说三道四话“空集”

2015-02-02裘家英虞关寿

理科考试研究·高中 2015年1期

裘家英虞关寿

进入高中学习，高中数学的第一个内容是集合，对于初学者来说，集合中“空集” 是较难理解的概念.在解决集合中有关问题时，特别是求参数范围时，常常由于少考虑到“空集”这个因素，使得问题的求解变得不完整，甚至出现错误.可以这样说这类问题的求解错误都是“空集”惹的祸 .

鉴于此笔者想对“空集”进行一番“说三道四”，望能起到“抛砖引玉”之功效.

一、“说三”：说一说空集概念的三个方面

一说空集的定义

教材上空集的定义是这样给的：我们把不含任何元素的集合叫做空集.按这个定义的意思，我们可以这样去理解：空集不是无，它是客观存在的，例如{x∈R|x2+x+1=0}是空集，{（x，y）|x2+y2<0}是空集，但它们的内部没有元素.这对我们初学者来说是一个难点.我们可将集合想象成一个装有元素的袋子，袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的.这种想法或许对我们理解空集有所帮助.

二说空集中的一个规定（性质）

在教材中有这样的一个规定：空集是任何集合的子集，即A，A为任一集合.按子集的定义，这个规定是说集合的每个元素都得属于A.对这个规定的理解，可从反证的角度去解释，若这个规定不真，那中至少有一个元素不在A中，由于中没有元素，也就是没有的元素不属于A了，从而得到的每个元素都属于A，即是A的子集.

三说空集的符号

我们用一个特定的符号来表示空集，这可要区别于{}、{0}、{空集}等符号.一般地，{}不是一个空集，它表示一个集合构成的集合;{0}不是一个空集，它表示一个数0的集合;{空集}也不是一个空集，它表示一句话“空集”的集合.表示空集的形式可以是数集的形式，也可以是点集的形式，也可以其它形式的集合给出，但本质都是空集.任何两个以不同特点形式给出的空集应认为是相等的.例如{x∈R|x2+1<0}={（x，y）|x2+y2+1<0}=.

例1 你认为下面两个集合有可能相等吗？若有可能请给出理由，并求实数a的值：

A={x|ax+1<0}， B={（x，y）|x2+y2<0}.

分析集合A是以数集的形式给出，集合B是以点集的形式给出，一般情况下它们是不可能相等的，只当这两个都是空集的情况下才能相等.观察到集合B是空集，所以当A=时才成立.容易知道当a=0时，A=B=.

例2 用符号“=、、”填空：

（1）{x|x+1=x-1}______{};

（2）{x∈R|x2+1=0}______

{（x，y）|x2+y2+2<0};

（3）______{};

（4）______{{1}，{2}，{1，2}，}.

解（1）因为{x|x+1=x-1}为空集，{}不是空集，所以应填.

（2）因为{x∈R|x2+1=0}是空集，{（x，y）|x2+y2+2<0}也是空集，所以应填=.

（3）因为{}不是空集，所以应填.