借助几何画板渗透数学思想方法的措施

[摘  要] 自“双减”政策推行以来，“减负增效”的理念根植于教学的每个环节. 其中，对于如何借助信息技术手段挖掘教学中蕴含的数学思想方法，成了广大教育工作者普遍关心的重要课题. 研究者经过潜心探索与实践，取得了一定的成效. 现从数学思想方法的理论基础出发，结合一些课例，谈谈利用几何画板辅助初中数学教学，渗透数形结合、分类讨论与化归等思想方法的具体措施.

[关键词] 几何画板;数学思想方法;数学教学

作者简介：林小梅（1983—），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学与研究工作.

新课标提出，教师应加强知识与学生生活经验的联系，通过实验、尝试与操作等手段，揭示知识的内涵，体现知识所蕴含的数学思想[1]. 实践证明，借助几何画板开展教学活动，是渗透各类数学思想行之有效的方法，尤其在“双减”的背景下，几何画板的应用从真正意义上实现了“减负增效”的作用.

数学思想方法观念的界定

数学思想是指现实世界的空间形式与数量关系在人脑中的反映，是人类思维活动所产生的结果，它是人类从本质上认识数学现象与规律的有效途径. 从狭义的角度来分析，初中阶段所涉及的数学思想是最基本、最浅显，也是最常见的，它们都是在某些具体的数学事物认识过程中所提炼出来的观点或结论，并在后继学习活动与反复应用中得以证实;从广义的角度来看，数学思想泛指一些内容丰富、意义重大、体系完整的教学成果[2].

数学思想与数学方法相比，数学方法是解决问题程序、步骤或格式，是数学思想实施的基本手段. 结合在一起分析，数学思想方法具有显著的层次性、过程性与可操作性等特征. 这两者既是辩证统一的关系，又有着一定的差异性. 差异性主要体现在：数学思想是数学方法的核心，具有指导意义;而数学方法为数学思想的表现形式，数学方法更指向于实践.

简而言之，数学思想是内隐的，具有普遍性与概括性等特征，相对深刻;数学方法是外显的，有着具体性与操作性等特征. 两者因同属“方法论”的范畴，常被大众统称为数学思想方法.

借助几何画板渗透数学思想方法的措施

随着时代的发展与科技的进步，信息技术已然成为课堂教学必不可少的辅助设施. 几何画板作为信息技术的一个分支，在数学教学中具有重要作用，它可将抽象、深奥的数学知识转化成直观形象的图象，刺激学生的视觉，启发学生的思维，促进学生更加形象、深刻地理解相关知识，培养数学思想方法.

1. 借助几何画板，渗透数形结合思想方法

数形结合思想方法作为最基本的数学思想方法之一，是指将数学事物的数量关系与几何图形有机地结合在一起进行研究的方法，这也是将形象思维与抽象思维结合于一体的解题方案. 初中阶段会涉及一些难以直接解决的代数问题，教师可以引导学生借助几何画板的画图功能，体现出代数的几何意义，从而探究其知识本质，这种几何画板的应用为解题带来了极大的便利.

例1  已知代数式+存在最小值，求x的取值与该最小值.

（1）教学构思.

从代数式本身来看，学生很难直接获得结论，为此，教师应想办法赋予该代数式几何意义，便于学生理解与分析. 从建立直角坐标系的角度出发，教师可让学生将表示成x轴上的某一点和点（1，4）之間的距离，如此将原问题转化为：求x轴上某一点到两定点的距离之和的最小值. 这样，借助几何画板的测量功能，可获得最小值，让学生形成猜想，再加以验证.

（2）操作过程.

①建构平面直角坐标系，分别描出点A（1，4），B（4，2）;

②在x轴上描出点P，构造线段PA与PB，并测量这两根线段的长，在几何画板上显示出PA+PB的值;

③用鼠标拖动点P，显示点P的坐标，并测量PA+PB的值;

④点P位于x轴上左右移动，并观察PA+PB值的变化情况，当值到达最小时，则停止运动，并记录下此刻点P的具体坐标;

⑤构造一条射线AP，反射后经过点B，此时得到点B关于x轴对称的点B′.

（3）提出问题.

