一无所有并非一无所用

龚兵

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2014）24-0236-01

在集合的大家庭里，有一个重要的成员——空集。空集的定义是不含任何元素的集合。空集没有任何元素，而且又被称为空集，可以说是一无所有，那一无所有的空集是不是一无所用呢？当然不。

空集虽然没有内部的元素，但他却有集合的外衣。就像是一个装元素的袋子，袋子里虽是空的，而袋子是存在的。空集其实并不像白纸那样明了，忽略了这个一个所有的袋子那你很可能就已经掉进它的陷阱之中了。空集不含任何元素，却将它归为有限集的行列当中。 空集是任意集合的子集，按子集的定义是：每个属于的元素都在集合A中，虽然中没有元素，因而这条性质显得没有意义。但从另一个角度来说，中没有一个元素不在集合A中，所以也可以说空集是任何集合的子集了。这条性质的应用十分广泛，在做任何关于集合的题目时，都要谨防空集的出现。

例如下面这个题：

若集合A={x|x2-2x-15=0}，B={x|ax-3=0}，且A∩B=B，求实数a组成的集合C。

错解：由A={x|x2-2x-15=0}，

解得A={-3，5}.

因为A∩B=B，所以B包含于A，

从而B={-3}或B={5}。

当B={-3}时，

由a×（-3）-3=0，解的a=-1;

当B={5}时，

由a×5-3=0，解的a=3/5.

故由实数a组成的集合 C={-1，5}.

剖析：因为任何集合都有A∩ ==，所以错解又忽视了B=时的情况。

正解：由A={x|x2-2x-15=0}，

解得A={-3，5}.

当a=0时，ax-3=0无实数根，B=，满足题意

当a10时，

因为A∩B=B，所以B包含于A，

从而B={-3}或B={5}。

当B={-3}时，

由a×（-3）-3=0，解的a=-1;

当B={5}时，

由a×5-3=0，解的a=3/5.

所以，实数a组成的集合C={-1，0，3/5}。

这个题中空集的存在常常被忘掉，因此要小心空集设下的陷阱。

综上所述，空集并不像其名字那样空空如也，反而，它的内容丰富多彩。这些内容只有真正与空集接触时，感受才最真切。