解决高中数学恒成立问题的策略选择

陈亦勇

高中数学恒成立问题是高中教学中的一个重要问题，同时每年的高考也是一个必考的考点，它既是可以对学生单独知识考点，也可以是把函数、方程等高中数学的重点问题联合一起考查，故此学生对学习过程中普遍觉得困难颇大。这就要求教师从学生的现状出发，然后根据实际问题采用相对应的方法来解题。以下介绍几种常见的解决高中数学中“恒成立”问题的手段。

一、函数性质法

函数性质法，往往是根据题意首先构造一个函数，再根据这个函数的性质来解题，强化“数”与“形”结合并互相转化的数学思想。

例1.若对于m∈[-2，2]，不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立，求x的取值范围。

分析：本题可以构造一次函数，利用一次函数思想，从一次函数性质出发求解。

解：若对于m∈[-2，2]，不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立，即mx2-mx+m-6<0恒成立，所以（x2-x+1）m-6<0恒成立，令函数f（m）= （x2-x+1）m-6， m∈[-2，2]，因为（x2-x+1）＝（x-1/2）2+3/4>0恒成立，所以函数    f（m）= （x2-x+1）m-6， 在m∈[-2，2]上单调递增，所以只需要函数的最大值小于0即可，所以f（2）= （x2-x+1）×2-6<0，即x2-x-2<0，解得-1

对于此类恒成立问题，教师要引导学生这样思考：把二次不等式转化为一般的函数，最后再根据函数图像的单调性来处理。采用这种方法，关键在于把不等式、方程与函数之间关系灵活运用，并会相互转化，突出解题采用的方法。

二、分离参数法

分离参数法就是把参数分离出来以后，用变量和相对应的函数来观察主变量的大小的变化，从而判别参数的取值范围。因此它是一种比较独特的解法。

例２.若关于x的不等式 x2-2mx+1>0在[1/2，2]内恒成立，求实数m的取值范围。

分析：本题求字母m的范围，可以在不等式中对字母m与变量x左右分离，再求解。

解：关于x的不等式x2-2mx+1>0在[1/2，2]内恒成立，即m0，解得1

在二次不等式恒成立问题中，若原问题中限制自变量x在某个指定范围内取值，则最好先分离参数，然后构造新函数，这样解决问题比较方便。

三、判别式法

判别式法就是运用一元二次方程当中的判别式来解决其他的数學问题的方法。利用判别式及它的推广可以求某些参数的值或取值范围。

例3.已知函数f（x）=x2-（m+5）x+2（m+5）在其定义域内恒为非负，求关于x的方程2x/（m+1）=|m-2|+1的根的取值范围。

分析：本题可以用二次函数中的判别式求出m的取值范围，再确定2m的范围，进而由值域求出定义域的取值范围。

解：因为f（x）=x2-（m+5）x+2（m+5）在其定义域内恒为非负，则Δ=（m+5）2-8（m+5）≤0，解得-5≤m≤3。

方程化为：2x=（m+1）（|m-2|+1）。当-5≤m≤2时，2x=（m+1）（2-m+1），所以2x=-m2+2m+3=-（m-1）2+4，所以2x≤4，x≤2。当2

此种方法利用了二次函数恒为非负数或恒为非正数时，Δ≤0，求出m的范围。

四、主参换位法

有一些包含参数的不等式恒成立问题，我们在把参数分离的时候是非常复杂，非常困难的，要求出某些函数的最大值或最小值的时候也有很大的难度，那么我们只有变换问题思考的方向：就是将所求的参数和主元的位置调过来，然后利用其他的已知条件解答出来。

例4.若不等式2x-1>m（x2-1）对满足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范围。

解：原不等式化为关于m的不等式（x2-1）m-2x+1<0。设f（m）=m（x2-1）-2x+1，则要使f（m）<0，|m|≤2恒成立，只要f（-2）<0，f（2）<0，即-2（x2-1）-2x+1<0， 2（x2-1）-2x+1<0，解得（-1+ √7）/2

这道题主要是用参数作为自变量而建立了一个新的函数，将常见的不等式问题变为函数在所在的区间上的值域问题。

责任编辑 徐国坚