渗透数学思想 提高教学效率

石校杰

摘 要：数学思想是数学核心素养的重要组成部分，是学生学好数学这门课程应具备的重要思维品质。在数学教学实践中，我们常发现不少学生在课堂上听得投入认真，却在课后做习题时无从下手。究其根本原因在于学生缺乏数学思维，未能真正掌握数学思想，从而无法灵活自如地应用数学知识解决实际问题。基于此，要想最大限度地提高教学效率，培养学生的数学核心素养，广大数学教师要积极地渗透数学思想，拓展学生的思维空间。下文笔者分析了数学涉及的基本数学思想，探讨了渗透数学思想的必要性，总结了几个渗透数学思想的实例，以期优化初中数学课堂教学方式，加强学生数学思想培养，促进学生数学思维以及学习能力的发展。

关键词：初中数学；素质教育；数形结合思想；核心素养

中图分类号：G63          文献标识码：A          文章编号：1673-9132（2023）17-0070-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2023.17.023

新课程标准明确了数学思想的重要性，要求广大数学教师及时更新教学理念，突破传统教学观念束缚，加强数学思维和方法教导，引导学生掌握数学思想，探寻数学知识本质，进而为学生做到举一反三、灵活运用打下坚实基础。因此，初中数学教师必须加强数学思想研究，在课堂教学以及课后习题讲解中有效渗透数学思想，帮助学生感受不同数学思想以及数学方法的应用价值，为他们提供更科学的解决问题的“工具”，让初中数学教学见效见质。

一、初中数学教学中渗透数学思想的必要性

（一）素质教育理念的要求

素质教育强调了数学素养的重要性，要求广大教师在教学过程中重视学生数学素养培养。数学新课程标准也明确提出让学生在社会实践中学习数学知识。这也就要求学生必须掌握一些数学思想和方法，做到举一反三、触类旁通。从这一角度而言，广大数学教师应立足于教育要求，重视数学思想教育，以数学思想促进学生思维能力的发展。

（二）提高学生解决问题的能力

教育家米山国藏曾经讲过：“无论是技术人员还是科学工作者，都需要明确数学方法、数学思想、数学精神。”可见，数学思想以及数学精神在学习数学过程中的重要性不亚于数学知识和数学技能。传统教学中教师忽略了这一点，更重视数学知识本身，从而制约了学生思维能力发展。数学思想直接体现了学生的综合素质，能够有效推动学生解决问题能力的发展，所以教师也必须在教学过程中渗透数学思想，尤其是要在具体的问题情境中渗透数学思想，鼓励学生应用不同的数学思想去解决问题，以此提高学生解决问题的能力。

（三）数学思想方法能够解释数学本质特征

“知其然并知其所以然”的前提是掌握知识本质，只有了解本质，才能灵活自如地应用知识。数学知识的本质包括数学性质、数学概念、数学公式等内容，这些是数学课程的基础内容，而数学思想就是学生将方法、知识转化为数学智慧的“中介”。学习、理解、应用数学思想也是学生真正透彻理解数学知识的过程，这是数学新课程标准的基本要求，能够真正展现数学价值和数学魅力。因此，广大数学教师应积极引导学生深入探究数学知识本质，让学生经历数学知识的形成过程，给学生解释数学知识包含的数学方法和数学思想，让学生在感知、体验、概括、总结、反思中掌握数学思想，对数学知识有更深层次的理解。

二、初中数学教学中渗透数学思想的策略

（一）渗透数形结合思想，提高解题效率

数形结合思想是初中数学教学中涉及的最主要的思想，也是学生学好数学课程、解决数学问题的重要思想。掌握数形结合思想能够巧妙地化解难题，将数与形建立联系，提高解题效率。因此，在初中数学教学中，教师要加强数形结合思想的渗透。具体而言，教师可以把握以下两个方面内容：

