解答集合问题常出现的错误及其应对方法

董晓斌

集合是高中数学中的重要内容，有关集合的问题虽然较为简单，但极易出错.对此，笔者对解答集合问题中常出现的错误以及应对方法进行了总结，希望同学们能够引以为戒，走出解题误区.

一、错误理解集合中元素的意义

集合是由元素构成的.解答集合问题，需重点研究集合中的元素及其意义.集合中元素的意义往往与元素满足的条件息息相关，一般地，x 表示数轴上的点， （x，y） 表示平面中的点，（x，y，z）表示空间中的点.在解题时，若对集合中元素的意义理解不当，就会出错.

例1

错解：

上述解法之所以错误，是因为没有理解集合中元素的意义和属性.集合 M 中的元素是有序实数对 （x， y） ， 它代表的是一次函数 y = 5x + 2 的图象上所有的点，该集合属于点的集合；集合 N 中的元素是实数 y ，它代表的是二次函数 y = 2x 2 + 5 中函数值 y 的所有取值，該集合属于数的集合，由此可知集合 M 和 N 的交集应为空集.

正解：

集合中的元素可能表示函数的定义域，也可能表示函数的值域，还可能表示的是平面上的点.所以，在解答集合问题时，同学们不要草率动笔，要认真审读题目，准确理解元素的意义，明确集合的属性后，再去解题.

二、遗忘了空集

空集，是不含任何元素的集合.它兼具元素和集合的双重属性，是一个十分特别的集合.很多同学在解答集合问题时，受思维定势的影响，常常遗忘空集的存在，导致得到的答案不完整，出现错解.

例2

错解：

上述解答过程之所以出现错误，主要是忽略了空集，致使得出的答案不完整.在由已知条件 M ∪ N = N 推导出 M ?N 时，只注意到了 M = N 和 M ? ≠ N 这两种情况，却忽略了 M = ?的情况.

正解：

空集既是任何集合的子集，又是任何非空集合的真子集.当题目中出现 M ?N 、M ∩ N = ?、M ∪ N = M 或 N 等情况时，同学们要注意空集的特殊性，应首先考虑空集，从而确保答案的全面性和准确性.

三、忽略了集合中元素的互异性

在集合中，每一个元素都是各不相同的，这就是集合中元素的互异性.然而，在解答有关集合问题时，许多同学常常忽略了集合中元素的互异性，在求出参数的值后，没有及时进行检验，导致出现增解.

例3

错解：

上述解法错误的主要原因，是忽略了集合中元素的互异性.事实上，当 x = y = 1时，集合 A ={0，1，1} ，B = {1，1，0} ，集合 A、B 中有两个元素都为1，这显然与集合中元素的互异性相矛盾，所以 x = y ≠ 1.

正解：

互异性是集合中元素的一个重要性质.在求解含参集合问题时，同学们要特别注意对所求参数的值进行检验，若发现有相同的元素，则需根据集合中元素的互异性，舍去某个解.

在解答集合问题时，同学们既要灵活运用集合中的定义、运算法则等，又要谨慎，警惕一些易错点，避开陷阱，以提升解题的准确率.