理“明线”，挖“暗线”，生成有效“问题串”

蔡玲

［摘  要］ 文章以“数系的扩充和复数的概念”教学案例为背景，剖析在高中数学课堂教学中，如何梳理“明线”，深入挖掘“暗线”，生成有效“问题串”，推动知识的自然生成和发展，培养学生的数学核心素养.

［关键词］ 明线；暗线；数学核心素养；问题串；数系扩充；复数概念

提出问题

著名数学家保罗·哈尔莫斯（P.R.halmos）曾言“问题是数学的心脏”.数学教学是问题教学，数学问题在精不在多.教师通过设置有层次性、系统性、挑战性的主干问题形成有效“问题串”推动知识自然生成和发展，为学生的深度思考和思维发展提供时间和空间，是“问题解决式数学观”的体现.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，教师要“明晰数学学科核心素养在内容体系形成中表现出的连续性和阶段性，引导学生从整体上把握课程，实现学生数学学科核心素养的形成和发展”［1］. 在每个教学单元中，教学内容都有自己的“明线”和“暗线”，体现着教学的阶段性、系统性和整体性. 教师要准确梳理单元内容的“明线”，深入挖掘教学素材的“暗线”，生成有效“问题串”，帮助学生掌握数学知识，助力数学核心素养落地生根.

“明线”“暗线”的内涵剖析

“明线”是师生阅读教材就能够明白的基本知识和方法，稍加梳理就可以明确每节课的明线是“提出问题—分析问题—解决问题—系统回顾”. “暗線”有两种内涵，一是指解决新问题时用到的思想方法，如化归思想、函数思想、数形结合思想；二是指研究新问题的路径，例如研究函数问题采用的“抽象生活实例本质属性—定义—表示—图象和性质研究—应用”. 章建跃主编曾言，教学内容的安排是以“事实—方法—方法论—数学学科本质观”为“暗线”，提议教学中要让学生学会数学研究的“基本套路”.把握“暗线”是实现培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力的实践操作. 在清楚“明线”并深入挖掘“暗线”的过程中，教师才能引导学生“如何思考”“如何解决”，让学生准确把握和理解教学内容，同时发展数学核心素养.

“数系的扩充和复数的概念”的“明线”“暗线”及“问题串”

1. “数系的扩充和复数的概念”的“明线”和“暗线”

首先，需要梳理本节课的教学内容（包括知识要素、数学思想要素、研究方法要素）. 学生学习本节课内容前，在义务教育阶段已经经历了从自然数集到实数集的扩充过程，对数系的扩充有了一定的认识，知道数系扩充后，新的数系能够解决在原有数系上无法解决的一些问题. 例如引进无理数，把有理数集扩充到实数集后，就可以解决“解方程x²－2=0”这样的问题了，因此遇到如x²+1=0这样的方程求解的问题时，通过引导启发，学生能够联想到对现有实数集进行扩充，从而使方程x²+1=0有解. 学生在前面的学习中，多次利用过类比的方法研究数学问题，为这节课利用类比同样的过程和方法将实数集扩充到复数集提供了可能.

学生在学习过程中可能出现的障碍，一是学生虽然经历过数系扩充的过程，但对扩充方法及规则的理解较浅；二是现实生活中没有任何事物支持复数，学生会怀疑引进复数的必要性；三是学生以前学习的都是单纯的一个数，复数的代数形式却是两项和的形式，学生理解起来会有困难.

由此确定本节课内容的“明线”是明确复数的概念及表示、虚数和纯虚数的概念、复数相等的条件. “暗线”是通过数系扩充，归纳“规则”，提升学生的数学抽象素养；通过实数集向复数集的扩充，让学生体会类比思想方法，提升学生的逻辑推理素养，并让学生感受人类理性思维在数系扩充中的作用. 对于新的概念，研究路径通常是：通过具体实例抽象概括本质特征—定义—表示—特殊量—特殊关系—应用.

