聚焦知识本质，建构分数意义

【编者按】 在江苏省中小学教学研究室组织的2022年江苏省小学数学课堂教学改革交流研讨活动中，魏光明小学数学特级教师工作室团队展示了“小学数学起点型核心知识长程教学探索”的相关成果：由孔令春老师执教的《认识二分之一》一课。本期《专题研究》栏目，呈现围绕这節课的教学思考、评析以及沙龙研讨。

摘要：分数的意义是小学数学重要的核心知识。分数的初步认识，特别是二分之一这个分数的认识，对学生建构分数的意义、理解分数的性质具有奠基作用。教学时，可将教材中“分数的初步认识（一）”和“分数的初步认识（二）”的教学内容进行结构化重组，引导学生聚焦知识本质，建构分数意义。

关键词：小学数学；知识本质；分数的意义；《认识二分之一》

分数是数概念的一次重要扩展，分数的意义是小学数学重要的核心知识。为了不断丰富和逐步加深学生对分数的理解，苏教版小学数学教材分三个阶段有层次地组织分数的意义的教学：第一个阶段安排在三年级上册，引导学生结合具体情境初步理解把一个物体或图形平均分成若干份，这样的一份或几份可以用分数表示；第二个阶段安排在三年级下册，引导学生结合具体情境经历把一些物体看作一个整体的过程，理解一个整体的几分之一和几分之几；第三个阶段安排在五年级下册，引导学生认识单位“1”，并以此为基础深化分数意义的理解，探究分数概念的外延。由此可见，分数的初步认识，特别是二分之一这个分数的认识，对学生建构分数的意义、理解分数的性质具有奠基作用。

在日常教学中我们发现：学生能正确地掌握平均分一个物体或图形，但是遇到把若干个物体看作一个整体平均分时，常常受到具体数量的干扰，误将“总数”等同于“平均分的份数”，把“每份的个数”当作“表示的份数”。追根溯源，是在学习“分数的初步认识（一）”时，平均分的对象的总数是1，此时分数作为具体个数的“量”和表示部分与相应整体关系的“率”是一致的，所以，学生常常忽视对两者加以区分和辨析。这样，学生就容易形成思维定式，从而在“分数的初步认识（二）”的学习中出现认知错误。实际上，无论是从学生的认知顺序还是知识的逻辑顺序来看，把一个物体或图形平均分与将一些物体或图形平均分两者之间是存在相同点的，作为无量纲的“率”的分数的意义也是一致的。

基于此，笔者将“分数的初步认识（一）”和“分数的初步认识（二）”的教学内容进行结构化重组，引导学生聚焦知识本质，建构分数意义。本节课的教学目标为：（1）结合具体情境初步认识二分之一，知道把一个物体或一些物体平均分成2份，每份是它的二分之一；能正确读、写二分之一，知道二分之一各部分的名称。（2）经历二分之一意义建构的过程，培养观察、操作、抽象、概括和表达等能力，积累数学活动经验，形成和发展数感、推理意识和创新意识。（3）感受数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣和信心。本课的教学环节如下：

一、解决问题，激活平均分物的经验

师（出示图1）周末，小明和小红在外野餐。仔细观察，他们带来了哪些食物？

生他们带来了2瓶矿泉水、1个蛋糕和4个苹果。

师你观察得很仔细。把这些食物分给2人，怎样分才公平？

生平均分。

师把4个苹果平均分给2人，小明分得几个？小红呢？谁愿意上台指一指、说一说？

生（边指边说）把4个苹果平均分给2人，小明分得2个，小红分得2个。

（教师相机板书“平均分”，并说明用虚线表示“平均分”，如图2所示。）

师（出示图3）接下来，把2瓶矿泉水、1个蛋糕平均分给2人，小明分得多少？小红呢？先在作业单的图上分一分、圈一圈，再填一填，完成后和同桌说一说。

（学生独立尝试、同桌交流后，教师组织交流，并根据学生发言画出表示平均分的虚线，完善板书。）

师把2瓶矿泉水、1个蛋糕平均分给2人，谁来展示？

生（边分边说）把2瓶矿泉水平均分给2人，小明分得1瓶，小红分得1瓶。

生（边分边说）把1个蛋糕平均分给2人，小明分得半个，小红分得半个。

通过创设学生熟悉的平均分物情境，让学生在分析和解决问题的过程中唤醒已有经验——平均分，为初步认识分数做好铺垫。这里选择了三种实物素材，既有一个物体，又有一些物体组成的一个整体。丰富的材料便于学生充分感知，进而从一个完整的视角建构分数的意义。同时，引导学生把动作表征和数学表达相结合，为接下来建构分数的意义预留通道。

