数学抽象的分析路径及教学实践

王占军

［摘  要］ 数学抽象是数学学科核心素养的组成要素之一，是学生形成理性思维的基础. 在课堂教学中落实数学核心素养需要教师分析教学目标，寻找数学抽象的着眼点；分析教学内容，挖掘数学抽象的着力点；分析学生认知，明确数学抽象的受阻点. 通过“目标—内容—学情”的分析路径帮助教师整体理解教学内容、精心设计教学活动，促使教师学会在课堂实践中如何分析并落实数学抽象核心素养.

［关键词］ 数学抽象；分析路径；教学实践

提出问题

随着《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课程标准》）的颁布，新教材的广泛使用，以发展学生数学核心素养为主旨的课堂教学理念被教师逐渐接受并不断探索. 数学抽象是数学学科核心素养的组成要素之一，是学生形成理性思维的基础，反映着数学最本质的特征. 在教学中，如何进行数学抽象的分析与实践是当前数学教育工作者面临的迫切问题. 笔者以“数列的概念”教学为例，通过对学习目标、教学内容、学生认知基础的具体分析，探索教师落实数学抽象素养的分析路径与教学实践.

数学抽象的分析路径

1. 分析学习目标，寻找数学抽象的着眼点

《课程标准》对“数列概念”提出的学习要求为：“通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数.”对这一学习要求作如下解析.

（1）“通过日常生活和数学中的实例”表明，数列概念教学需要教师提供丰富的生活和数学实例，引导学生分析实例特点，归纳实例共同特征，抽象出数列的概念. 概念的形成过程是学生用数学的眼光观察世界、用数学的语言表达世界的过程，是发展学生数学抽象素养的重要路径.

（2）“了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式）”表明，数列概念的学习要求是“了解”. 了解指“从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或举例说明对象”. 通过对行为动词“了解”的内涵解释，可以确定本节课学生应该达到的结果性目标——能从生活和数学实例中归纳出数列的特征并选择适当的方法表示数列，能自己列举出数列的实例，能在具体的情境中辨认出一列数是否是数列. 这一结果的实现依赖数列概念的抽象过程是否完整，学生能否用数学方法分析“确定的顺序”，从而归纳出几列数的共同特征，抽象出数列的概念.

（3）“了解数列是一种特殊函数”表明，在抽象数列概念的过程中，要始终渗透函数思想，引导学生用函数的观点认识数列，知道数列是一类特殊的函数，并能说出它的特殊性.

2. 分析教学内容，挖掘数学抽象的着力点

学习目标的分析明确了宏观的教学主线，而数学抽象的形成必须依附具体的教学内容，对教学内容的深入分析有助于教师更好地理解教材编写意图，精细化数学抽象教学过程.

人教A版教材围绕数列的概念、表示、应用编写如下：先通过三个具体实例（生活的，数学史的，数学的）引出三列数，用数学方法分析它们都是“有确定顺序的”一列数，从而抽象出数列概念；根据数列概念进一步用数学方法表示数列的一般形式，明确数列是从正整数集N*（或它的有限子集｛l，2，…，n｝）到实数集R的函数；最后类比函数的表示方法，介绍数列的表示方法，解决较简单的数列问题.

对上述教学内容作如下分析，帮助教师挖掘在课堂教学中落实数学抽象的着力点.

（1）概念抽象过程是学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维表达世界的过程，是发展学生数学抽象素养的重要路径，这是落实数学抽象素养的第一个着力点. 对于数列概念的抽象教学，不仅可以帮助学生进一步积累从大量实例中归纳事物共同特征的活动经验，提升学生数学抽象的能力，还可以帮助学生掌握分析有确定顺序的一类事物的数学方法与技巧，为今后的学习奠定知识、方法、经验等基础. 数列概念的抽象过程可以有效促使学生“在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验，养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯”.

（2）抽象数列概念时，如何用一般的形式表示数列是本节课落实数学抽象素养的第二个着力点. 数学抽象既包括建立在经验直观上的抽象，也包括建立在对象表达符号化和论证过程形式化上的抽象. 数列概念是学生基于真实的现实背景，归纳共同特征抽象得到的，这是本节课的第一次抽象. 数列的一般形式需要学生完全抛离问题背景，从特殊到具体进行一般化抽象，这是本节课的第二次抽象. 在数列一般化抽象的过程中，数列的一般形式有助于学生更好地认识数列本质.