图1展示的是学生已有经验和本节课学习内容的结构关系：

2.“数系的扩充和复数的概念”的“问题串”及设计意图

问题1：（1）从方程的角度来看，负实数能不能开平方即方程x²+a=0（a>0）有没有解，可以归结为方程x²+1=0有没有解. 想一想，这是为什么？

（2）我们知道，方程x²+1=0无实数解，联系从自然数集向实数集扩充的过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？

设计意图 将历史上负数能否开平方的问题转化为方程x²+1=0是否有解的问题，为后续从方程角度研究数系扩充做好铺垫；同时让学生认识到数学中的复杂问题都可以转化和化归为基本问题. 问题（2）点出了本节课研究的目标、思路和方法.

问题2：我们把一个数集连同规定的运算及运算律叫做数系. 回顾从自然数集向实数集扩充的过程，每一次数系扩充的原因是什么？分别解决了什么实际问题和数学问题？请借助以下方程加以说明.

（1）x∈N，解方程x+2=0；

（2）x∈Z，解方程2x+3=0；

（3）x∈Q，解方程x2－2=0.

设计意图 运用具体实例的回顾，梳理数系扩充史，引导学生抓住知识的“生长点”，理解数系扩充的社会需求和数学自身发展的需要，为引进虚数单位埋下伏笔.

问题3：从上述解方程的过程可以看出，每一次数系扩充都是在原数集上添加“新数”. 请大家回忆一下，扩充后，原数系的加法运算和乘法运算（减法、除法运算可以转化为加法、乘法运算）及运算律在新数系中协调一致吗？由此你能归纳出数系扩充的“规则”吗？

设计意图 梳理数系扩充过程和方法，得出数系扩充的“规则”：引进“新数”，且加法、乘法运算不变.为后续实数集向复数集扩充提供方法依据，从而突破本节课的教学难点.

问题4：（1）回到本节课开头提出的问题，方程x2+1=0无实数解，类比从自然数集到实数集的数系扩充规则，你能想出让该方程有解的方法吗？

（2）引进一个什么样的“新数”呢？

（3）虚数单位为什么是i，而不是其他字母呢？

（2）你能把上述列举的所有“新数”用一个代数式表达出来吗？

（3）如何写出新的数集？

设计意图 通过类比数系扩充规则，让学生得出复数集中的具体复数，再由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形式和集合表示. 让学生经历、体会数学概念符号化、形式化的过程，让學生顺利接受复数表达式是两项之和的形式，提升学生的抽象概括、逻辑推理素养.

问题6：阅读教科书，回答以下问题.

（1）复数的表示方法有哪些？

（2）复数a+bi（a，b∈R）的实部是什么？虚部是什么？

（3）什么是虚数和纯虚数？请举例说明.

设计意图 引导学生阅读教科书，明确复数的基本概念和表示方法，培养学生阅读数学教材的习惯和理解能力.

问题7：既然称为复数集，其元素就必须满足互异性，即要弄清复数相等的含义. 请根据你刚才阅读的教科书内容，回答下列问题.

（1）复数a+bi=c+di（a，b，c，d∈R）的充要条件是什么？

（2）该充要条件和我们曾经学过的哪些知识点类似？

（3）复数z=a+bi（a，b∈R）为实数的条件是什么？a+bi=0的充要条件是什么？

设计意图 问题（1）引导学生把新旧知识联系起来，达成知识的统一性和完整性，让学生学会用类比的方法研究新问题. 问题（2）引导学生关联点和平面向量，为研究复数的几何意义及复数的三角形式奠定基础. 问题（3）通过专门研究“复数为实数”和“复数相等”这种特例，引导学生关注特殊元素、特殊关系，保证研究的完备性.

问题8：复数集C和实数集R之间有什么关系？你能将复数z=a+bi（a，b∈R）分类并用韦恩图表示出来吗？

设计意图 加深学生对子集的认识. 用不同方式将复数集分类，深化学生对复数概念的理解.