二、引导比较，感悟二分之一的意义

师比较这几次平均分，它们有哪些相同的地方？

生都是把食物平均分成2份。

师是的。我们都是把一个（圈出1个蛋糕）或一些（依次圈出2瓶矿泉水、4个苹果）物体，平均分成2份（辅以手势）。

师（板书：2份）小明分得这样的几份？小红分得这样的几份？

生小明分得1份，小红也分得1份。

师（板书：1份）你能把这些相同点连起来说一说吗？先想一想，再和同桌说一说。

（学生同桌相互说后，教师指名几位学生反馈。）

生把一个物体平均分成2份，小明分得1份，小红分得1份。

生把一个或一些物体平均分成2份，小明分得1份，小红分得1份。

师把物体平均分成了2份，小明分得1份，小红也分得1份，我们还可以用12这个数表示。（板书：12）这个数读作“二分之一”。（板书：二分之一）一起读一读这个数。

生（齐）二分之一。

师（指着“12”）“2”和“1”我们早就认识了，现在两个数中间加上一条短横线再合起来，这个数表示什么意思呢？先大胆地猜一猜，再把你的想法和同桌说一说。

生把物体平均分成2份，分得1份，可以用12表示。

生把一个或一些物体平均分成2份，取其中的1份，可以用12表示。

师你们真不简单！把物体平均分成2份，表示这样的1份就用12表示。这个数怎么写呢？伸出小手，我们一起边想边写。平均分可以用短横线表示；“平均分成2份”的“2”，写在短横线下面；“表示这样的1份”的“1”，写在短横线上面。这里的短横线叫作“分数线”，“2”叫作“分母”，“1”叫作“分子”。这个数是一种新的数——分数。今天这节课，我们就一起认识12这个分数。

（相机板书：分数线、分母、分子、分数。）

通过比较几次平均分物的过程，让学生从相同点中感知分数概念的基本要素，即“平均分”“平均分的份数”和“表示的份数”。如此一来，便在具体的平均分物体操作与抽象的分数意义之间建立起联系，实现数的认识的飞跃。

三、结合实例，理解二分之一的意义

（教师用手势再现平均分物的过程，引导学生结合具体情境表述12的意义。）

师把4个苹果平均分成2份，小明分得的1份是它的12，那小红分得的1份是它的几分之几？

生把4个苹果平均分成2份，小红分得的1份也是它的12。

师把4个苹果平均分成2份，小明分得的1份是它的12，小红分得的1份也是它的12。我们就可以说，把4个苹果平均分成2份，每份是它的12。你能像這样，和你的同桌说一说吗？

（教师相机呈现表达支架，如图4所示。学生同桌交流后，教师指名反馈。）

把（）平均分成（）份，

每份是（）的（）（）。

生把4个苹果平均分成2份，每份是它的12。

师这里的“它”指的是什么？

生4个苹果。

（教师相机圈出4个苹果，并分别在每一份上标出12，如图5所示。）

师现在你能说一说2瓶矿泉水、1个蛋糕的12分别是怎样得到的吗？先自己想一想，再和同桌指一指、说一说。

（在学生同桌交流的基础上，教师组织集体反馈。学生边指边说，再在图上相应位置标出12。）

生把2瓶矿泉水平均分成2份，每份是它的12。

生把1个蛋糕平均分成2份，每份是它的12。

师“每份是它的12”，两句话里的两个“它”指的又是什么？

生第一个“它”指的是2瓶矿泉水，第二个“它”指的是1个蛋糕。

师把4个苹果、2瓶矿泉水、1个蛋糕平均分成2份，每份是它的12。我们还可以把1块巧克力、10支铅笔……平均分。谁还能举例说一说，可以把哪些物体平均分成2份，每份是它的12？

生把6块橡皮平均分成2份，每份是它的12。

生把100张纸平均分成2份，每份是它的12。

生把50个口罩平均分成2份，每份是它的12。

……

师正如大家所说，无论是什么物体，只要把它平均分成2份，每份就是它的12。

引导学生结合具体情境理解12的意义。先从示范“把4个苹果平均分成2份”入手，引导学生弄清楚小明分得的1份和小红分得的1份分别是这些苹果的12，从而理解“每份是它的12”，纠正仅把左边第1份当作“表示的1份”的认知偏差。接着，放手让学生在“平均分2瓶矿泉水”和“平均分1个蛋糕”的情境中进一步认识12。最后，引导学生自己举例可以把哪些物体平均分，体会被平均分对象的广泛性，进一步感知12的意义。

