2022年全国高中数学联赛A卷平面几何题的证法及教学启发

肖福流 李和平 杨承翰

【摘要】本文基于2022年全国高中数学联赛A卷平面几何题的证法分析，以2022年全国高中数学联赛A卷某道试题为例，具体论述这道试题的四个论证步骤，从中总结解决这道例题的关键能力点和着力点，得出提高学生解决平面几何问题能力“关键在于加强学生辅助线思维分析训练”的结论，并提出以百色高级中学学生样本为例进行对比实践研究的思路。

【关键词】数学联赛 平面几何 证法研究 教学启发

【中图分类号】G63 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）05-0124-04

2022年9月，全国高中数学联赛在全国范围举行，联赛结束后，笔者对本次联赛试题进行了分析和研究。结合日常数学教学中遇到的突出问题，笔者认为本次联赛的平面几何试题具有较大的研究价值，其研究价值有如下两点：一是通过研究本次联赛平面几何试题，可以总结出较为系统的平面几何问题证法；二是通过研究试题可以对日常课堂教学有所启发。

在试题分析研究过程中，笔者认为要突破学生参赛难题及教学难题，首先要对竞赛试题的证法进行具体分析，厘清试题的证明步骤和证明方法，然后从中总结出一套科学有效的平面几何问题证法，并通过教学实践加以证明。下面，笔者将以2022年全国高中数学联赛A卷平面几何题为例，对相关例题的证法进行详细分析，并进一步总结教学启示。

一、关于2022年全国高中数学联赛加试A卷平面几何试题的分析

在2022年全国高中数学联赛加试A卷中，有这样一道平面几何题：如图1，在凸四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD上一点P满足∠APB=2∠CPD，线段AP上两点X，Y满足∠AXB=2∠ADB，∠AYD=2∠ABD，证明BD=2XY。

经过分析分析题中数量关系和图形，笔者认为解决这道试题需要使用三角形中位线定理、等边对等角定理、对顶角相等定理、角平分线定理、相似三角形判定定理、相似三角形性质定理、四点共圆判定定理、圆周角定理、圆内接四边形性质定理等平面几何知识。基于这样的分析，笔者将该题的证明过程分为如下四个步骤。

（一）第一步：作出全部辅助线

具体操作过程如下：首先连接AC，设O为AC中点，连接OY，OX，OB，OD，并过O点作OM⊥AP交AP于点M，过C点作CK⊥AP交AP延长线于点K，过C点作CL⊥BD交BD于点L（如图2所示）。

（二）第二步：证明A、D、O、Y四点和A、B、X、O四点分别共圆

具体证明过程如下：因为∠ABC=∠ADC=90°，所以∠ABC+∠ADC=180°，因此根据四点共圆判定定理得出A、B、C、D四点共圆。因为A、B、C、D四点共圆且∠ABC=∠ADC=90°，所以根据圆周角定理推论得出AC为A、B、C、D四点共圆的直径，且O为圆心。因为∠AOD=2∠ABD，∠AYD=2∠ABD，所以根据等量代换定理得出∠AYD=∠AOD，最后根据四点共圆判定定理可知A、D、O、Y四点共圆，根据圆周角定理可知，因为A、B、C、D四点共圆，所以∠AOB=2∠ADB，又因为∠AXB=2∠ADB，所以∠AXB=AOB，最后根据四点共圆判定定理可知A、B、X、O四点共圆。