除上述外，本节课还需要学生类比函数的表示方法来表示数列，能根据通项公式计算出數列的项，能根据前几项推导数列的通项公式，进一步发展学生的逻辑推理与数学运算素养，本文暂不赘述.

3. 分析学生认知基础，明确数学抽象的受阻点

从具体背景中抽象出数列概念、从数列概念中抽象出数列的符号表示是本节课教师发展学生数学抽象素养的两个着力点，但在具体抽象时还可能存在以下受阻点.

（1）学生在义务教育阶段接触了大量排列的数，这些排列的数中有一些蕴含着明显的规律，如“等差数列、等比数列、平方数数列”；有一些没有明显的规律，如“按学生序号排列的学生的身高，某学生每年获取的压岁钱”……受之前学习的影响，学生面对一列数时会自觉地通过运算寻找数与数之间的关系，这是学生研究一列数的已有经验. 需要明确的是，有规律的一列数是数列，但这并不是数列的本质，数列的本质是有“确定的顺序”，因此本节课的困难在于如何让学生用数学方法刻画这个“确定的顺序”. 学生既想不到用数学方法刻画“确定的顺序”，也没有类似的数学活动经验可以借鉴，这是学生进行数学抽象的第一个受阻点. 克服这一困难的关键是教师要引导学生分析并运用好第一个实例，从第一个实例中获取分析这一类问题的数学方法与技巧，并教学生学会运用“同样的方法分析类似的实例”，逐步积累刻画“确定的顺序”的数学活动经验，为归纳三个实例的共同特征，抽象数列概念奠定基础.

（2）“如何用一般的形式表示数列”是学生进行数学抽象的第二个受阻点. 首先，数列一般形式的形成需要学生对三个实例进行一般化抽象，将数列的描述性定义“翻译”成数学表达式，用更加简洁的符号语言刻画“确定的顺序”，这是继前面用自然语言刻画“确定的顺序”的进一步扩展，对培养学生的抽象思维是一种挑战. 其次，要引导学生在不断试错的过程中，感受用“a_１，a_２，a_３，a_４，…”表示数列的简洁性和科学性，并从中发现数列每一项的序号与项之间的对应关系，从而更加准确地理解数列是“从正整数集N*（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）到实数集R的特殊函数”.

数学抽象的教学实践

1. 用数学方法分析有顺序的一列数

教师依次出示以下实例，引导学生思考解决问题.

实例1：王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，这些身高（单位：cm）依次排成一列数：75，78，96，103， 110，116，120，128，138，145，153，158， 160，162，163，165，168.

问题1：（1）这列数是如何得到的？

（2）每一个数能交换位置吗？如何用数学符号表示每一个数的位置？你想到了怎样的方法？

师生活动：学生回答问题，师生共同总结这列数的特点.

回答：（1）这列数是按年龄的顺序（1岁，2岁，3岁……）依次得到的；

（2）每一岁生日对应着一个具体的身高，因此数字不能调换位置.

（3）王芳i岁的身高可以用h_i表示，如h₁=75表示王芳1岁生日时的身高是75 cm.

设计意图 以学生熟悉的身高为背景创设问题引发学生思考讨论，引导学生用数学的眼光观察世界. 设置问题1的目的在于让学生用数学方法深度分析“有确定顺序的数”，经历分析一列数的过程，积累数学活动经验.

实例2：在两河流域发掘的一块泥版上（编号K90，约产生于公元前7世纪），有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160， 176，192，208，224，240.

問题2：（1）这列数是如何得到的？

（2）每一个数能交换位置吗？如何用数学符号表示每一个数的位置？你想到了怎样的方法？

师生活动：学生根据实例1的数学方法，自主尝试分析；教师根据学生的回答，补充总结这列数的特点.

回答：（1）这列数是按日期的顺序（第1天，第2天，第3天……）依次得到的；

（2）每一天对应着一个具体的月亮可见部分的数，因此数字不能调换位置；

（3）月亮第i天的可见部分的数可以用s_i表示.

