考题思路分步构建，突破过程评析总结

李宝香

［摘  要］ 2021年全国乙卷第21题为圆锥曲线压轴题，以传统的抛物线与直线相交为背景，融合圆上动点，探究解析式以及几何面积最值. 问题的特点鲜明，但解题突破依然可以沿用常规策略. 文章对考题进行了探究，总结了解决该类问题的知识方法，提出了相应的解题教学建议.

［关键词］ 抛物线；圆；三角形；面积；数学思想

考题回顾，考点分析

思路突破，分步探究

过程评析，解后反思

上述为抛物线综合题，涉及抛物线、圆、直线的位置关系和函数的性质.第（2）问为核心之问，是典型的三角形面积最值问题. 下面基于解答过程进行反思总结.

1. 过程评析，特点分析

第（2）问为三角形面积最值问题，其中点A，B为抛物线与直线的切点，而点P为圆上的动点，构建三点之间的关系是解题关键. 上述解析过程思路清晰，结构简明，思维连续性强. 总体来看，思路构建具有以下三大特点.

特点一，合理开展类比，巧用切线方程. 上述通过合理类比轻松获得了切线PA，PB的方程，而求直线AB的方程时要用到切线PA，PB的方程.

特点二，提取方程特征，生成关键直线. 上述通过方程特征的把握，直接获得了关键直线AB的方程，其构建方法极为简洁.

特点三，整体代入化简，设而不求构建. 上述联立转化方程的过程，采用了整体代入的方法，即利用方程根与系数的关系替换方程中的变量，使得变量单一化. 设而不求是求解圆锥曲线问题的常用方法，充分理解韦达定理对解题十分有利.

2. 知識归纳，方法总结

关联探究，强化应用

原考题是圆锥曲线中的三角形面积最值问题，相切关系、圆上动点是考题的限制条件，上述对该类问题的解决思路进行了梳理，方程联立、设而不求是突破解题难点的核心策略.下面对一道以椭圆为背景的关联问题进行探究，强化解题策略.

学习建议，教学探讨

圆锥曲线综合题形式多样，多表现为求最值、求取值范围以及结论探索，分析图象中点、直线与曲线的位置关系是重点. 对于与弦长、周长、面积有关的问题，基本策略是将原问题转化为函数问题，即根据题意联立方程，结合问题构建目标函数，然后利用换元、配方、均值不等式、求导等知识和方法解题.

在圆锥曲线解题教学中，教师要引导学生探索问题本质，掌握类型题的通性通法，合理转化问题，总结解题策略，包括常用的公式定理，简化技巧，转化思路；要引导学生充分梳理解题流程，生成规范的解题步骤. 实际教学可结合一题多解、解法拓展、关联训练等方式来强化学生的知识方法，帮助学生积累解题经验；同时要注重解题思想的引导，包括数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、转化与化归思想等，让学生感悟数学思想，提升数学思维.

总之，开展圆锥曲线问题的探究，根本意义在于使学生掌握问题、方法、思想的本质，形成自我的解题策略、思路，实现知识的内化吸收. 由此可知，开展解后反思、知识总结、方法梳理对提升学生的能力十分重要.