，沟通知识之间的联系，凸显数学本质，培养模型意识做好铺垫。

（二）探索新知，分析数量关系，初步建立数学模型

师如果把这里的倍数关系“大盒装的球是每个小盒的3倍”改成相差关系“大盒比每个小盒多装8个球”，其他条件不变，你还会解决吗？

（教师出示教材例2：“在1个大盒和5个同样的小盒里装满球，正好是80个。大盒比每个小盒多装8个。大盒里装了多少个球？每个小盒呢？”学生独立思考，小组交流完成。）

师数量关系变化了，还可以用假设策略解决吗？你是怎样分析的？

生可以用假设策略。我是画示意图来分析的：（展示画法，如图1）1个大圆代表1个大盒，1个小圆代表1个小盒；假设都是小盒，把1个大圆换成1个小圆，这时总球数要减8个，即6个小盒里的总球数是80-8=72（个）。

师画图分析数量关系及其转化，直观、清晰、好懂，给你点赞！现在数量关系变成什么了？本题能够解答了吗？

生（80-8）÷（1+5）=12（个），这是每个小盒装球的个数；12+8=20（个），这是大盒装球的个数。我讲完了，大家有什么不明白的地方吗？

生为什么要用80-8？

生因为1个大盒比1个小盒多装8个球，所以1个大盒去掉8个球才能转化成1个小盒，这样总球数也要减8。

生除数为什么是5+1？

生因为原来的1个大盒转化成了1个小盒，就可以和原来的5个小盒加在一起。

师说得真不错！利用假设策略，也可以把本题中的两个未知量变成一个未知量。假设后，本题中什么变了，什么不变？

生总球数变了，减少了；总盒数不变。

师是的。通过假设转化，我们把复杂的数量关系变成了简单的数量关系，问题就很容易解决了。（稍停）刚刚这种解法是把1个大盒假设为1个小盒？还有其他假设方法吗？

生我是画线段图来分析的，而且，我把5个小盒假设为5个大盒。（展示画法，如图2）长线段表示大盒装球的个数，短线段表示小盒装球的个数，虚线段表示大盒比每个小盒多装球的个数。如果把5个小盒换成5个大盒，总球数要增加5个8，即40。这时，数量关系变为：6个大盒一共装80+40=120（个）球。所以，可以先用120÷6=20算出大盒装球的个数，再用20-8=12算出小盒装球的个数。

师这样假设后，本题中什么变了，什么不变？

生总球数变了，增加了；总盒数不变。

师很好！他不仅改变了假设方法，而且更换了分析工具。那么，请大家来比一比。先比较示意图工具和线段图工具，你更喜欢哪一个？为什么？

生线段图。更简洁，数量关系更清楚。

师再比较假设为小盒的方法和假设为大盒的方法，你更喜欢哪一种？为什么？

生假设為小盒。计算更简捷。

通过原有问题的条件变化，自然引出新的问题。在解决教材例2的过程中，提示“数量关系变化了”，引导学生充分分析数量关系，初步建立数学模型；并通过追问，引导学生进一步体会到假设策略建立在数量关系的基础上，转化了数量关系，才使得问题很容易解决，从而初步培养模型意识（体会模型作用）。同时，在分析数量关系时，针对小学生的思维特点，选取学生作品，发挥示意图、线段图等图形表征的直观作用。此外，通过不同假设方法的比较，让学生体会数量关系及其转化是解决问题的关键。

（三）变化比较，提炼数量关系，充分体会数学模型

师现在，我们来回顾一下：上节课的复习题和本节课的例题有什么关系？

生把倍数关系“大盒装的球是每个小盒的3倍”改成相差关系“大盒比每个小盒多装8个球”，上节课的复习题就变成本节课的例题了。

师很好！那我们来比一比这两道题的解决过程，什么是变化的？什么是不变的？

生上一题，我们利用倍数关系“大盒装的球是每个小盒的3倍”把1个大盒假设成3个小盒，转化后总球数不变，总盒数变了；本题，我们利用相差关系“大盒比每个小盒多装8个球”把1个大盒假设成1个小盒，或把5个小盒假设成5个大盒，转化后总球数变了，总盒数不变。

生两道题都是利用一个数量关系把两个未知量转化成一个未知量，从而使复杂的问题变简单，再利用另一个数量关系解决问题。

生它们都使用了假设的策略。

师很好！现在，我们再来变一变：（出示图3）仔细观察，我们把“1个大盒和5个小盒”变成“2个大盒和4个小盒”，怎么解决？

生还是假设都是小盒……

师假设后，本题中什么变了，什么不变？

生总球数变了，减少2个8；总盒数不变。

师可以假设都是大盒吗？什么变了，什么不变？