①观察几何画板上呈现的图象，找出点B′是否在射线AP上;

②结合上一问，说说不通过实验验证，该怎样通过作图法快速找到点P，使得PA+PB的值最小？怎么证明？

③如何用三点A（1，4），B（4，2），P（x，0）的坐标值来表示PA+PB的值？结合图象分析，当x取值多少时，PA+PB的值最小？

（4）教学分析与思考.

数和形作为数学研究的主要对象，在特定条件下具有互相转化与渗透的功能. 本教学过程，巧妙地通过平面直角坐标系的建立，将代数式最小值的问题转化成线段最小值的问题来分析. 随着几何画板将线段之和最小时点的坐标固定下来，问题也就水落石出了.

几何画板将静态的代数问题转化成动态的几何问题，让学生从视觉上直接感知所获得的点P坐标具有特殊的意义. 第一个问题，在于引导学生观察图形，发现点B′恰巧落于射线AP上;第二个问题，在于引导学生想办法通过对称点快速找到点P;第三个问题，在于引导学生通过线段最小值的发现，获得代数式的最小值.

综上可见，几何画板的介入，让初中数学教学变得更加便捷. 尤其是枯燥的代数问题，在几何画板的转化下，变成了直观可视的几何问题，这为学生的思维开辟了一条新的道路，使得原本复杂、抽象的问题变得简单.

当然，数与形的转化是相互的，除了可以将抽象的数转化成直观的形外，还可以将一些图形问题抽象成具体的数. 实践证明，数形结合思想方法是解决数学问题的基础，它能更好地促进知识的实际应用与科技的发展.

2. 借助几何画板，渗透分类讨论思想方法

分类讨论思想方法是指根据数学研究对象性质上的差异，按照一定的标准将研究对象分为几类不同的情况进行逐个研究与解决的过程. 这种数学思想方法是解决数学问题的重要思想之一，它能确保思维的全面性，避免解题过程中出现遗漏现象. 在初中数学中，分类讨论思想方法存在于整式、方程、函数与图形等相关内容中，真可谓无处不在.

例2  探究圆周角定理.

（1）教学构思.

探究圆周角定理需对圆心与圆周角不同的位置关系，进行分类验证. 教学中，教师可带领学生借助几何画板的测量与动态演示功能，让学生发现：一条弧所对的圆周角，在任何时候都与它所对的圆心角的一半是相等的关系.

（2）操作过程.

①在几何画板上先作一个☉O，且在该圆上任意取一条AB弧，画出该弧所对的圆心角∠AOB，以及该弧所对的任意一个圆周角∠APB;

②任意移动点P，并观察点P在活动过程中，圆心和圆周角的位置具备怎样的关系;

③在几何画板上重新作一个☉O，并在该圆上任意取点A，B，P，分别连接OA，OB，AP，BP，于圆周上拖动点A或P，让圆心O位于∠APB的内部，此时分别测量∠APB与∠AOB的大小;

④在圆周上拖动点A或P，让圆心O处于∠APB的一条边上，观察此过程中∠APB与∠AOB的变化情况;

⑤在圆周上拖动点A或P，让圆心O处于∠APB的外面，观察此过程中∠APB与∠AOB的变化情况.

（3）提出问题.

①观察图形的变化过程，我们发现圆心O和圆周角∠APB之间存在几种位置关系？（此问在完成操作的第二步后提出）

②通过对以上操作的观察，大家会得出什么结论？

（4）教学分析与思考.

实际操作过程中，首先改变圆周角顶点的位置，让学生获得以下结论：虽然以圆上的任意点作为顶点的圆周角存在无数个，但这无数个圆周角和圆心之间的位置关系却只有三种，即圆心位于圆周角的一边上、外部和内部.

据此，通过分类验证法，发现同弧所对的圆周角与其所对的圆心角之间存在怎样的数量关系，获得“一条弧所对的圆周角与其所对圆心角的一半是相等的关系”的结论. 在几何画板的辅助下，通过分类讨论思想方法，使原本抽象的圆周角定理变得简洁明了. 可见分类讨论思想方法在解决数学问题中具有重要作用，它能让探索问题的过程中变得更具条理性.

3. 借助几何画板，渗透化归思想方法

化归思想方法是指将待解决的问题转化归结成另一种学生更容易接受或解决的问题来分析，这种数学思想方法主要包含转化与归结两层含义. 如图形运动类问题，这是初中数学教学的一个难点，若让学生从问题条件出发寻找解题的途径，难度很大. 若借助数学化归思想方法将问题“化动为静”，则能出现柳暗花明之效.

