基于HPM视角的等比数列前n项和教学设计探讨

刘学民

发现等差数列求和的规律不难，学生也较容易理解，但是等比数列求和公式的推导有一定难度。目前，我国绝大多数高中和中职教材的推导方法都是技巧性很强的“错位相减法”，这个方法需要在求和等式的两边同时乘以公比q，那么为什么要乘以公比q？乘以其他数可不可以？这些问题的答案往往是教材和教师直接“告知”的，学生没有按照层层递进、知识建构的方式得到求和公式及推导方法，这样就产生了思维断层。学生既难以深透掌握公式，又难以提高探索能力。HPM（History and Pedagogy of Mathematics）视角是在数学教育中，通过数学历史的运用提高教育水平。研究发现，在本章教学中，如能基于HPM 视角，对教学内容再整合、教学方式再设计，教学效果就会明显不同。

一、前期准备

首先，分析学情、教材，确定教学目标。本节课程的主要难点在于学生很容易把等比数列前n 项和与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，其中有积极因素，可因势导利，但二者求和公式的推导有本质不同，这就要求学生突破原有思维的束缚。另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其在使用过程中容易出错。

其次，查找相关史料。信息技术的发展为师生快速准确查找相关图片、视频、史料提供了极大方便，节约了大量时间和资源，使HPM理念的实践具有可行性。经仔细筛选，所使用的史料如下：

1.公元前3000年成书的苏美尔计数泥版（编号MS3047）背面刻录的5个简单数序列，构成了一个等比数列，这可能是迄今为止发现最早的等比数列。

2.约公元前1700年，巴比伦泥版上的问题：以20%的年息贷钱给人，何时连本带利翻一番?

3.公元前1650年，埃及纸草上僧侣文记录的问题：有房七间，每间有猫七只，每只猫每日食鼠七只，每鼠每日食麦穗七株，每株麦穗含麦七粒。问房屋、猫、老鼠、麦穗、麦子总和多少?

4.13 世纪初，意大利数学家斐波那契(1170～1250)在《计算之书》中的问题：“七妇去罗马，每妇牵七骡，每骡负七袋，每袋装七块面包，每块面包配有七把小刀，每把小刀配有七个刀鞘，问妇女、骡子、面包、刀、鞘各多少？”

5.公元4世纪左右的《孙子算经》（卷下）有一名题：“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何?”[1]

二、教学方式选择

1.以重构式为主。HPM 视角下数学教学方式有多种，如重构、点缀、附加等，等比数列求和方式的探索在数学史有浓墨重彩的一笔，从古代贯穿至近代，在教学中，需要结合其发展历史重构教学内容，故此项教学以重构为主要方式，其他方法如点缀式、附加式、复制式、顺应式等在教学中也有所体现。

2.采用支架式教学方式。具体流程是：首先，教师搭“脚手架”，遵循最近发展区理论建立概念框架，可以运用累加法、因式分解公式、错位相减法等。其次，创设情境，复习回顾等比数列，列举古文明中的等比数列最终都会归结于求和，并提出问题，利用古印度中的国际象棋问题启发学生思考，激发兴趣，让他们了解等比数列问题历史悠久。通过与等差数列的比较、复述概念等方法让学生进一步掌握等比数列的内涵与外延，接着进入等比数列求和公式的推导阶段。再次，通过新增更多的求和方法，如拼凑法、因式分解法、比例法、解方程法、错位相减法等，启发学生逐步深入推导，把等比数列求和公式学深学透。并在教学中引入相关史料，如埃及《莱茵德纸草书》上记录埃及人用递推法推演等比数列求和公式的过程，[2]欧几里得《几何原本》第九卷命题35的证明方法，[3]让学生尝试运用前人的方法推导等比数列求和公式，特别是多种方法的比较，提升其数学思维能力。最后，让学生思考：公式中存在的是q ≠1，如果q=1，那这个等比数列求和公式又会出现什么样的情形？结合独立探究与合作学习的方法，在共享集体思维成果的基础上达到对所学概念比较全面、正确的理解，最终完成对所学知识的意义建构。[4]

三、HPM视角下的教学策略

数学是逻辑严密、抽象、简洁的一门学科，但有很多学生并不喜欢数学，他们认为数学只是定理和计算，抽象、深奥、枯燥、刻板，是数学家玩的智力游戏。教师在教学中有责任和义务激发学生学习数学的兴趣，使他们变被动学习为主动、快乐的学习。HPM 理念提供了一个新视角，注重数学知识的历史文化向度，借鉴数学发展的历史顺序，消除学生逻辑证明的枯燥感，让他们体验知识的形成过程，享受数学发现的乐趣。

