长程设计，贯通教学

刘正松　张文苑　刘艳

摘要：数学知识之间存在着普遍的联系，其中处于知识领域、知识序列、知识段落或知识单元起点位置的具有种子作用的核心知识，就是起点型核心知识。小学数学教学中，需要更科学、精准地确定起点型核心知识，尝试用抽象度分析法来分析知识间的抽象关系、逻辑关系，引入量化指标，即知识点的“三元指标”：相对抽象度、出度、入度。在这一理念指引下，《认识二分之一》一课实施，经历了长程设计，实现了贯通教学。

关键词：小学数学；起点型核心知识；长程设计；贯通教学；分数的意义

刘正松（江苏省南京市教学研究室）：刚才，我们一起观摩了孔令春老师执教的《认识二分之一》一课。接下来，欢迎各位参加今天的沙龙研讨。我们知道，数学知识之间存在着普遍的联系，其中处于知识领域、知识序列、知识段落或知识单元起点位置的具有种子作用的核心知识，就是起点型核心知识。当然，这只是一种感性的描述，不同的教师会有不同的理解。今天，孔老师以《认识二分之一》一课展现了其团队成员对起点型核心知识教学的实践与思考。那么，如何更科学、更精准地确定起点型核心知识？就以分数的意义的教学为例，谁能简单介绍一下？

张文苑（江苏省南京外国语学校青奥村小学）：我来说说我们的方法吧。从2008年开始，我参与小学数学核心知识教学的研究，至今已有14年时间了。开始，关于核心知识怎么判定，大家往往依靠经验，主观性、随意性较强；即便同一单元的知识点中，哪些是核心知识，大家常常会有一些争议。后来，我们团队成员一起研读了徐利治和郑毓信两位教授合著的《数学抽象方法与抽象度分析法》一书，尝试用抽象度分析法来分析知识间的抽象关系、逻辑关系，用量化指标来确定核心知识，使得核心知识的遴选从经验走向了科学。这个量化指标就是知识点的“三元指标”，即相对抽象度、出度、入度。以“分数的意义”为例，我们把现行小学数学教材中“分数”序列知识点梳理出来，将关联的知识点用有向线段连接。从某个知识点发出的有向线段的总数，就是它的出度；指向某个知识点的有向线段的总数，就是它的入度。出度是判断起点型核心知识的第一标准。在分数知识有向平面图（见图1）中，“分数的意义”这一知识点的出度是7（入度是1），其他知识点的出度都小于它，说明它是最基础的，处于这一知识体系的起点位置，所以我们将它确定为起点型核心知识。

刘正松：谢谢张校长！确实，借助知识有向平面图，我们可以将隐性的知识结构显性化，清晰地看到知识的出度、入度，从而精准确定起点型核心知识。厘清了起点型核心知识之后，如何实施教学是一线教师更为关心的问题，也更能彰显教师的教学智慧。请大家回顾一下，关于“分数的初步认识”这一内容，在过往教与学的过程中存在哪些典型的问题？

刘艳（江苏省南京市建邺区教师发展中心）：“分数的初步认识”教学中，最典型的问题在于，许多学生在认识一个物体的几分之一时，并没有真正理解分数的意义，或者说还停留于形式模仿的层面。到了认识一个整体的几分之一时，问题就充分暴露出来：学生眼里看到的是平均分的总数和每份的数量，而对平均分的份数和表示的份数视而不见，频繁出现诸如“把6个桃平均分成2份，每份是这盘桃的3/6”的差错。

李丹（江苏省南京市金陵中学实验小学）：刘老师说的这一点，我深有同感。学生对“把6个桃平均分成2份，3个桃是它的1/2”一时难以接受。

张文苑：此外，就目前学生的现实生活而言，他们用到分数的机会比较少，所以，分数的意义一直都是他們学习的难点。学生三年级初步认识分数时，都是基于具体图形或物体的，根据直观的图形或物体描述分数的意义相对而言比较简单；但到了六年级学习分数乘、除法实际问题时，没有了图形或物体的支撑，各种各样的问题就出现了。

赵晓燕（南京师范大学教师教育学院）：据我观察，教学中具体到分一个物体的时候，有部分学生认为，如果分的各部分形状不一样，就不是平均分。

孔令春（江苏省南京市金陵中学实验小学）：不仅如此，学生对“每份”的理解也不够透彻。很多学生只知道把一个整体平均分后，左边涂色的1份是它的几分之一；对不涂色的1份同样也是它的几分之一，思考得比较少。

刘正松：谢谢各位！刚才各位所说的问题都会给学生后续学习带来一些障碍和不必要的负担。今天这节课恰好在许多地方做了一些突破。请问孔老师：您在设计这节课之前预设的教学目标是什么？

