PCK在初中数学教学中的应用

邓启敏 齐进

［摘要］ 多面体知识是初中阶段数学重要的内容，集内容知识、教学知识和学生认知于一体。内容知识被定义为关于事实、概念、概念之间的关系和数学过程的知识，教学知识是指教师在组织多面体教学过程中的知识，而学生认知则是作为教师对学生在多面体学习方面错误的认识。通过记录教学过程和采访学生收集数据，对数据进行简化、分类和解释分析，结果表明，教师倾向于将概念和过程解释结合起来，通过提供立体支架模型和采用同学辅导来纠正错误并解决学生在多面体学习上的困难。

［关键词］ 初中数学；PCK；多面体；教学能力

教师在培养学生学习数学知识和技能掌握方面发挥着重要作用。教师履行其职责必须具备四种能力：教学能力、专业能力、人格能力和社会能力。这就需要教师充分了解学生；掌握课程和教材；掌握能够组织教育学习，包括学习的计划和实施、学习过程和结果的评估、学习改进的后续行动；以可持续的方式发展个性和专业精神。这与学科教学知识（Pedagogical Content Knowledge，PCK）的内涵相符，是学生成绩提高的关键因素之一。可见，教师需要掌握教学内容和有效的表达方式，并解释学生的思维，使他们更好地理解教学内容。PCK是一种教师理解学生认知的方法，其被定义为教师运用自身数学知识展开数学主题并以学生成功学习数学的方式呈现内容的能力。因此，教师应注重PCK的发展与教学应用，以加强学生的理解，减少学生在学习中的困难、错误和误解。

一、研究方法

本研究旨在开发一个基于“PCK”的数学指导模型，此模型包括四个阶段：（1）初始评估阶段；（2）设计阶段；（3）测试、评估和修订阶段；（4）实施阶段。本文重点介绍八年级数学教师在多面体学习中PCK的发展情况，记录学生的学习活动和访谈数据。本研究囊括了两节多面体教学课记录内容。来自数学教育项目的研究人员和五名讲师直接参与了数据收集，并反复观察教学视频，然后进行转录。数据分析采用定性分析，包括归纳、分类、解释和得出结论。本研究中PCK的考核组成部分包括教师对多面体的知识、教师对多面体知识学习的教学方法、教师对克服学生在多面体方面的困难和错误的知识。

二、教学过程

八年级数学教师关于多面体的PCK包括多面体知识、教学方法和学生的知识。第1课的主题是发现立方体和矩形的表面积公式，而第2课是找到棱柱的表面积公式，下一节课介绍了上一节课总结的学习成果。

（一）第1课

主题知识。在课程开始时，教师没有直接解释与立方体和矩形相关的事实，而是通过示例和问题来引导学生构建立方体和长方体中术语的定义，例如边和面。教师总是将立方体/长方体的概念与先决材料，即平面几何（正方形和矩形）联系起来。此外，通过将立方体/长方体的几何形状与学生熟悉的具体物体（如橱柜和鞋盒）的形式进行类比，解释了概念之间的联系。在课堂上，教师还询问了正方形面积计算公式（面积＝边长2），长方形的面积计算公式（面积=长×宽），然后把它们正确地写在黑板上。然而，有一个术语仍然很难被学生理解，即一致性术语，因为在八年级它还没有被教过。所以，教师使用了另一个全等替换项，即形状和大小相同的两个平面几何体。另一方面，数学教学过程中被用来找出立方体/长方体的表面积公式，这些公式已经写在课本中得到呈現。