（一）复习等比数列，陈述古文明相关记载

教师运用信息技术展示古代文明记载的等比数列相关图片、视频及资料说明，从两河流域神秘的楔形文字到恒河流域深奥的吠陀梵文，从埃及《莱茵德纸草书》记载的财产之和到齐鲁大地惠子与墨子的尺棰取半之争，等比数列的悠久历史从古代四大文明中可见一斑。随着数学的发展，等比数列的概念不断完善，知识不断丰富，成为刻画现实世界的一类函数模型。[5]教学中，教师可以先让学生写出以上古代记载的等比数列的首项、公比及通项公式，再引导他们发现这些历史记载，最后归结于求它们的总和。

（二）联系历史和生活创设情境，引入新课

片段1：播放一段拉面师傅做拉面的视频，吸引学生注意力的同时，介绍中国独特的饮食文化。教师就此视频提问：拉面师傅将一根很粗的面条拉伸、捏合，如此反复几次，就拉成了很多根细面条，多数师傅拉伸8次，手艺高超的能拉伸10次，此时的面条细如发丝，经过8次和10次分别可以拉伸出多少根面条？

片段2：视频展示国际象棋相关资料，通过国际象棋具有数学文化背境的故事调动学习的积极性。在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，印度国王大为赞赏，并许诺可以满足他的任何要求。西萨说：请在棋盘的64 个方格上，第一格放1 粒小麦，第二格放2 粒，第三格放4 粒，后面每一格都是前一格的两倍，直至第64 格。国王令人按西萨的要求去做，结果让他大吃一惊。教师提问：为什么国王如此吃惊？你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？并引导学生写出麦粒总数，即求等比数列的前n 项和。这个故事流传广泛、颇具吸引力，很多国家的教材都通过它引入等比数列求和。

（三）逐步深化问题，引导学生推导公式

为了能让学生自主推导出等比数列求和公式，教师设计了几个层层递进的问题。

问题1：等比数列求和能不能借鉴等差数列的求和方式？S64=1+2+22+23+……+263，我们应采用什么方法计算？

问题2：借鉴等差数列求和的方法推理等比数列求和公式，属于什么推理模式？是否科学准确？

问题3：教师启发提示，因等比数列每一项都是前一项的两倍，如果把S64=1+2+4+8+……+263变形为1+1+2+4+8+……+263-1，逐项相加会有什么发现？

学生得到：1+1=2，2+2=22，22+22=23，发现首项加上1后，每前两项相加都会等于后一项，这样中间的计算过程都可以忽略。

解决问题3后，让学生总结公比为2的等比数列求和方法。通过在求和式子最前面加上一个首项，并在末尾减去它，其和不变，这样拼凑出前两项和等于后一项，教师步步深入，趁热打铁，并抛出以下问题。

问题4：如果公比不是2，那该怎么计算？如我国古代著名思想家庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”10天一共能截取多少？50、100天又能截取多少？

问题5：公比是3的等比数列能不能用拼凑法求和？比如S10=1+3+32+33+……+39，应怎样计算？

教师可以提示：我们的目标是把数列各项拼凑成能按一定规律连续相加，试试在前面加上，最后减去。单独的一个例题学生很难发现规律，为了让学生找到拼凑数与公比的关系，教师继续举例并提问。

问题6：公比为4 的等比数列，S10=1+4+42+43+……+49，应该拼凑哪个数？若公比推广到q，应怎样拼凑？

通过一系列的引导、启发，教师很自然地提出本节学习的终极问题。

问题7：如果把这个等比数列换成一般等比数列，前n项求和公式应该是什么？

学生导出：如果{an}的公比为q（q≠1）则

苏联心理学家维果斯基提出，教师要把握学生的两种水平，一是学生现有的发展水平，二是通过他人的启发、引导、指导和帮助可以达到更高层次解决问题的水平，这两种水平的差距就是“最近发展区”。教师应对学生的认知水平有清晰的认识，着眼于他们的最近发展区，引导学生达到潜在的发展水平，同时创造新的最近发展区。教师应为学习者建构对知识的理解的概念框架，框架中的概念能帮助学习者进一步理解问题，为此，应先把复杂的学习任务加以分解，便于把学习者的理解逐步引向深入。因此，在教学中，首先设计首项为1、公比为2的等比数列相加，引导学生解决后，再提出首项为1、公比为1/2的等比数列如何求和，进而在首项不变的情况下，把公比变为3、4等，启发学生思维，引导其发现规律，得到公比为q、首项为1 的等比数列求和方法，最后将首项修改为一般常数，进而推导出等比数列求和公式。此教学设计从简单到复杂、特殊到一般，层层递进、步步深入、水到渠成，促进学生数学思维能力的发展，提高其解决问题的能力，达到了较好的教学效果。

（四）沿着历史足迹，探求等比数列求和方式的发展

复习初中所学因式分解公式：a3-1=（a-1）（a2+a+1），a4-1=（a-1）（a3+a2+a+1）

问题1：以这两个公式为基础类推，a5-1 如何分解？推至一般情况，an-1（n∈N+）如何分解？从中能得到什么启示？

学生得到a5-1=（a-1）（a4+a3+a2+a+1），an-1=（a-1）（an-1+……+a2+a+1），发现上面的式子可变形为，这是公比为a，首项为1的等比数列前n项和。