孔令春：苏教版小学数学教材将“分数的初步认识”分为两次展开，分别是认识“一个物体”和“一些物体组成的一个整体”的几分之一以及几分之几。针对刚才大家说到的教学中存在的各种问题，我把两次认识进行了整合，这节课主要认识12。教学前，我拟定如下教学目标：一是结合具体情境初步认识12，知道把一个物体或一些物体平均分成2份，每份是它的12；能正确读、写12，知道其各部分的名称。二是经历12意义建构的过程，培养观察、操作、抽象、概括和表达等能力，积累数学活动经验，形成和发展数感、推理意识以及创新意识。三是感受数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣和信心。

刘正松：谢谢孔老师！对照孔老师确定的教学目标和今天的课堂教学，我们能清晰地感受到起点型核心知识教学所追求的“长程贯通”的教学理念。相信在磨课的过程中，大家一定有许多思考，也请大家来聊一聊。

李丹：我先来说说。分数是数概念的一次重要拓展，其内涵丰富，需要从多个维度去认识。以苏教版小学数学教材为例，在三年级上册，是把一个物体平均分来初步认识分数，在三年级下册，是把一些物体平均分来进一步认识分数；到了五年级下册，则再次系统地认识分数，概括分数的意义，探索分数的基本性质。回顾分数的认识过程，历经3年，确实分散了教学的难点，但每一次教学，感觉什么都讲了，又感觉什么也没讲好，割裂了分数的认识过程。这给学生造成一种错觉，那就是每次认识的分数又是一种新的情况，不利于学生从整体上把握分数的意义。基于此，我们尝试打破时间和空间上的壁垒，综合考虑学生的年龄特点与认知规律，对“分数的意义”这一序列知识的教学进行整体规划和长程设计。首先，将三年级上册和下册的两次认识整合为一次，在三年级下册展开教学。这次教学不区分一个物体和一些物体组成的一个整体这一分数的非本质属性，而引导学生将目光聚焦于分数意义的核心——“平均分的份数”和“表示的份数”。五年级下册再次认识分数时，也不是简单地一课时一课时地按照教材编排展开教学。我们在研读教材的基础上，对“分数的意义”“分数与除法的关系”“求一个数是另一个数的几分之几”和“真分数与假分数”等四课时内容重新规划，仍然分为四课时，但这四课时是从不同的视角再认分数：第一课时再次经历平均分的过程，从部分与整体的视角再认分数；第二课时建立分数和除法之间的联系，也就是从商的视角再认分数；第三课时通过分数单位的累加，从度量的视角再认分数；第四课时经历真实问题的解决过程，从比的视角再认分数。这样一来，学生可以从整体上把握分数的意义，为后续学习分数乘、除法及解决相关实际问题奠定坚实的基础。

刘正松：谢谢李主任！数学知识的学习绝不是一个个孤立的点，而是前后关联的一个整体。李主任介绍了“分数的意义”这一序列知识内容的重构：引导学生分两个阶段，从不同的维度认识分数的意义，并形成一个有机的整体。我理解这是对“长程贯通”理念中“长程设计”的生动解读，是单元整体教学设计的一个典型案例，那么，如何实现“贯通教学”呢？

刘艳：我来说说。回想我们曾经听过的“分数的初步认识（一）”的公开课，创设野餐情境后，从分食物开始，快速地分完4个苹果和2瓶矿泉水之后，教师就把重点放在1个蛋糕上。学生凭生活经验可以得到“把1个蛋糕平均分成2份，每人分得半个”这一结果，发现“半个”不能用之前学习的整数来表示，进而揭示二分之一。在以往的课堂中，分苹果和矿泉水只是引子，得到“2个”和“1瓶”就谢幕了。其实，分苹果和矿泉水的过程和分蛋糕是一致的，都是把它们平均分成2份，每人分得其中的1份，每人分得的都是这些食物的二分之一。但这些内容原来要到三年级下册才会学习，这给学生造成一种错觉——三年级上册学习的分数的意义和三年级下册学习的分数的意义是不同的。到了五年级下册再认分数的意义时却不再区分，而用单位“1”去统整平均分的对象。这样势必给学生带来分数的意义前后不一致的感觉，容易让学生关注分的物体。而分数表示“分率”时只和平均分的份数以及表示这样的几份有关，不需要看分的到底是一个物体还是一个整体。在这节课上，为了帮助学生形成一致性的认知，孔老师尝试把三年级上、下册分数的初步认识（一）和（二）打通，淡化对平均分的物体的感知，而突出三次平均分的相同之处，进而抽象出不管是把1个蛋糕平均分，还是把4个苹果、2瓶矿泉水平均分，只要平均分成2份，每份就是总数的二分之一。这样的贯通式教学，很好地凸显了分数的本质，使学生不再像之前那样，看到一个物体数份数，看到一些物体就数个数。今天我们看到的只是第一课时，重点认识二分之一，后续第二课时会延伸到认识几分之一，第三课时认识几分之几。通过这样的统整，学生会对分数的意义形成通透的认识。

