“描”出数形结合思想

黄力

【摘 要】“摆三角形的规律”是北师大版数学五年级上册“数学好玩”单元中“图形中的规律”一课的一个探索活动，旨在通过摆小棒的探索活动，让学生经历探索规律的全过程。五年级学生正处于从具体思维向抽象思维过渡的阶段，如何顺利把握知识的要点，提升思维层次显得尤为关键。本文通过教学实践阐释如何在教学中引导学生“描”出数形结合思想。

【关键词】数形结合 模型思想 探索规律

笔者通过对99个学生进行前测，发现大部分学生学习本课的知识储备较为丰富，基本可以不借助小棒画出图形并能够递推出算式。但小部分学生不能结合图形解释自己所得算式，同时对于已知小棒数量“逆推”求三角形数量这类问题，更是难以下手。因此，在设计本课时，笔者按照“提出问题—研究特例—探寻规律—解决问题”的思路进行设计，重点发掘学生在探索活动中的生成资源，利用“描”的方法，引导学生将图与算式中的数字一一对应，阐明自己的想法。同时，笔者通过引导学生总结摆出三角形的个数和小棒根数之间的关系表达式，帮助学生解决“逆推”问题这一难点。那么，如何“描”出数形结合思想，实现以上目标，让学生在课堂中实现深度学习呢？基于以上思考，笔者对“摆三角形的规律”一课进行了教学尝试与实践。

一、抢答游戏，激发学习欲望

【教学片段】

师：我们来做一道抢答题，谁知道答案可以马上举手！

抢答题1： ……照这样摆100个三角形，要几根小棒？

（大部分学生举手）

师：一起说！

生：300根小棒。

师：真聪明。（点名一个学生）你怎么算的？

生1：3×100=300。

师：（板书算式）谁来说说算式里的这三个数字表示什么？

生2：3代表摆一个三角形需要3根小棒，100代表摆100个这样的三角形，300就是像这样摆100个三角形需要300根小棒。

师：同意吗？

生：同意！

（板书：100 下面写“个数”，300下面写“根数”）

抢答题2：…… 照这样，摆100个连续的三角形要几根小棒？

（小部分同学激动地举手，教师点名几个学生表述想法）

生1：299根。

生2：201根，1+2×100=201根。

……

师：这几位同学说得对不对呢？这节课我们一起来探究摆三角形的规律。（先不对学生的回答展开处理，通过设疑的方式引出课题）

【教学思考】

作为“数学好玩”单元中的一课，教师要重视“好玩”二字。因此，在课堂导入环节，笔者通过抢答的方式，激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛。在抢答题1的讨论环节，笔者通过询问算式中数字的意思，让学生初步感知 “摆三角形的规律”旨在研究三角形个数与所需小棒根数之间的关系。而抢答题2的出现，不仅激发了学生探索规律的欲望，而且通过依次呈现这两种摆三角形的方式，为“摆了n个三角形，就重叠了（n-1）根”这种观察角度做好了铺垫。

二、动手操作，渗透数学思想

【教学片段】

师：为什么举手的速度比刚才慢？

生：问题难了，需要想想。

师：有一位著名的数学家说过，遇到难题时，我们要学会“退”。（板书：退）你知道这是什么意思吗？

生1：把三角形的个数改小一点，比如5个，看看有没有什么规律。

师：这想法真棒！还有吗？

生2：用小棒摆一下，数一数。

师：噢，你觉得可以动手摆一摆！

师（小结）：大家的想法很具体，对于研究这个问题也很有帮助，我们可以动手摆一摆、画一画、数一数，把三角形的个数改小，看能不能发现其中的规律。

师：课前，老师给每位同学准备了学习单，看看我们要做些什么。

（研究摆10个三角形）

画：画出摆成的图形。

数：数出所需小棒根数。

列：列出相应的算式。

写：结合图形和算式写出你的发现。

师：还有一点，如果你需要借助小棒摆一摆，可以从抽屉里拿出小棒；如果你不用摆就能画出图形，就可以不用，听明白了吗？

生：明白了！

【教学思考】

老子说：“天下难事，必作于易。”当学生解决难度较大的问题时，教师要引导、培养其“退”的数学思想，也就是华罗庚指出的：善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，退到我们容易看清问题的地方。摆100个三角形，有难度，但是可以从摆 1 个、2 个、3 个三角形想起，这是学生思维的起点，也是规律的源头，这个过程须“纵横有序”，让学生真正经历获取知识的过程并掌握方法。而在课前的测试调查中，大部分学生可以不借助小棒画出图形、列出算式。因此，在操作活动中，笔者给学生提供小棒，但不要求学生一定摆出来，而是根据自己的情况选择用或者不用。