教师借助几何画板的演示功能，将数学图形运动过程中的几种情况展示出来，可让学生快速发现其中的规律，为解决问题提供突破口.

例3  连接正方形ABCD的两条对角线，交点为O，而点O恰巧是正方形OABC的一个顶点，且这两个正方形的边长为相等的关系. 将正方形OABC围绕点O进行旋转，旋转过程中，两正方形重叠部分的面积会发生改变吗？若变化，说说是怎么变化的;若不变，则重叠部分的面积是多少？

（1）教学构思.

教师借助几何画板，利用其测量功能进行正方形旋转演示的制作，可让学生从直观的图形中，观察到两个正方形重叠部分面积的变化情况，为形成猜想提供依据.

（2）操作过程.

①在几何画板上画出满足题设条件的两个正方形，并分别测量正方形ABCD与四边形EBFO（两正方形的重叠部分）的面积，记录下来;

②按照题设条件旋转正方形OABC，使得∠AOA1分别为0°，45°，90°，135°，180°，并在对应的每个度数的位置测量一次四边形EBFO的面积，记录下来;

③观察图形旋转演示过程中所记录的数据.

（3）提出问题.

①通过以上实验的测量和分析，大家可以初步获得什么结论？

②结合以上操作，我们猜想两正方形面积与其重叠部分面积之间是否存在什么联系？

③如何验证这个结论？

（4）教学分析与思考.

转动正方形OABC时，两正方形重叠部分的形状也随之发生了变化，至于面积到底有没有发生变化，仅凭借大脑思考很难辨别，直接观察动态图也难以得出结论. 鉴于此，教师借助几何画板的演示功能，让图形旋转时在不同的节点逗留，方便学生测量出重叠部分的面积.

通过对第一个问题的思考，学生结合所测量出来的数据，轻而易举地获得在这几个特殊节点，两正方形重叠部分的面积始终没有发生变化;第二个问题让学生通过对所测得的数据进行分析，获得重叠部分的面积恰好是正方形面积的1/4;第三个问题则引导学生进一步从理论上去验证所获得的结论.

借助几何画板的作用，学生不仅自主探索出问题的结论，还结合认知结构从理论上加以验证. 这种方法不仅规避了探索问題的盲目性，还大大提高了解题效率，同时使数学化归思想方法在学生自主探索、猜想与验证中得以有效发展.

思考

数学思想方法种类有很多，除了以上几种外，常见的还有函数思想方法、方程思想方法、模型思想方法等. 数学思想方法是人类认识数学理论本质的基础，也是促进数学学科科学发展的根本. 借助几何画板的功能，渗透、培养学生的数学思想方法，是帮助学生串联数学知识、理解数学内涵的基本手段.

中学数学教育的本质是数学思想方法的教育，掌握数学思想方法就掌握了数学的精髓. 作为一线的数学教师，应利用好现代化的信息技术手段，借助几何画板等工具，加强知识间的纵横联系，让学生感知数学思想方法的来龙去脉，建构完整的认知体系，以达到融会贯通的目的.

教学设计时，教师应将教学内容与数学思想方法联系到一起进行分析，从真正意义上揭示知识的内涵，让学生高屋建瓴地掌握知识的本质[3]. 同时，还要引导学生形成追根溯源的习惯与刨根问底的精神，如此才能更好地揭露数学思想方法的发生与形成过程. 鉴于数学是一门严谨的学科，需要学生拥有善于思考与求实的品质，借助几何画板能为各种猜想与数学验证提供直观的依据，对揭示问题的内涵具有直接的辅助作用.

总之，几何画板强大的作图、测量与演示功能，在解决数学问题上具有得天独厚的优势，它不仅具有化未知为已知的功能，而且对解题具有明确的导向作用，更重要的是能渗透数学思想方法，助力学生理解问题的本质. 鉴于此，教师应紧跟时代发展的步伐，不断地提高自身的业务水平，更新教学手段，将数学思想方法渗透落实到教学的每一个环节中.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]史宁中. 数学思想概论第5辑——自然界中的数学模型[M]. 长春：东北师范大学出版社，2012.

[3]曹才翰，章建跃. 中学数学教学概论[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.