教学方法。实现学习目标的步骤：教师传达对平面几何领域的感知；提出课程目标；通过视频显示立方体和长方体；向每组学生分发试题；指导每个小组学生在作业本上完成；请一组学生解释解题思路，并一起验证结论。立方体和长方体的广义概念是通过动画视频形式来表示的。动画视频由网络制作和纸板制成的立方体/长方体混合组成。使用这两种方法旨在给学生呈现立方体/长方体的空间思维过程，并通过计算多面体总面积，期望学生理解多面体面积计算的过程。在学习实施的过程中，信息传递阶段使用了现实和网络虚拟相结合的方式。多面体核心知识学习中使用了具体的教学模型，通过与每组学生共享视频和模具，鼓励他们成为积极的学习者。学生对立体多面体的切割、换算等来掌握抽象的几何知识。在具体的教学过程中，教师并没有解释黑板上的几何题型，而是指示每个学生研究立方体模型。然而，并不是所有学生都能达到预期的结果。于此，教师对有困难的学生采用教学立体模具教学技术提供有效帮助，教师的角色仍然占主导地位。然而，主导教学也存在一些弊端，有的学生不习惯独立思考，一味地等待教师教学。因而，主动教学和被动教学相结合的方式是PCK的重要组成部分，虽然这个教学过程耗时超过预期，但是对学生全面掌握数学知识至关重要。

学生的知识。通过提出几个与立方体/长方体特征相关的问题，教师了解、把握学生的背景知识，包括边的数量、顶点、面、正方形和矩形的面积，并要求他们在现实中模拟类似立方体/长方体的物体，以便能够区分两者的特征。当学生难以回答上述问题时，教师通过教学模具展示立方体/长方体模型来指导学生，并演示如何在每组中打开立方体/长方体空间结构。此外，当学生将边棱误认为是面时，也会对多面体产生误解。为了克服这个问题，教师需要重新解释正方形作为平面几何体与立方体作为多面体的区别。对于正方形，边界称为边；而对于立方体，面是由四条边围成的平面。对学生来说，另一个具有挑战性的概念是将长方体/立方体的每个面公式转换为表面积公式。学生往往只能计算每条边的大小，然后将其相乘，而没有成功地将其写成代数形式（体积=长×宽×高）。除了这些教学困难之外，还有一种误解，学生提到风筝是正方形、三角形是多面体等。这发生在学生日常感知的过程中，需要教师为每个有这种误解的学生加以解释。此外，教师在教学过程中也免不了需要激励那些看起来缺乏激情的学生。

（二）第2课

主题知识。教师在给学生介绍平面几何图形（如正方形和三角形）时，在课堂上可以通过实物展示的方式给学生介绍课本中的边和角等概念，这样使得抽象的概念具体化。对于概念之间的关系，教师将棱柱底座的形状与特定的平面几何形状联系起来。如果棱柱底座是方形的，则称为矩形/方形棱柱，类似于三角形底座的情况。教师还在黑板上写下一些平面几何的通式和周长，这些平面几何可以作为学习棱柱空间图形的基础，例如正方形的面积和周长、三角形的面积和周长。为了将概念和公式联系起来，教师还需要给学生解释与阐明棱柱形表面积公式有关的数学推算过程；学生首先确定基准面积和棱盖（顶部基座）的面积，然后发现棱镜垂直面的面积，并将三者相加。

教学方法。教师的教学步骤与课程设计一致，从感知平面几何、面积和周长的几种形式开始，传达学习目标，简要解释棱柱的表面积，将相关章节的考试题分发给每个小组，与学生一起解决，要求其中一个小组展示他们的试题演算过程，并确认结论。解题时，教师倾向于直接分析学生在考题中的内容和一些惯犯的错误。通过三角棱柱的纸板解释棱镜的表面积，教师先计算每个面的面积，然后将每个面的面积相加，以获得棱柱的总表面积。在多面体教学之初，教师还给出了一些平面几何的例子，如三角形、正方形，以及如何确定正方形面积、三角形高度和三角形面积。教师将例子写在黑板上，然后向学生解释。除了例题外，教师还为学生分配单独的任务来解决多面体问题。为了让学生充分参与到数学课题活动中，需要鼓励学生提问。在这种情况下，教师随机选择学生，从他们那里获得一些学习多面体的常见问题。对于接受能力强的学生，要求他们帮助那些接受能力较弱的同学。在评价方面，虽然没有使用评价工具，但总的来说，教师通常是通过对积极提出问题的学生给予赞扬和掌声，以奖励他们提供了正确的答案。