（三）第三步：证明△OXY∽△CDB

具体证明过程如下：由第二步已知A、B、C、D四点共圆，所对应的圆记为圆O1；A、D、O、Y四点共圆，所对应的圆记为圆O2；A、B、X、O四点共圆，所对应的圆记为圆O3。根据圆内接四边形性质定理可知，因为A、D、O、Y四点共圆，四边形ADOY为圆O2的内接四边形，所以∠AYO+∠ADO=180°。又根据平角定理可知，因为∠AYO+∠OYX=180°，所以通過等量代换得出∠OYX=∠AOD。因为OA=OD且都是圆O1的半径，所以根据等边对等角定理得出∠ADO=∠OAD，又因为∠OAD=∠CAD，所以∠OXY=∠CAD。在圆O1中，因为∠CAD=∠CBD，所以∠OYX=∠CBD。同理，在圆O3中，同AO弧所对的圆周角相等，即∠OYX=∠OBA。又因为OA=OB且都是圆O1的半径，所以∠OBA=∠OAB。又因为∠OAB=∠CAB，所以∠OXY=∠CAB。在圆O1中，同弧BC所对的两个周角相等，即∠CAB=∠CDB，所以∠OXY=∠CDB；因为∠OYX=∠CBD，∠OXY=∠CDB，所以根据相似三角形判定定理可知△OXY∽△CDB。

（四）第四步：得出结论BD=2XY

具体证明过程如下：因为O是AC中点，且OM⊥AP，CK⊥AP，所以在△CAK中OM为三角形中线，因此根据三角形中位线定理可知CK=2OM。因为∠APB=2∠CPD，其中∠APB=∠KPD，此外∠KPD=∠KPC+∠CPD，通过等量代换得出2∠CPD=∠KPC+∠CPD，所以∠KPC=∠CPD，所以PC为角∠KPD的角平分线。又根据角平分线定理，因为CK⊥AP，CL⊥BD，CK⊥CL，所以通过等量代换得出CL=2OM；因为△OXY～△CDB，且OM，CL为这两个相似三角形对应边XY，DB上的高，所以[XYDB]=[OMCL=OM2OM=12]，最后根据相似三角形的性质定理及等量代换得到BD=2XY。

二、关于试题证法的深度分析和研究

（一）试题证法的能力点突破

一是作辅助线，解决这道例题需要作众多辅助线。通常来说，在证明平面几何问题时，作一定量的辅助线是必须的。但在面对一道新的平面几何题时，如何作辅助线、作多少辅助线，往往是学生解题的“障碍”。可以这样说，能否正确作出辅助线是学生能否快速解决平面几何试题的关键。如解决上述例题，学生首先要分析题目的四个关键点O，M，K，L，这四个点在已知题图中是没有的，如何将它们从无到有分析出来对解题来说极为关键。

针对上述例题的四个关键点的分析，笔者认为，首先学生要对平面几何的各种性质和定理有全面的把握和了解。有了这个基础，学生就可以根据题目中给出的蛛丝马迹，找到题目信息与相关性质或定理的联系。比如说，关于上述例题中O点的分析，此点的获得是学生比较容易想到的，因为通过题目给出的条件很容易知道AC是圆O1的直径，那么其圆心不管题目中用不用得上我们往往也会将其标出来，因为与它联系起来的几何信息极多，有了它的存在，那么题目中的大量等量关系就出现了。有了O的存在，从半径角度分析，就有OA=OB=OC=OD，有了这些线段的等量关系就可以借助等边对等角定理获得大量的等角关系，即∠OBA=∠OAB，∠OBD=∠ODB，∠OAD=∠ODA，这些关系为题目的求证提供了新的等量信息；从圆心的角度分析，我们就立马获得了大量角度的等量关系，即在O1中，借助圆周角定理有∠AOD=

2∠ABD，∠BOD=2∠BAD，∠AOB=2∠ADB，这些等量信息为证明A、D、O、Y和A、B、X、O四点共圆打下了基础；从中点的角度分析，为后面分析出M点和K点打下基础，为采用中位线获得最后的题目求证目标埋下基础。由此可见点必须存在，也就将此O点分析出来了。

利用分析O点的相同方法，我们可以抓住题目提供的蛛丝马迹分析出其他各关键点。比如，从题目中易发现当延长AP后，PC就是一条角平分线，这条信息借助题目提供的∠APB=2∠CPD可以获知。有了角平分线我们就容易联想到角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等，进而容易分析出K点和L点。分析出K点后，借助O点的中点位置信息就比较容易联想到利用中位线定理处理问题，从而就比较容易分析出M点。其实，学生在分析四个关键点的过程中，就已经可以作出相应的辅助线了。