问题2：如何将上述发现变换成首项为a1，公比为q的前n项和？

展示《几何原本》图片，介绍欧几里得生平事迹及《几何原本》文献价值与传播意义。欧几里得是古希腊最负盛名、最有影响的数学家之一，他的《几何原本》是最伟大的著作之一，是古希腊数学发展的顶峰。《几何原本》不仅是欧洲数学的基础，还对几何学、数学和科学的未来发展、对西方人的思维方法产生了很大影响。《几何原本》主要内容是几何学，还涉及数论、无理数理论等其他课题，对知识体系的创建率先使用了公理化的方法，这一方法后来成为建立知识体系的典范。

问题3：在《几何原本》第九卷《数论》的命题35中，欧几里得从比例的角度给出了等比数列的前n项和公式：“如果众数成连比，那么第二个数减去第一个数的差比上第一个数，会等于最后一个数减去第一个数的差比上各项之和。”且让学生用数学符号表述此语句并证明。到此阶段，等比数列求和就不那么困难了，有多种方法解决，但为了引导学生推出教材中的“错位相减法”，可以结合数学发展史设计如下几个环环相扣的问题。

问题4：等式Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1，从第二项起提出一个公比q，会有什么结果？

学生马上可以得到：Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1=a1+q（a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2）。

问题5：如果括号内的加数中加上一个a1qn-1，再减去a1qn-1，则此等式可变成什么形式？

学生得到：Sn=a1+q（a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2+a1qn-1-a1qn-1），此时，多数学生没有发现变化后的等式有什么奥秘，还在困惑为什么这样做；有少数同学会想到把等式右边括号中的前n项相加，用Sn代入，若学生还不能想到，教师可以把括号中的前n 项和圈起来，提示等式既可以右边代左边，也可以左边代右边。学生恍然大悟，得到教师指出此方法为方程法，学生发现这些方法中，此方法最简单。但有学生指出，此方法虽然简单巧妙，但不够直观。教师指出，以此法为基础，稍加变化，会得到一种更加直观、简洁的方法。

问题6：把求和等式分别减去首项和尾项，会得到如下两个式子：

（1）式和（2）式有什么关系？你能从中推出求和公式吗？

有了前面知识的铺垫，学生得出：Sn-a1=q（Sn-a1qn-1），将等式稍作整理，得到等比数列求和公式。教师指出，此方法是法国数学家拉克洛瓦在《代数学基础》中首次提出，被称之为“掐头去尾法”，其实质是方程法的一种简洁变化。时间来到近代，在此基础上，又有数学家发现更简单的求和方法。

问题7：请同学们观察如下两个等式：

学生发现（1）式右边去掉首项，（2）式右边去掉末项，其他项都相同。多数学生能马上想到把这两式相减，得到等比数列求和公式。这时，教师指出这就是教材中的“错位相减法”。

教材中求和公式的唯一推导方法是“错位相减法”，由于学生自己推导这个方法有一定难度，若没有相关知识的铺垫，平铺直入，学生思维会产生断层，只能死记硬背，不利于他们数学思维的发展，也违背了教学规律，因此，前期要先学习其他方法。众多教学理论、教学方法都非常重视学生在启发下自己找到问题答案，苏格拉底的“助产术”教育法提出，教师要像产婆一样，用提问的方式启发学生，引导其自己思考问题，找出问题的答案。本次教学中，教师运用拼凑法、比例法、方程法和“掐头去尾法”作为“脚手架”，层层深入，完美剖析了错位相减法中“减”的妙用，在探求其他方式时，可以培养学生的发散思维和创造思维。本次的学习过程如同攀登高山，在教师的指引下，学生跨越层层阻碍登上顶峰，一种“会当凌绝顶，一览众山小”的感觉油然而生，体验成就感，激发学习兴趣。数学教学应坚持“少而精”的原则，“少”是教师用语要精炼，宣讲的内容要“少”，侧重引导学生理解基本的科学概念、规则、理论和模式；“精”则是要求学生学得深入、细致，能理解科学的本质，终身受益。教学中通过问题设计，完善学生的知识结构，使其由简单的模仿和接受转变为对知识的主动认知，进一步提高分析、类比及综合能力。

最后，教师要特别提醒，等比数列求和公式中，q不能等于1，如果q=1，怎么求和？学生通过探究找到答案：如果q=1，等比数列求和公式分母为零；如果q=1，此数列不是全为零的情况下，就同时为等比数列、等差数列和常数列，可用等差数列或者常数列的求和方式。

融入历史文化的数学教学很有吸引力，能够促进学生对数学的理解，提升其对数学价值的认识，构筑数学与人文之间的桥梁，满足学生的求知欲和好奇心，印证了数学思维的广阔性和数学文化的多元性，让数学课告别枯燥、沉闷，成为精彩纷呈、灵动飞扬的艺术呈现。