培养联想思维 发展数学品质

曹晔

摘  要］ 联想是思维发展的动力，是提升数学解题能力的催化剂，在数学学习中发挥着不可估量的作用. 在数学教学中，师生要重视联想思维能力的培养，从而借助丰富的联想建立良好的思维品质，促进学习能力不断提升.

［关键词］ 联想；思维能力；思维品质

数学教学的一个重要目的就是发展学生的数学品质. 数学品质是一个相对宏观的概念，只是基于简单的经验，有时候很难把握数学品质及其发展效果，这时就需要对数学品质提供有力的支撑. 这个支撑是什么呢？应当是学生的思维. 有人说“思维是世界上最美丽的花朵”，之所以这么说就是因为思维能够帮助人们获得对事物最本质的认识，能够帮助人们构建不同事物之间的联系，能够帮助人们发现不同的规律. 教学原本就是教师帮助学生的过程，体现在数学教学中，就是帮助学生建构一个个的数学概念，获得数学概念之间的逻辑认识.

思维本身也是一个宽泛的概念. 思维有着多种形式，人们常说的形象思维、抽象思维以及直觉思维，就是思维的一些基本形式. 除此之外，还有一种思维值得高度关注，这就是联想思维. 联想本身就是一种思维方式，所谓联想，即由某一个人或事物想起其他的人或事物，由某一个概念想起其他的概念. 联想之所以能够发生，很大程度上是因为“相关性”，当两个人、两件事物或两个概念之间存在着相关性时，联想就会发生. 大量的教学经验表明学生的联想思維用得越娴熟，那么数学品质就越高.

笔者在数学教学中发现，很多学生虽然有着扎实的基础，然在综合运用时却显得力不从心，究其原因，与学生的联想能力密切相关. 只有会联想才能有效串联相关的、相似的知识，进而提升知识转化效率. 那么，如何激活学生的联想思维呢？笔者借助相似联想、类比联想、逆向联想、动静联想等联想思维的具体应用，谈几点自己的认识，仅供参考.

相似联想

虽然数学题目千千万，但很多题目具有一定的相似性，在解题教学中要引导学生善于多角度观察和联想，找出题目中的相似属性，从而通过相似联想唤醒沉睡的记忆，找到解决问题的突破口，提高解题效率. 因此，在数学解题教学中，教师不能简单地“就题论题”，而要引导学生对图形、公式或解法相似的题目进行相似联想，总结并归类相似题目，让学生可以“会一题，通一类”，以此提升解题效率.

在解决例1的过程中，引导学生运用相似联想后，学生探究的热情被迅速激发，经过不断猜想和尝试发散了学生的思维. 学生的思维一旦发散了，解题思路自然就拓宽了，当学生再遇到类似问题时解题方法也就多了，问题求解便水到渠成了.

可见，从学生熟悉的、相似的内容出发，容易找到解题的突破口. 但对相似内容的积累需要长期过程，为此，在日常教学中，教师要重视夯实学生的“双基”，只有扎实的基础，才能帮助学生在回忆相关或相似内容时找到解题的切入点，为正确求解打开思路. 同时，教师在教学过程中要重视引导、训练和积累，进而将知识转化为能力. 对于高中生而言，抓住不同题目之间的相似性去发展联想思维能力，是最基本的学习方式之一. 根据笔者的教学经验，要让学生认识到不同题目之间的相似性，很关键的一点就是要让学生遇到不同题目时，能够在大脑中形成与之相似的判断. 要做到这一点并不容易，这需要两个必要条件：一是学生大脑当中有足够的题目，对这些题目的类型有足够的认识；二是学生对新的题目有准确的判断，能够将其与大脑中的具有相关性的题目联系在一起. 前者需要学生大量积累，这个积累过程不仅仅是做题，更要对题目进行分析、归纳，把握题目的本质；后者需要学生有较强的分析能力、联想能力. 教师在实际教学中可以先引导学生去发现不同题目之间的相关性，等到时机成熟后，再让学生自主判断. “看到这道题目时，同学们会想到曾经做过的哪些题目呢？”“看到这道题目时，同学们感觉曾经做过的哪道题目与之最相似呢？”……这样的问题是笔者在解题教学中常常向学生提出的问题，当学生习惯了这样提问后，他们的联想意识就会被激活，联想能力也会得到提升.

类比联想

类比联想使学生通过不同对象的类比，找到两者或两类的异同，从而发现新问题，找到新方法，推理出新结论，串联不同对象，将数学知识编制成一条纵横交错的脉络网，便于信息的提取和内化. 在此过程中，能帮助学生找到数学学习兴趣，感受数学思想的魅力，从而培养学生合情推理能力的同时，发散学生的数学思维. 相比较而言，类比联想对思维的要求更高，因为对于两个或两类可以类比的对象而言，它们在形式上所表现出来的相似性并不明显，因此学生很难用相似联想来发现关系. 这也就意味着学生面对新的问题时，需要通过自身分析，发现新的问题在解决的时候会用到哪些方法，用到哪些思路，然后对这些思路和方法进行总结，最后再到大脑当中去寻找与之类似的问题以及具体的解题思路进行类比. 这样就可以在新旧问题之间形成相关性认识，从而保证类比联想发生. 因此，在教学中，教师要多引导学生进行类比联想，从而完成教学优化，提高课堂效率.