三、分享交流，“描”出数形结合思想

【教学片段】

（在同桌互相交流自己的探索发现后，师生围绕三种不同的观察角度进行分析交流）

方法1：（1+2×10）

师：请你从上到下（纵），一行一行（横）地说，最后总结一下你发现的规律。（学生根據自己的学习单，详细展示了他所画的图形、列出的算式以及发现的规律）

师：你说得非常清晰，我们掌声鼓励她！

师：老师这里有一支红笔、一支绿笔，请大家思考一下怎样将刚才这位同学的想法，“描”在这个图形上？（见图1）

生：红色代表算式里的“1”，这里有一个“2”、两个“2”，有几个三角形就有几个“2”，所以10个就是“1+2×10=21（根）”。

师：红色代表“1”，这个“1”我可以描在其他位置吗？

生：可以，因为这根是多出来的，只要涂红一根就可以。

方法1：（1+2×10） 数量关系式

师：你能将算式和图形结合在一起理解，很了不起！

师：同学们互相讨论一下，能不能概括出“个数”和“根数”之间的关系？

（组织学生讨论）

生：我的想法是这样的，1是第一个三角形少的那一根，2是指后面摆的每个三角形要2根小棒。所以，1+个数×2=总根数。

师：大家明白他的意思吗？你真了不起，我们一起来看看是不是像他说的那样！（引导学生用代入法验证数量关系式）

方法2：（3×10-9）

师：我们再来看看这位同学的探究过程。谁和他的一样？

师：我们请他来给我们讲解一下！

生：单独来看，摆1个三角形需要3根，2个需要6根，重叠了一根。

师：重叠？什么意思？你能画图给我们讲解一下吗？

师：你们明白“重叠”是什么意思了吗？那为什么要减9？

生：因为摆10个三角形重叠了9根，所以减9。

师：真的是这样吗？你可以描一下吗？

生：像这样摆一个三角形需要3根，摆第2个三角形也需要3根，那么这一根被描了两次，所以要减1。（见图2）

师：哦，我明白了。2个三角形重叠了1根，3个三角形重叠了2根…… 所以10个三角形就重叠了9根。

师：你观察规律的角度真特别！

方法2：（3×10-9） 数量关系式

师：大家想想能不能概括出“个数”和“根数”之间的关系。

生：个数×3-（个数-1）=总根数。

方法3：（3+2×9）

师：老师和你们的想法不一样，我的算式是“3+2×9”，谁知道老师是怎么想的？

生：第一个三角形需要3根小棒，后面每增加一个三角形，只需2根小棒。（见图3）

师：大家明白他的意思吗？你真了不起，我们一起来结合表格看看是不是像他说的那样！

师：当三角形个数是1时，有几根小棒？（3根）当三角形个数是2时，有几根小棒？（5根）当三角形个数是3时，有几根小棒？（7根）

师：是不是像他说的那样，第一个三角形需要3根小棒，后面每增加一个三角形，只需要2根小棒。好，我们掌声谢谢这位同学。

方法3：（3+2×9） 数量关系式

师：想想能不能概括出“个数”和“根数”之间的关系。

生：3+2×（个数-1）=总根数。

【教学思考】

数形结合既是常用的数学思想方法，也是数学教学中帮助学生理解的主要手段。本课采用“描”图形的方式，现场动态演示，将几何直观与算式相结合，形象、生动地将学生的想法呈现出来，做到思维可视化。同时，笔者通过对三种不同方法的深入追问，引导学生把握每种角度的理解难点，如方法1——（1+2×10），关键是让学生理解“1”表示什么；而方法2——（3×10-9） ，重点则是让学生通过实物演示，理解重叠的含义以及重叠与“减1”的关系；方法3——（3+2×9），虽然是笔者提出来的，但解释权交给学生，而且要重点追问“9”是什么意思，将“9”和“个数-1”建立联系。

四、逆向应用，突出数量关系

【教学片段】

师：想不到摆三角形还能摆出这么多学问！接下来，请大家独立思考，解决这个问题（见图4），或许你对这三个数量关系式会有更深的理解。

想一想

像这样连续摆三角形 ……37根小棒可以摆出多少个三角形？（列出算式）

（动手吧）

（1）展示算式：（37-1）÷2=18（个）

关键提问：为什么要减1？请结合图说一说。

（2）展示算式：（37-3）÷2+1=18（个）

关键提问：为什么要减3？最后为什么要加1？

（鼓励其他学生对分享者提问）

【教学思考】

“摆三角形的规律”这一探索活动，主要是引导学生学习解决问题的方法（由特殊到一般的方法）和一种解决问题的策略（即“退”的策略）。从表面上看，本教学片段是要学生验证自己发现的规律的正确性，应用所发现的规律去解决问题，从而深化对规律的认识；实际上，这是一种逆向思维的训练。因此，教师要利用好之前的探究成果，结合图形以及数量关系式，通过学生质疑、提问的方式，帮助学生深入理解此類问题。

本节课的目的就是让学生经历“具体形象表示（摆、画小棒）—用数学语言描述（‘描图形、说算式）—用数学模型表示（数量关系式）—用模型加以应用（逆推问题）”这一过程，激发学生的探索欲望，给学生自主探究、动手实践的空间，利用学习单、“描”图形等方式，引导学生主动对自己的学习过程、学习材料以及探索发现等进行归纳、提升。