二是分析出XY与BD之间的关系，建构△OXY，证明△OXY ∽△CDB。上述例题中，分析XY与BD之间的关系极为关键：从所证结果提供的信息来看，两者是倍数关系，但从图形来看，两者似乎不存在任何联系点。这一分析给我们提供的信息是，两者间要产生等量关系。那么，如何产生等量关系呢？这时我们可以想到，产生等量关系可以借助等量代换、全等分析、相似分析等方法进行。根据题目给定的残缺图形，可知两者不存在直接的等量关系，所以我们可以先排除全等分析；然后继续读图可以发现，纵观全图也无法找到二者有效的等量代换关系。那么，留给我们的分析角度就只有一个，那就是相似分析。众所周知，相似分析必然涉及相似三角形的分析，这就要求学生对两条线段所在的三角形进行分析。在進行相似分析时，线段XY所在的三角形有△OYB，△OYD，△XYC，△XYO四个三角形，其中△XYO属于新建构的三角形，因为点O是从无到有产生的，因此该三角形的建构过程存在一定困难，不像其他三个三角形不需要经历从无到有这一思维过程；线段BD所在的三角形有△BDC，△BDA，△BDO，在这三个三角形中，△BDO比较特殊，它是一个等腰三角形，并且也是从无到有的一个新三角形。得到上述七个三角形后，利用相似分析法，我们可以发现△OXY与△CDB两者联系密切，存在相似的可能性极大，于是我们可以建构出△OXY，然后利用相应定理及等量分析可以证明出△OXY ∽△CDB。

（二）关于例题的四个证明步骤的分析

解决上述例题需要经过四个步骤，其中，于学生而言难点在第一步和第三步。在第一步中，作辅助线对大多数学生来说存在极大困难。在这一步骤中，学生需要厘清如下几个问题：作多少条辅助线？哪些辅助线是有效的？哪些辅助线是多余的？这些问题蕴含了不少要求极高的思维分析过程。在通常情况下，学生往往会尝试先作了大量的辅助线，因为没有进行较为科学的思维分析，所以就容易出现比较多的问题，不仅导致解题耗时多，而且会出现多作多错的情况。由此可见，作好辅助线其实就是一大难点，能有效作出全部的辅助线对学生的能力要求极高。当然，这也体现了数学联赛在培养数学专业人才方面的巨大价值。

在第三步中，学生要获知两条线段的关系也极为困难，大多数学生往往无从下笔。其实，学生存在这样的困惑也是正常的，因为单单从题目给出的残缺图形来说，学生无法轻易看出两者的直接关系，并且也无法轻易通过简单分析就能找出两者的直接关系。因此说，学生要完成这一步骤就需要通过深度分析并利用题目中给定的种种蛛丝马迹，找到它们可能存在的关系，并且需要借助较为曲折的等量分析路径获得它们最后的直接关系。由此可见，整个分析和求证过程难度极大。

三、教学实践启发与研究

纵观近几年的全国中学生数学联赛中的平面几何试题，主要是通过题设条件及提供残缺的图形，目的在于考查学生完成一个思维难度较大的证明实践过程。并且这个证明实践过程抛开了各种与学生很少接触到的几何定理，转变为纯利用初等几何中各项定理的深度组合进行证明实践。如上述例题就是借助初等几何当中的九个看似简单的定理，通过题设条件及残缺图形，要求学生通过极高的辅助线思维分析及借助题设条件中的蛛丝马迹建构出题中新的元素，并要求对新的元素参与到全程的求证过程中来，使得初等几何中的各项定理结论得到充分应用，最终获得所证结果。通过对上述例题的证法深度分析，可知在培养竞赛学生的教学实践中，我们要加大学生对平面几何题的作辅助线的专项训练，加强辅助线的思维分析训练，此外还要加强学生对思维跨度较大的两个量间的联系分析训练。