例2 设f（x）与g（x）互为反函数，且f（p+q）=f（p）·f（q），证明：g（m+n）=g（m）·g（n）.

例2的题设信息看似简单，然问题较为抽象，大部分学生难以找到解题思路. 为此，解题时教师可以引导学生联想到函数f（x）=ax，g（x）=logax（a>0且a≠1）. 这样通过类比联想，很快就形成了解题思路，即设m=f（p），n=f（q），则p=g（m），q=g（n），f（p+q）=f（p）·f（q）=m·n，因此g（m·n）=g（m）+g（n）.

在例2的证明过程中，当学生思维受阻时，教师及时引导学生进行类比联想，将新结论与旧知识相类比，激活了学生的已有经验和已有知识，找到了解决问题的方法. 在数学教学中，教师要重视类似思维的渗透，以此帮助学生通过类比挖掘出新知识、新方法，帮助学生建立解题信心，让数学思维在不断类比和联想中得到质的提升. 值得一提的是，教师在教学时，要有强烈的联想意识，要有教学的整体性认识，要能够将一段时间内的教学看作一个整体，在前面习题教学的时候，就要善于埋下“种子”，然后在后面提供与这些种子相关的题目——这里所说的相关当然是指解题方法上的相关，而不是外在形式上的相关. 当学生能够从解题方法、思路以及技巧等角度进行类比时，学生也就进入了一个深度思考的状态. 这样的学习过程是一个深度学习的过程，能够有效培养学生的数学品质.

逆向联想

数学是一门逻辑性较强的学科，很多学生在求解一些较为抽象和复杂的数学问题时因找不到合理的方法而丧失解题信心. 众所周知，很多事物存在正反两面，数学题目同样具备这一特征.因此，当学生应用常规解题思路求解受阻时，可以引导学生尝试从问题的反面入手，利用逆向思维，深入考虑问题的对立面，这样有时会得到意外惊喜. 同时，逆向联想有助于学生逻辑思维能力的培养，有助于学生解题能力的提升. 很显然，逆向思维是一种高阶思维，逆向联想是高阶思维的表现. 很多时候，一个学生之所以数学学得好，就是因为其逆向联想能力比较强. 逆向联想能力是迈向更高数学品质的重要台阶，是高中数学教学，尤其是习题教学的重要着力点.

例3 如图1所示，已知正三角形ABC的边长为2，点A在x轴的正方向上移动，点B在以x轴正方向为始边的45°角的终边上滑动，试求点C到原点O的最大距离.

本题求解中，学生习惯从已知条件出发，试图通过观察和分析点B的运动情况去找解题的突破口，然因题目较为复杂，大多数学生并没有找到解决问题的切入点，思路受阻. 因为动点问题更能考查学生思维的灵活性，所以受到不少出题者的青睐，为此教师要让学生在解决此类问题的过程中有所感悟，有所提升.

数学问题一般是复杂多变的，当使用常规思路难以求解时，要学会改变思路，从不同角度重新寻找解题的突破口. 例如本题，当从点B的运动情况直接入手求解碰壁时，就从问题的反面出手，将静点O转化为动点，利用逆向思维寻求合理的切入点，成功地解决了问题. 教师应多鼓励学生多角度观察，从不同的角度去尝试解决问题，在解决问题的过程中培养学生的创新意识，发展学生的数学思维.

动静联想

面对动点问题很多学生都会出现畏难情绪，因为不确定而难以找到解决问题的合理切入点，难以形成解决思路. 然“动”与“静”是相对的，当利用“动”难以找到解题的突破口时不妨化“动”为“静”，通过动静联想，动静转化，帮助学生突破思维障碍，得到另外一番精彩.

例4是一个动点问题，一般此类问题较为抽象和复杂，而且本题中的点P和点Q都是运动的点，问题更加抽象和复杂.为了化繁为简，解题时先固定点P，借助“以静制动”的方法将问题转化为在已知圆上找一點Q，使PQ最小，这时PQ必过圆心M，由此将问题进一步转化为求PM的最小值. 这样通过动静转化，问题就不难求解了.

动静联想在解决动点问题中的应用较为广泛，为了让学生深入理解“以静制动”的思维方法，教师应在教学过程中精选一些练习题引导学生进一步巩固和强化，相信通过长期积累，学生可以轻松克服对动点问题的恐惧，使思维更加活跃，解题更加灵活.

总之，联想在数学解题中尤为重要，它是解题时有效转化的基础. 因此，在数学教学中，教师要鼓励学生联想，通过多角度观察和联想充分挖掘学生的潜能，提升学生的数学思维能力以及解题能力.