四、辨析说理，澄清二分之一的意义

师（出示图6）刚才我们认识了12，现在请你观察下面三幅图。哪幅图中的涂色部分可以用12表示？先自己想一想，再和同桌说说理由。

（学生独立思考、同桌讨论后，教师组织学生交流。）

生第一幅图中的涂色部分可以用12表示。把1个圆平均分成2份，涂色部分是这个圆的12。

生第二幅图中的涂色部分能用12表示。把4个三角形平均分成2份，每份都是它的12。

生第三幅图中的涂色部分不能用12表示。因为长方形虽然被分成2份，但不是平均分的。

师有道理。现在请同学们想一想：第一幅图是1个圆，第二幅图是4个三角形，平均分的物体个数不同，为什么都能用12表示？

生因为都是把物体平均分成2份，每份是它的12。

（其他学生纷纷点头表示赞同。）

教师提供的正例和反例，让学生在观察、比较、交流中进一步理解12的意义，化解学习中出现的迷思和错误。

五、多元表征，深化二分之一的意义

师想不想自己创造一个12？一起来读一读活动要求。

生（齐读）选一选。

师信封里有4种材料：一张正方形纸、一张长方形纸、6个小方块的集合图和8个小方块的集合图。每人选择一种材料。接着——

生（齐读）分一分。

师你可以折一折、分一分。接下来——

生（齐读）画一画。

师为了看得更加清楚，你可以用马克笔和直尺给创造出的12画上斜线。（相机给例题图中的2个苹果画上斜线）最后——

生（齐读）说一说。

师完成之后在小组内轮流介绍你的作品。弄清楚要求之后，同学们就可以开始自己想办法创造出一个12了。

（学生独立操作、小组交流后，教师组织小组汇报。）

生（展示作品，见图7）把一张正方形纸平均分成2份，每份是它的12。

生（展示作品，见图8）把一张长方形纸平均分成2份，每份是它的12。

生（展示作品，见图9）把6个小方块平均分成2份，每份是它的12。

生（展示作品，见图10）把8个小方块平均分成2份，每份是它的12。

生（展示作品，见图11）我有不同的想法：我斜着把正方形纸平均分成2份，每份也是它的12。

生（展示作品，见图12）我要补充：我把8个小方块横着平均分成2份，每份也是它的12。

师同学们画的都能用12表示吗？（指着图7和图11）先来看这两幅图，一幅图中涂色部分是长方形，另一幅图中涂色部分是三角形。涂色部分的形状不同，为什么都可以用12表示？

生因为都是把正方形纸平均分成2份，涂色部分是1份，所以都能用12表示。

（其他学生点头赞同。）

师（指着图9和图10）再来看这两幅作品，一幅图中涂色部分是3个小方块，另一幅图中涂色部分是4个小方块。涂色部分的个数不同，为什么都能用12表示？

生只要把物體平均分成2份，每份就能用12表示。

师看来同学们已经认识分数12了。

带着知识走向学生，教学是枯燥单调的；而带着学生走向知识，教学才会引发学生思考，促进其核心素养的发展。通过“创造一个12”的活动，引导学生在独立思考、动手操作、多元表征、多向比较中深化对12意义的理解，突破分数的意义建构的难点，同时培育创新意识。

六、拓展延伸，迁移其他分数的意义

师我们研究了一个物体、一个图形的12，也研究了一些物体、一些图形的12。这里还有3幅图，（出示图13）涂色部分可以用哪个分数表示呢？先想一想，再和你的同桌说一说。

生第一幅图，我觉得可以用13表示。把一个大三角形平均分成3份，每份是它的13。

生第二幅图是把4个圆形平均分成4份，涂色部分是这样的1份，可以用14表示。

生最后一幅图，我认为用210表示……

生我有不同意见。我认为应该用15表示。因为这幅图是把10个正方形平均分成5份，每份是它的15。

生我也认为用15表示。

生我也赞同用15表示。虽然正方形有10个，涂色的有2个，但是这里是把10个正方形平均分成5份，涂色的是1份，所以用15表示。

师同学们认为用哪个分数表示更好呢？

生（齐）15。

师同学们还能想到把哪些物体平均分成几份，每份是它的几分之几呢？

生把1条线段平均分成2份，每份是它的12。

生把50块橡皮平均分成5份，每份是它的15。

生把100颗糖平均分成10份，每份是它的110。

……

师同学们，今天我们一起认识了一个新朋友——12，知道了把一个或一些物体平均分成2份，每份是它的12。不仅如此，我们还认识了更多的“几分之一”。其实，分数还有很多有趣又有用的知识，老师期待着与你们继续探索与交流。

从12出发，引导学生利用已知的、一致的“理”——分数的意义，感悟几分之一的意义，实现知识迁移，形成相应的数感，发展推理意识。

*本文系全国教育科学“十三五”规划2020年度教育部重点课题“小学数学核心知识建构的教学研究”（批准号：DHA200370）的阶段性研究成果。