为了验证这一设想，笔者组织了两次教学对比实践研究。

在第一次教学对比实践研究中，笔者将准备好的论文分为两组，记为A组、B组，其中A组论文进行加工处理，将论文涉及的解题理论知识点写入对应求证步骤，B组论文不做任何处理。随后，笔者将百色高级中学数学联赛初学者也分成了相应的两组，记为学生A组和学生B组，将A组论文发给学生A组研读，将B组论文发给学生B组研读。教学实践研究中，笔者发现，学生B组能读通论文所花的时间较多，研究统计发现，学生B组只有20%能勉强读通读懂论文，有60%～70%基本读不通读不懂，还有10%～20%介于两者之间。而学生A组，他们能读通论文所花的时间较少，统计发现，学生A组有60%～80%能较好读通读懂论文，有10%～20%能勉强读通读懂，仅有不到10%无法读通读懂。通过研究，笔者发现，初学者研读读通加工后的论文所用时间远远低于研读没有做处理的论文研读时间。通过本组的教学对比实践，笔者认为竞赛类论文撰写应该细化求证步骤，且将相应的理论知识写入对应步骤，这将极大促进新进学生突破看论文难问题。

在第二次组织对比教学实践中，笔者依然将初学者分为两组，记为A组和B组，让两组初学者分别证明2022年全国高中数学联赛A卷平面几何题。在组织初学者进行证明前，笔者对学生A组进行了高中数学联赛平面几何题的辅助线专项训练，学生B组没有组织做任何相关训练。在组织两组学生进行联赛平面几何题证明的教学实践研究中，笔者发现，经过专项训练的学生A组普遍要比没有做专项训练的学生B组更容易抓住解题核心，也能更有效地作出辅助线，并且发现经过专项训练的学生在对作辅助线有更深刻的理解。

在本文中，笔者围绕2022年全国高中数学联赛A卷的平面几何题证法进行深入研究，从中总结了一套较为有效的证法，并展开了相关教学实践研究，得出如下两个观点：一是竞赛类试题更关注基本定理、原理的应用，更具基础性、实战性，因此教师可以通过对竞赛类试题进行归类分析，从中寻找解题方法和规律，以对教学实践有所启发和改革；二是一切结论和认识都需经过实践证明，我们不应盲目地将分析所得的结论运用于教学实践，而是要结合校情、生情进行对比实践研究，从中寻找更加适合本校学生的教学方法，才能最终提高教育教学质量。这是研究各种竞赛真题、高考真题的意义所在。

参考文献

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［2］舒云水.一道平面几何竞赛题的进一步研究与拓展［J］.数学通讯，2021（19）.

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［4］徐胜林.2019年全国高中数学联赛A卷平面几何题的证法探究［J］.数学通讯，2019（20）.

［5］吴佐慧，高培盛.三角函数法在平面几何题中的应用［J］.数学通讯（教师阅读），2018（10）.

［6］吴文尧.平面几何问题的解题对策［J］.中学数学研究，2017（9）.

［7］张亚东.利用解析法证明平几问题受阻后的策略调整：2016年全国数学联赛加试平面几何题的解法探究［J］.数学教学，2017（6）.

［8］张鹄，吕建恒，广隶.2013年全国高中数学联合竞赛加试平面几何题新证［J］.中学数学教学参考（上旬），2013（12）.

作者简介：肖福流（1976— ），广西凌云人，博士研究生，高级教师，主要研究方向为学校管理、高中数学教学、高考数学备考；李和平（1976— ），广西凌云人，高级教师，主要研究方向为高中数学教学、高考数学备考；杨承翰（1990— ），广西乐业人，主要研究方向为高中数学教学、高考数学备考、高中数学联赛及高中物理奥林匹克竞赛。

（责编 蒙秀溪）