问题9：（1）本节课你学到了哪些知识？

（2）本节课你学到了研究新问题的哪些方法？

设计意图 问题（1）旨在引导学生说出复数概念、表示、分类、相等这些“明线”知识. 问题（2）引导学生提炼归纳研究新问题的思想方法，如类比、从特殊到一般等.

反思与展望

有效“问题串”源于对知识“明线”的梳理，更来自对“暗线”的深入挖掘.理清“明线”相对容易，一般课堂都容易做到. 但只有挖掘出“暗线”才能加深学生对“明线”的理解，才能培养学生面对新问题的分析能力和解决能力，才能提高学生的数学核心素养. 挖掘“暗线”是教学重中之重，然而在实际教学中，该环节相对薄弱. 那么该如何挖掘“暗线”，让问题有效且环环相扣、由浅入深地形成“问题串”呢？笔者认为需要做到“三个‘明确”“一个‘研读”.

（1）明确“上位知识”和“下位知识”，即明确知识从哪里来、到哪里去. 例如本节课，“上位知识”是学生已有的数系扩充历程，教师要做的是利用学生最近发展区让学生明白“学什么、为什么学、怎么学、如何联系”，进一步让学生明确“学习方法、如何延伸”，并为接下来的复数的几何意义、复数的四则运算、复数的三角表示打下基础.

（2）明确研究方法和研究路径，即明确新概念、新问题的研究用的方法是什么、路径是什么. 例如研究函数，采用的方法通常是从特殊到一般，路径是“用具体生活做背景抽象概括—定义—表示—图象和性质—应用”. 研究向量，路径通常是“用物理知识做背景抽象概括—定义—表示—特殊元素—特殊关系—应用”.而研究“数系的扩充和复数的概念”，方法是类比，路径是“从已有经历中抽象概括出本质属性—定义—表示—特殊复数（复数为实数）—特殊关系（复数相等）—应用”.

（3）明确数学核心素养目标. 课堂是培养学生数学核心素养的基地，教学内容是培养学生数学核心素养的载体.明确每节课的数学核心素养培养的目标有助于挖掘“暗线”. 在“数系的扩充和复数的概念”这节课中，主要培养学生的数学抽象和逻辑推理能力. 数学抽象源于对大量社会实践问题本质属性的概括，这需要师生合作找出一定量的具体实例，再从具体实例中抽象概括出问题的本质属性. 师生通过对以往数系扩充的回顾、总结、抽象，以此类推得到实数集向复数集扩充的方法和规则，实现学生逻辑推理能力的形成.

（4）研读教材、教师教学用书、数学课程标准、期刊. 无论是“上位、下位知识”还是研究方法、研究路径，以及要培养的数学核心素养，都可以在教材、教师教学用书、课程标准上找到. 甚至教材、教师教学用书等已经帮大家设置了“大问题串”，对大多数章节起始课都给出了教学案例. 教师只要多研读教材、教师教学用书、数学课程标准，相关问题都能找到答案. 但教材、教师教学用书、数学课程标准更重视知识的归纳和总结，属于纲领性教学文件，如何把纲领性的东西找到载体落实，变成生动具体的实例，研究数学期刊就是很好的辅助手段. 在各种期刊上，对某一节课、某一个单元教学内容的设计，都有详细的多角度、多视角的表达，并配有教学案例或教学片段. 教师通过收集整理阅读相关论文，不仅能够扩大教学视野，获得教学经验和方法，还能够加深对单元教学内容的理解.

在教学过程中，坚持理清“明线”，深入挖掘“暗线”，两手都要抓、两手都要硬，必能不断归纳提炼出共同的研究视角和共通的研究方法，设计出有的放矢的“问题串”，从而加强学生的过程体验，通过科学探究，实现学生数学核心素养提升的目标.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 唐恒钧，HAZEL TAN，徐元根，张维忠. 基于问题链的中学数学有效教学研究——一项课例研究的启示［J］. 数学教育学报，2018，27（03）：30-34+44.