刘正松：谢谢刘老师的分享。今天，学生对分数的认识是基于本质的，也就是关注“平均分的份数”和“表示的份数”。其实，之所以有些教师的教学给学生负担偏重的感觉，重要的原因之一是我们教给学生太多的方法，每节课都有新的知识。如此下来，学生不堪重负，逐渐丧失学习数学的兴趣。如果能把握知识本质进行贯通式教学，凸显方法的一致性，便能促进知识的创生和方法的迁移。这也是核心知识教学一贯的追求。聊到这儿，我想到一个课堂教学绕不开的话题，那就是：这样教学的效果究竟怎样？

李丹：在刚刚孔老师的课堂教学中，学生把8个正方体平均分成2份，很自然地表示出每份就是它们的二分之一。可见，学生对分数的意义掌握得很扎实。

刘艳：从今天学生的发言中，我们能感受到学生真正关注了分数意义的本质，也就是“平均分的份数”和“其中的每一份”。

孔令春：在学生自己举的例子中，比如把1条线段、50块橡皮、100颗糖平均分，可以看出学生已经能够理解分数的意义，也体会到了平均分对象的广泛性。

张文苑：一堂课的效果如何，关键要看学生。从本节课看，学生在课堂学习中兴趣浓厚，投入度高，参与度广，始终处于中心地位。但是，这样的观察和评价是定性的，带有主观性，量化的客观评价也应参与其中。

刘正松：是的，定性的分析沒有定量的分析客观。这节课上课前和上课后，赵晓燕博士收集了大量的数据。接下来，请赵博士为我们做精准的数据分析。

赵晓燕：由教师设计实施的课堂评价不仅能提供反映教学效果的证据，更能帮助教师细致了解学生的学习水平。本次教学安排前、后测，一方面，旨在揭示学生对在一节课中同时从“平均分一个物体”和“平均分一些物体”的角度理解分数的意义的接受程度；另一方面，聚焦回答教师最关心的疑问，即整体教学能否减少学生用分数表示“平均分一些物体”时只见“个数”、忽视“份数”的错误。

具体地，由于平均分是学生学习分数的意义的基础，前测8道题检测学生对平均分的理解。试题涉及集合模型（如图2）、长度模型（如图3）、面积模型（如图4），需要学生判断所给图形是否为平均分;如果是平均分，再填写平均分成多少份。针对面积模型，特别设置了各份大小相等但形状不同的情况，检测学生对平均分的理解水平。

后测试题以判断小明作业纸中的3道题的形式给出，具体内容如下：

小明做了一组题目，图5是他的作业纸。他做得正确吗？请你判断并说明理由。

所涉及的分数由课上学习的“二分之一”扩展至“几分之一”，从迁移的视角侧面反映学生对分数意义的认识。此外，其中2道题为集合模型，是希望和前测试题建立关联（对应关系如图6所示），以便更好地观察用分数表示“一些物体的平均分”时，多少学生会产生哪些困惑。

参与本次测试的学生分别来自10个班级，其中4个班级（155人）按照苏教版小学数学教材编排，上完三年级上册和三年级下册第一课时，另外6个班级（235人）由孔令春老师按照今天的设计展开教学。在日常教学中，我们通常根据题目的正确率获取信息作出判断，这里也先根据平均正确率进行分析。“原教学组”和“整体教学组”前、后测题目平均正确率见表1。根据前测数据，“原教学组”和“整体教学组”的表现基本相当，但涉及集合模型的前测第2和第5题差异较大，还需具体到学生水平深入分析；根据后测数据，“整体教学组”的表现更好。对比前、后测关联的两组题目， 由前测第2题和后测第1题的数据可知，“整体教学组”的表现更好；由前测第5题和后测第3题的数据可知，“原教学组”和“整体教学组”都出现了更高的错误率，但“整体教学组”的表现更好。当然，两组学生的表现差异是否具有统计学意义还需进一步分析。初步判断，我们可以看到学生可以很好地在一节课中同时从“平均分一个物体”和“平均分一些物体”的角度来理解分数的意义，学生整体学习二分之一后能够较自然地迁移到对其他分数单位的理解。

孔令春：我也参与了数据的收集和整理工作。在统计后测第3题时，发现“整体教学组”有部分学生解释：“虽然有2个梨涂色，但是把8个梨平均分成4份，涂色部分是这样的1份，所以涂色部分是总数的14。”可见，学生在分析问题的过程中既关注了“个数”，更突出了“份数”。

刘正松：谢谢赵博士专业的数据分析，给我们的研究又增添了一份底气;也谢谢孔老师精彩的课堂教学，让我们看到了分数认识教学的另一种可能。我们推崇的起点型核心知识教学只是一个载体，其终极目标是人的发展。这里的人，既包括每一位学生，也包括每一位老师。我相信，在这样的研究过程中，我们的老师和学生可以实现共同成长。最后，我用一句话结束今天的沙龙，也和所有参与研究的老师共勉：道阻且长，行则将至；行而不辍，未来可期。谢谢！