一是以形助数。学生更容易理解简单、直观的图形，而抽象单调的数字容易导致学生产生学习疲劳，失去学习的兴趣和动力。巧妙地用数学几何图形来表达数学知识间的关系，能够最大限度地提高学生的学习效率。几何图形具有直观形象的特点，因此在涉及数形结合思想的教学中，教师更多倾向于以形助数，利用图形解决代数问题，能够产生“出奇制胜”的效果。例如，正方形的分割图用来记忆完全平方公式；将两个全等梯形拼成一个平行四边形用来记忆梯形公式；利用数轴将坐标轴上的代数赋予几何意义，构造几何图形，绝对值的几何意义就是这类代表；利用函数的性质把握函数的意义……此类问题都是以形助数的直接体现。

例1：关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根在-1和3之间，求k的取值范围。

解題思路：令f（x）=x2+2kx+3k，该函数图像与x的横坐标就是f（x）=0的解，由y=f（x）的图像（见图1）进行推导即可解题。

一元一次方程、一元二次不等式与二次函数都有着非常密切的关联，在解决二次方程、二次不等式的复杂问题时，首先就应该想到其与二次函数的关系，引导学生利用二次函数解题，往往收效更高。

二是以数助形。初中数学教材中涉及的图形难度也在递增，从简单图形到复杂几何图形，需要学生具备较强空间思维方能正确掌握图形要点。因此，教师需要引导学生将图形和数之间建立联系，用简单的数来表示几何图形的本质、属性，以此提高学生抓取关键信息的能力。比如利用数轴、坐标系将几何问题代数化，利用角度、距离、面积解决几何问题，利用勾股定理证明直角，利用三角函数研究角的问题，这些都是以数助形的体现。

例2：图2是由五个边长为1的正方形组成的十字形，如果要将这个十字形拼凑成一个正方形，你有多少种方法？

解题思路：此题如果只从图形角度进行分析，除了试验应该没有更好的解决办法了。但如果能够将形转化为数，将形与数巧妙结合，那么问题就变得相对容易了。利用图形面积公式可以计算出正方形边长为，从图中找一段边长为的线段并且作一个正方形即可设计出各种裁剪方法。

无论是以形助数还是以数助形都需要教师有意识地引导学生从数学问题中提取关键信息，从题干中获取数学条件，然后观察、分析、思考，理清几何图形与数的对应关系，接着再进行过程验证。如此即可深化学生对数和形的理解，也能够培养学生主动应用数形结合思想解题的意识。

（二）渗透方程和函数思想，建立数学模型

方程和函数是初中数学教学的重要内容，方程思想和函数思想也是帮助学生解决数学问题的重要思想。在初中数学教学中，教师应加强方程和函数思想的渗透，引导学生灵活运用列等式方程解决问题，启发学生快速联想函数思想，运用函数来呈现题干中的数量关系，以此锻炼学生的数学思维，提高学生的数学能力。

例3：等腰三角形△ABC中，AB=BC=6，点P是线段BC中的一点，AB∥PQ且与AC相交于点Q，将线段PQ作为正方形PQMN的一条边，点C和线段MN不处于线段PQ的同侧，假设△ABC和正方形PQMN的公共部分是S，將CP的长设为x，求得S和x之间存在的函数关系式。

此题看似比较复杂，涉及的图形、线段、数量关系相对较多，学生容易受思维定式的影响，难以找到解题突破口。在指导学生解决这类问题时，教师就可以引导学生从方程和函数的角度进行思考，鼓励学生将此题转化为方程或者函数问题，建立方程模型或者函数模型。此种教学形式不仅有利于培养学生数学模型素养，同时也能简化解答过程。

（三）渗透化归类比思想，提高学习效率

化归类比思想是初中数学教学中比较基础的数形思想，其本质在于将复杂问题简单化，将学生陌生的问题熟悉化，将抽象的知识直观化。这一数学思想在数学教学和解题过程中应用得非常广泛，是贯穿数学学习过程的数学思想，具有较强的普遍性和实用性，是帮助学生快速解决复杂数学问题的有效方法。因此，教师应在教学过程中加强化归类比思想引导，鼓励学生将问题进行转化，比如将数学问题进行变形、转化，然后归入一类题型，进而找到同类问题相似的解决方法，从原问题答案中获取一类问题的解题技巧。