学生的知识。通过学生对正方形面积、三角形高度和三角形面积的感知，教师可以发现学生的初始知识。也许没有多少学生能记住，教师需要重新解释如何确定正方形面积、三角形高度和三角形面积。当学生遇到困难时，可以通过简单的例子（支架）引导他们，并慢慢减少帮助量，直到学生能够独立解决问题。在教学规划过程中，教师需要描述几何图形中任何可能的困难、错误和误解，例如，学生很难将棱柱的表面积转化成代数形式一样，确定棱镜网络中每个面的总和时的错误，以及基于不同棱柱位置对棱柱的误解。为了克服这些问题，教师需要针对不同学生轮流纠正其错误概念。而由于学生的高度热情和好奇心，或许教师需要反复执行这个过程，向每位学生解释相同的事情。

三、结果讨论

初中八年级多面体教学内容分为三类：事实知识、概念知识和解题過程知识。事实知识由与多面体相关的事实和数学符号表示，在本课程中准确呈现。为了准确解释概念知识及其与数学概念之间的关系，教师需要将平面几何和多面体的概念恰当地结合起来，很好地定义正方形、矩形和三角形的面积等数学公式，系统地解释与多面体相关的数学概念。解题过程知识是指对数学事实和概念及其关系的知识。主题知识一般分为两类——概念知识和解题过程知识，程序知识包括将某些数学概念与其他概念联系起来，并解释某些数学过程的根本原因。教师应了解数学的概念、解题过程和结论，以及解题过程中出现的常见错误，从而提高学生对概念的理解。

数学学习策略包括教师在数学学习中采用适当的数学活动能力、在数学学习中使用现实生活中的例子和类比、在表达中采用不同学习策略的能力，以及在数学学习中使用不同表征的能力。仅仅掌握教材不足以达到预期的学习目标，教师还应能够以学生易于理解的方式教授教材。教师的学习组织通过使用发现方法来展示，包括使用操作表和几何试题引导学生发现立方体、长方体和棱柱体的表面积公式；通过将本课与前一课联系起来，了解学生对上一节课内容知识的掌握情况。此外，教师让学生参与学习，让他们有机会找到立方体、长方体和棱柱体的表面积公式。学生的主动学习过程与教师的探究性教学是密不可分的，教师使用的课堂策略是在课堂上为学生提供几何支架模型，通过绩效评估学生学习过程。可见，教师需要有不同的知识和技能，以计划和实施旨在增进学生理解的学习策略。

一般情况下，教师对学生学习多面体的认识分为两类：对学生学习困难的认识、如何克服困难。根据每个学时相同的问题，教师获得了关于学生困难的信息，通过提出待研究的数学几何问题，探索学生的初始认知；用简单的类比和应用支架模型技术，克服学生的错误、困难和误解。教师必须认识到可能会给学生带来的几何问题，并有能力解决学生在教材方面面临的问题。此外，教师还要确认一个试题解决方案是正确的，并解释为什么它是正确的。

这项研究表明，PCK在学习中是重要的和必要的（包括在八年级教学多面体相关知识）。PCK是教师有关多面体的知识与学生的知识相结合的具体体现，对学习组织中的教师教学会产生重要影响。学生认知知识既需要教材知识，也需要教学知识。

［本文系兰州市教师个人课题“基于数学活动的初中数学教学策略研究”（项目编号：LZ〔2021〕GR00XXX0678）研究成果］

［参考文献］

［1］刘思敏.学科教学知识（PCK）的研究综述[J].文教资料，2013（34）：2.

［2］Yan-Hui X U. Structure and Features about Middle School Students’Perceptions of Mathematics Teachers’PCK[J].Journal of Mathematics Education，2014.

［3］S Canbazoglu，Demirelli H，Kavak N. Investigation of the Relationship between Pre-service Science Teachers’Subject Matter Knowledge and Pedagogical Content Knowledge regarding the Particulate Nature of Matter[J].ilkogretim online，2010（1）：275-291.

［4］Aksu Z，Kul M. Exploring Mathematics Teachers’Pedagogical Content Knowledge in the Context of Knowledge of Students[J]. Journal of Education and Practice，2016，7.

邓启敏   甘肃省兰州市海亮实验学校。

齐 进   兰州大学校聘副教授，硕士生导师。