新课标下初中生数学推理能力的培养

方榕彬

本文重点解读了核心素养在初中阶段的表现之一的推理能力，以推理步骤的复杂度、推理结构的完善度、推理过程的准确度、推理范围的适用度、推理表现自觉度等逻辑推理能力的主要指标为依据，在《义务教育数学课程标准（2022年版）》主要教育数学思想的指导下，探索使用夯实命题基础、递增推理步骤、熟悉推理类型和拓展推理范围等策略，提升初中学生数学推理能力，也为学生其他能力的培养提供参考。

一、多视角解读数学推理能力内涵

有的学者认为，数学的推理，就是把表示关系的运算方法、逻辑术语运用于研究对象，得到数学的结论或者验证数学结论。因为数学的结论最终可以归结为数学命题，因此，数学推理就是得到数学命题或者验证数学命题的思维过程。

按照其观点，数学的概念、定理本质就是命题。课标提到的“依据规则”中的规则，可以是概念、基本事实、法则和定理等，最后问题的解决实际上就是推出新的命题或结论，要培养的数学推理能力就是学生有理、有据、有序解决问题的能力。

通过对数学推理能力内涵的解读，不难看出培养推理能力的重要价值。有的学者就认为，逻辑推理是思维的核心，思维能力是智力的核心，因此逻辑推理能力是核心的核心。

二、多维度制定数学推理能力指标

1.推理步骤的复杂度

“推理步骤的复杂度”是数学推理能力的主要指标之一。

有的推理只要“条件+公式”就能得到结果，只需要一步，这是直接推理。有的推理并没有公式可循，需要变化条件，寻找依据，经历多个步骤才能得到结论，这是间接推理。还有的结论可能对前提和假设都要反复验证，最后才能得到结论，这是迂回推理。有的学生做一步题，已经看出数步，形成了格式化，这是综合推理水平，从某种程度上讲，这一水平的学生把复杂的间接推理变成了格式化的直接推理。

2.推理结构的完善度

例如演绎推理的三段论需要大前提、小前提和结论，缺一不可。归纳推理在从特殊到一般的过程中结论是必然的还是或然的。

3.推理过程的準确度

也就是推理过程中使用的规则的准确程度，规则的优势水平，推理基本形式的准确性，等等。

4.推理范围的适用度

不能随意扩大事实和命题的适用范围，例如在平行四边形范围内的推理扩大到四边形领域，在整数范围内的推理扩大到有理数范围，等等。

5.推理表现的自觉度

如解决一个推理问题之后，能自觉进行概括，揭示推理中的相关本质问题，同时还能触类旁通，实现迁移，并将这样的习惯变成一种自觉行为，这就是高水平。

三、多路径探索数学推理能力策略

1.夯实命题基础

数学推理能力需要扎实的命题基础，不管是推理的条件，还是推理的结论，基本上都是以命题的形式呈现的，因此，推理能力的培养要以命题为前提。命题的教学越扎实，学生对命题的分析和理解越到位，在推理过程中需要建立的关系就越容易找到，推理过程也就水到渠成，学生的推理能力自然也就水涨船高。

例如“同位角相等，两直线平行”这个命题，不仅要能区分条件和结论，还要清楚理解同位角的概念，要清楚只有在“三线八角”结构中，特殊位置关系的同位角，满足相等这一特殊的数量关系之后，才能得到两条直线的特殊位置关系。进一步的理解是，为了确定平行这个难以刻画的位置关系时，可以引入第三条直线，通过三条直线构成的特殊位置关系的角（同位角）及其特殊的数量关系（相等）来量化。这个命题的背后是对数学的数量关系和空间形式这一本质的显性化，在初中生数学推理能力的培养过程中，我们要有意识地引导学生对命题进行深层次剖析，深度思考，进而达到夯实命题基础的目的。

2.递增推理步骤

我们知道，推理过程中步骤越多，往往就说明学生的推理能力越强。对于初中生来说，我们要在小学推理意识的基础上培养推理能力，也就是要将推理从基于概念理解的水平，提升到基于理解应用的水平。应用层面的问题，一步达成的直接推理极少，这就要求我们在初中生数学推理能力的培养过程中有意识地增加推理步骤，利用变式和延伸拓展的方式，在简单结论的基础上进一步猜想、推导、验证深层次的结论，让推理步骤自然延伸，让学生在原有命题或结论的基础上，自觉、自然增加推理步骤。也可以在原有条件（也是命题）的基础上往前推，寻找代替性条件，让原有条件变成结论，用新的条件让原有推理步骤增加。简单点说就是将条件前推，将结论后延，这一操作思路可以不断迭代，让推理往两端无限延伸，在步骤自然增加的过程中培养初中生的数学推理能力。

3.熟悉推理类型

推理是从命题到命题的思维过程，联结命题之间的规则是有基本“套路”的，可以是归纳推理，也可以是演绎推理，初中阶段尤其值得一提的还有合情推理；可以使用综合法从条件到结论，也可以使用分析法从结论到条件。学生对各种推理类型越熟悉，推理过程中的工具箱功能就越强大，推理过程就越容易达成，数学推理能力也就越强。

4.拓展推理范围

完成一个推理过程之后，我们要引导学生回头看，梳理整个推理过程，用自己的语言进行概括，理解整个推理的本质，同时考虑将推理进行迁移。例如将推理的条件和结论在上下位概念上的迁移，再重新思考迁移后的推理过程是否依然成立，如果不成立，条件和结论中的命题范围需要如何修正，是修正条件的范围还是结论的范围，在迁移过程中，规则是否依然有效，等等。例如：“三边对应相等的两个三角形全等”这一基本事实，能否拓展到多边形领域，变成“各边对应相等的两个三角形全等”？“三角形三个内角中至少有两个锐角”，能否变成“多边形的所有内角中，至少有两个锐角”？

5.积累推理策略

合情推理、归纳推理寻找结果，演绎推理提供证明，这是我们日常中常用的推理策略。通过观察、猜想、逆向思维、发散思维等方式，不断积累推理经验，慢慢内化为推理习惯，乃至形成自动化的推理策略。

责任编辑 黄铭钊