一道二元函数最值问题的溯源与求解

张志刚

［摘  要］ 文章揭示了一道高考模拟试题——二元函数最值问题的命制背景，并从基本不等式、方程有解、函数最值等途径尝试解答，最后提出一般性方法.

［关键词］ 拉格朗日乘数法；背景；极值

题目呈现

命制背景

拉格朗日乘数法的优点主要有两个：一是把目标函数和约束条件统一到一个拉格朗日函数中；二是将条件极值问题转化为无条件极值问题，即通过引入拉格朗日乘数将含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有n+k个变量的无约束优化问题. 因为在构造拉格朗日函数中，无论约束条件φ（x，y）=0如何，都满足限制条件. 另外，L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y），其中φ（x，y）=0，不难发现求z=f（x，y）的极值点，其实就是求L（x，y）的极值点，两者的极值是等价的，且与λ无关，至于为什么要加入一个λ，就相当于用待定系數法来确定这个拉格朗日函数. 拉格朗日乘数法能够保证在取得最优乘数的情况下两者解的一致性，显然通过求拉格朗日函数的最优解来求原目标函数的最优解是一种更实际、更方便的方法.

题目解答

拉格朗日乘数法作为一种应用广泛的约束问题优化算法，其理论上的优越性显而易见. 然而在实际操作中，对拉格朗日乘数法求极值的原理的理解和接受需要一个过程，求偏导数对于高中生来说也是陌生的；另外，在联立方程求解时对学生运算能力的要求较高，那么本题如何用初等数学知识求解呢？在高中阶段，解决此类问题可以从基本不等式、方程有解、函数最值等途径寻求突破，消参、减元、转化是这类问题基本的求解原则，即把双变量方程转化为一元函数或方程，再辅以相应的数学知识和方法就能解决. 当然，鉴于此类问题的综合性，解答中往往需要考生具备较高的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养，以及转化与化归、函数与方程、分类讨论、换元法、配方法等典型的数学思想和方法，颇具挑战性和选拔性.

追根溯源可以直击命题意图，横跨纵联利于发散、创新学生的思维. 对于诸多高考题和模拟题，教师要充分挖掘其意境高深悠远、再生能力强、探究空间大的优势，引导学生捕捉信息，抓住关键，挖掘本质，揭示所求，寻求联系，形成设想，构建方案，让学生在直观感知、抽象概括、合情推理、操作运算、思路调整等思维活动中，综合运用各种方法，提出新视角、新观点、新设想，全方位、多角度、多层次地思考数学问题.

参考文献：

［1］ 张天德，安学保. 新高考数学思维突破100题［M］. 济南：山东科学技术出版社，2021.