问题3：比较实例1、实例2中一列数的分析方法，它们有共同的特征吗？

设计意图 实例2引导学生仿照实例1的数学方法继续分析一列数，使学生逐渐掌握分析一列数的数学方法与技巧，为独自分析实例3奠定基础.

实例3：将－1/2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：－1/2，1/4，－1/8，1/16，….

问题4：你能根据前面的数学方法来分析这列数吗？

回答：（1）这列数是按－1/2的1次幂、2次幂、3次幂……的顺序得到的；

（2）每一个幂对应着一个具体的数，因此数字不能调换位置；

（3）－1/2的i次幂可以用p_i表示.

教学意图 与实例1、实例2相比，实例3中的这列数不仅数值在变化，符号也在变化，教师要引导学生仿照实例1、实例2的数学方法分析这列数，让学生进一步掌握用正整数集（或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝）表示事物顺序的方法. 教师要认真聆听学生回答，及时调控课堂，根据学生的回答适当补充，得到这列数的特点.

2. 抽象数列概念及表示方法

教师引导：我们经历了一列数的分析过程，得到了表1所示的数学事实.

问题5：上述实例有怎样的共同特征？

设计意图 在学生充分讨论交流的基础上，总结三个实例的共同特征，归纳出数列的定义.

问题6：（1）你能举出一个数列吗？你能举出所有的数列吗？你怎样解决这一问题？

（2）你能写出数列的一般形式吗？你能运用前面的数学方法分析你所写的一般形式吗？

（3）数列的一般形式“a₁，a₂，…a_n”是按怎样的顺序依次排列的？数列的项与序号两者有怎样的关系？说一说你的理由.

设计意图 问题（1）引导学生列举数列，由于数列有无限多个，不能一一列举，根据以往的数学学习经验，可以考虑用字母表示数列的一般形式，自然地引出问题（2）. 学生归纳数列的一般形式，答案是多样化的（如用a，b，c，d，…表示），教师要着重引导学生用数列的特征判断数列的一般形式是否准确，即数列的一般形式一定能表示“每一个数有确定的位置”. 问题（3）通过分析数列的一般形式，引导学生认识到数列的项与序号两者存在函数关系（如图1所示），从而让学生感受到数列是“从正整数集N*（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）到实数集R的特殊函数”.

问题7：数列是一类特殊的函数，回忆函数的学习路径，接下来你打算研究数列的哪些知识？怎样研究呢？

设计意图 类比函数的学习路径，引导学生构建数列的学习路径“数列的概念—数列的表示—数列的性质—特殊数列”，为后续学习做好铺垫.

教学活动：构建出数列的学习路径后，教师引导学生从函数的角度看数列，揭示数列的本质属性. 接着引导学生类比函数的表示方法来表示数列，介绍数列通项公式的本质是“数列的函数解析式”，随后解决教材例题，发展学生逻辑推理与数学运算素养，这里不再赘述.

结束语

数学知识是发展学生数学抽象素养的重要载体，首先，教师要认真学习《课程标准》对知识内容的具体要求，分析在哪些知识的生成过程中能够发展学生的数学抽象素养，整体把握教学内容，确定教学主线，清楚数学抽象的着眼点；其次，教师要深入剖析教材对知识内容的具体呈现方式，理解知识的逻辑结构与生成过程，理清知识的编排意图，明确数学抽象的着力点，在数学抽象的关键环节精细化教学过程；最后，教师要分析学生的认知基础，明确学生已有的数学知识基础是什么，已有的数学抽象水平如何，本节课具体的数学抽象过程中可能会遇到怎样的困难，这些问题的梳理，有助于教师精准设计教学问题，科学设置教学过程.

总之，提升学生数学抽象素养不是一句空洞的口号，需要教师真正理解数学、理解学生、理解教学，明确数学抽象的着眼点、着力点、受阻点，在着眼点处构建教学主线，在着力点处细化数学抽象过程，在受阻点处精心设置教学问题，引导学生经历数学抽象完整的过程，积累数学抽象活动经验，促进学生数学抽象素养水平、数学学习水平的真正提升.