“数学画”教学的理论依据和目标导向

陈昱　何玉聪

摘   要：根据皮亚杰认知发展阶段理论，小学阶段的学生正处于前运算阶段和具体运算阶段，他们习惯于凭借具体的事物或形象理解逻辑关系，学习抽象的数学知识对他们来说具有一定的难度。基于此，教师利用“数学画”教学，将抽象的数学知识图示化，是提高学生学习质量的重要方式。本文从理论依据和目标导向两个层面出发，阐述了“数学画”教学的价值。

关键词：“数学画”教学   数形结合   数学育人

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。小学阶段的学生以形象思维为主的认知特点，决定了教师的教学也应形象、具体、实用。从这个层面出发，笔者探究了将抽象数学知识图示化的“数学画”教学。本文从“数学画”教学的理论依据和目标导向两个层面出发，以具体案例为切入点，研究了“数学画”教学的价值。

一、数形结合思想是“数学画”教学的理论依据

小学数学以研究数量关系和空间形式为主，逻辑严密，且具有高度的抽象性。皮亚杰认知发展阶段理论表明，小学阶段的学生受年龄、生活经验和认知发展水平的限制，抽象逻辑思维能力尚处在发展的初期阶段，学习抽象数学知识的难度较大。换言之，在小学数学教学中，教师面临的主要矛盾是：小学生较弱的抽象逻辑思维能力与数学学科知识高度的抽象性和严密的逻辑性之间的矛盾。那么，教师如何引导小学生学好数学呢？

“数”与“形”是数学的基本研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合思想就是通过“数”与“形”之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想。数形结合思想的应用大致可分为两种情形，即“以数解形”和“以形助数”。在小学数学教学中，数形结合思想的应用非常普遍，主要包括数轴和平面直角坐标系、统计图表和几何概念模型、用代数方法解决几何问题等。

在长期的教学实践中，笔者摸索到一条解决问题的途径，那就是回到数学的研究对象——数量关系和空间形式，利用数形结合思想，聚焦“数”与“形”的关系，引导学生用直观的“形”表征抽象的“数”，这就是“数学画”教学的基本理论依据。“数学画”教学能实现由“数学画”到“数学化” 的自然而有效的过渡，不仅可以帮助学生理解数学概念、解决数学问题、发展数学思维，还可以发展学生的抽象逻辑思维能力。

二、“以形象表征抽象”是“数学画”教学的目标导向

“数学画”教学主要依靠数学知识之间的数形关系，聚焦学生数学学科核心素养的培育，开展具有形象化、直观化、综合性的教学，从而沟通数学与生活的联系，发挥数学教学的实用价值。因此，“以形象表征抽象”既是“数学画”教学的基本特点，也是其目标导向，更是发展学生数学学科核心素养的重要方式。

（一）“以形象表征抽象”的典型模式

数学知识是抽象的，数学思维是内隐的。学习数学知识必然要表征数学，才能由具象入手，深入理解抽象的数学知识。“以形象表征抽象”也就是“用形象理解抽象”。关于“表征”，主要有以下两种典型模式。

第一种是布鲁纳提出的表征模式。布鲁纳以儿童思维活动依赖外在刺激的程度来判定儿童心智的成长水平，用动作、图像和符号三种表征来代表思维活动的不同程度，这是一种线性的思维活动。他认为儿童获得数学概念的过程是从动作表征过渡到图像表征，最后到抽象思考的线性过程。在动作表征中，儿童的思维必须借助实物或实际操作活动来达成；在图像表征中，当实物消失时，兒童能依据头脑中实物的影像，进行内在的思维活动；在符号表征中，儿童则能直接对数学符号进行思维操作。布鲁纳的表征模式强调学生的认知水平，以及与之相配套的数学学习心理过程。

第二种是莱什提出的表征模式。莱什将布鲁纳的动作、图像、符号表征的线性思维活动修正为平面网状式的互动发展，提出数学学习的五种表征：实际情境、图像、操作、口语符号、书写符号，认为数学学习要拓宽广度才能提升深度。这种表征模式强调的是表征形式的多元并存和相互转换，更多的是从数学理解的角度出发，认为不同的表征形式可以反映不同的思维水平。

（二）“以形象表征抽象”的可行性

在小学阶段，教师为了提升抽象数学教学的效率，需要在“形象”上下功夫，引导学生经“形象”到“抽象”，并超越“抽象”，达成数学深度学习的目标。对此，在数学教学中，“数学画”教学这种“以形象表征抽象”的教学方式具有充分的可行性。

首先，“数学画”教学以形象为主，而小学阶段的学生处于以形象思维为主，逐渐向抽象逻辑思维发展的阶段，“数学画”教学契合小学生的认知特点，能激发他们学习数学的兴趣。然而教师需要明确，“数学画”只是一种手段，“思维”和“创新”才是目的，也是培养学生数学学科核心素养的关键，“数学画”教学要根据学生思维发展的特点，分阶段开展。

例如，低年级的“数学画”教学要聚焦“怎么画”的问题，重在引导学生掌握“画”数学知识的方法，使学生通过实践操作活动，建立一定的数学知识结构；中年级的“数学画”教学要围绕“怎么想”的问题展开，重在引导学生探究多元化的“画”数学的方法，发展学生的多元思维能力；高年级的“数学画”教学则要紧扣“怎么创新”的问题，重视学生创新意识与能力的培养。“数学画”教学要始终包含画图、思维、创新等要素，在不同阶段根据实际学习内容与学生的认知特点确定重点。

其次，“数学画”教学是一种“做数学”的过程，强调学生的主体参与，重在引导学生经历知识形成或问题解决的过程。就“画图”本身而言，画图既是手段也是目的。因此，“数学画”教学是图像表征和动作表征的统一。在“数学画”教学中，“画图”不是孤立存在的，而是以“画图”为载体，融合多元表征，形成多维度、多链接的网状学习场域，共同指向数学学科育人目标。

最后，从数学学科核心素养培育的角度来看，就“数学画”作品本身而言，其能承载的教育价值也是多方面的。第一，在绘画过程中，学生能直观观察和感悟数量关系、理解数的内涵、建立一定的数感；第二，在学习“数学画”的过程中，学生能通过线段、图形等画面元素，直观感知数学知识，建立一定的量感；第三，在“数学画”的实践操作过程中，学生能厘清“形”与“数”的关系，并构建数学问题的直观模型，从而学会利用图形分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路。

总之，“数学画”教学是一种基于数形结合思想的教学方式，致力于引导学生“用形象表征抽象”，使学生在趣味性、直观化、实践性的数学学习活动中发展抽象逻辑思维能力与数形结合思想。在“数学画”教学过程中，学生能从形象联想到抽象，从直观的角度厘清数学知识中涉及的“数”与“形”的关系，从而深化对数学知识的认知。

参考文献：

[1]侯惠娟. 多元表征视角下有理数探究式教学研究[D].厦门：集美大学，2021.

[2]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014：65-69.

[3]管尤跃.小学数学问题解决图示法教学实践研究[M].上海：华东师范大学出版社，2020：82.

（作者单位：安徽省合肥市南门小学上派分校）

本文系安徽省教育科学研究项目“基于学习路径分析的小学高年级‘数学画’教学实践研究”（立项编号：JK21075）的阶段性研究成果。