例题4：解一元一次方程2x+6=3-x

方法：首先移项得：2x+x=3-6，然后合并同类项得：3x=-3，接着系数化为1得：x=-1。

例题5：解一元一次不等式：2x+6﹤3-x

方法：同样移项得：2x+x﹤3-6，再合并同类项得：3x﹤-3，接着两边都除以3得：x﹤-1。

两类问题放在一起类比，学生掌握起来就容易得多。当遇到不等式时，教师要鼓励学生联想方程，将陌生的问题转化为熟悉的问题，教学效率也更高。

又如，在教学“分解因式”相关内容时，教师就可以基于如下问题鼓励学生运用化归类比思想进行解决。

问题1：993-99能被100整除吗？可以将数式转化为几个数的乘积形式，从而推导出993-99能被100整除。

方法：993-99=99×992-99×1=99×（992-1）=99×（9801-1）=99×9800=99×98×100。

问题2：你能否将a3-a化成几个整式的乘积形式？

方法：a3-a=a×a2-a×1=a（a2-1）。

有了问题1的类比，学生解决问题2就没太大难度，自信心也会倍增，学习积极性更高。学生先经历分解因数，再经历分解因式，并通过类比对分解因式的本质有更加深刻的认识。

（四）渗透分类讨论思想，发展数学思维

分类讨论思想也是初中数学教学常涉及的一种数学思想，尤其在解决数学问题过程中，不少问题都需要进行分类讨论。缺乏分类讨论思想容易导致学生解题答案缺乏完整性。培养学生分类讨论思想有利于促进学生思维发散，对于培养学生的开放性思维大有益处。从初中数学教学内容来看，初中阶段的分类讨论思想可以分为如下几类：一类是问题给定，条件和结论存在多种可能；二类是问题包含的参变量取值不同，存在多个计算结果。这两类问题都需要学生进行分类研究，方能准确地、完整地解题。

例如，比较1-a和1+a的大小。

作差法是最常用的比较大小的方法，通过作差（1+a）-（1-a）得到2a，此时就需要对a的取值范围进行讨论：

①当a>0时，2a>0，即（1+a）-（1-a）>0，即1+a>1-a；

②当a=0时，2a=0，即（1+a）-（1-a）=0，即1+a=1-a；

③当a<0时，2a<0，即（1+a）-（1-a）<0，即1+a<1-a。

又如，解方程：x+4=3；比较a2-a+4与a2+3的大小；在△ABC中，若AB=3，BC=1-2x，CA=8，求x的取值范围……这些例题都涉及了分类讨论思想，教师可在教学过程或者作业设计中适当增设这类习题，通过逐层深入培养学生分类讨论思想。

需要注意的是，引导学生分类讨论时应做到“不重、不漏”，尤其要注意分类标准的统一性，确保分类讨论结果的准确性。同时，在分类讨论过程中容易出现“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”现象，需要教师注意观察学生利用分类思想解题是否存在这些问题，有意识地引导学生规避分类讨论误区，科学设计分类讨论类习题，以此培养学生分类讨论思想，让学生思维更开放、更灵活，思考问题的方向更多变、更完整。

三、结语

综上所述，数学思想既是一种学习方法，也是一种思维方式。学习数学知识、解决数学问题都离不开数学思想的支撑。在教学过程中渗透数学思想不仅可以促进学生数学核心素养的发展，同时也能够提高学生数学学习效率以及应用数学解决实际问题的能力。因此，广大数学教师应重新审视数学思想的教学价值，始终围绕新课程标准的要求，结合学生实际情况开展数学教学活动，将数学思想渗透于数学教学的各个环节，引导学生运用数形结合、方程、函数、化归类比、分类讨论等多种数学思想分析问题，提高学生的解题能力和解题效率，为提高初中数学教学效率奠定基础。

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