巧借相对运动原理,妙解数学动点问题

[摘  要] 纵览近些年的数学中考试题，动点问题常出现在压轴的位置. 此类问题具备综合性高、分值大等特点，对学生的基本功要求较高. 不少学生遇到此类问题常常唉声叹气，感觉力不从心. 鉴于此，文章以翻折（轴对称）、平移、旋转三类动点问题的解决为例，具体谈谈如何巧借相对运动原理，妙解数学动点问题.

[关键词] 动点问题;相对运动;解题

作者简介：李斌（1986—），本科学历，从事初中数学教学工作.

物理学中，常借助相对运动原理解决一些运动问题. 其中，参照物的选择尤为重要，它决定着运动的角度、效果与运算等. 实践证明，相对运动原理除了广泛应用于物理学科外，对处理数学中的定点与动点问题也有较好的效果[1].

一般情况下，遇到动态问题的求解，学生首先想到的就是用函数模型来解决问题，这种方法虽然符合学生的认知，但过程过于烦琐. 如果根据问题条件，从运动变化的角度来观察图形以解决问题，这对于初中生而言，难度又相对偏高. 而巧借运动的相对性特征，不仅能将复杂的动态问题简单化，还能激活学生的思维，帮助学生建构新的模型.

经典例题分析

初中阶段，数学教學涉及的动态变化问题常见的有翻折、平移与旋转等. 如何快速、准确地把握此类问题的核心，实现求解呢？实践发现，掌握规律、以静制动、巧用模型、应用函数思想等方法，能起到较好的效果. 在此，笔者以三类问题为研究方向，结合运动的相对性特征的应用，进行解题分析.

1. 翻折（轴对称）相对运动

此类问题一般以轴对称类问题为代表，学生解题时常因缺乏良好的空间感而出现思维障碍. 若能借助相对运动原理解题，则能化繁为简，突破思维的瓶颈，使解题得心应手.

例1  如图1所示，在矩形ABCD中，已知AB=12，BC=9，AE为∠CAB的平分线，其中点O为射线AE上的动点，若以点O为圆心作圆，使得☉O分别与直线AC，AB相切于点G，F，再作☉O关于射线AC的对称图形☉O′. 当☉O′与直线CD为相切的关系时，此时☉O的半径为多少？

分析  从问题条件着手进行分析，如图2所示，将☉O翻折，获得☉O′，但点O为一个动点，☉O会随着点O位置的变化而变化. 因此，解决本题的关键步骤在于刻画出☉O′的活动轨迹，找出它与直线CD发生相切关系的具体位置，位置一旦固定，求☉O的半径就不成问题了.

处于运动状态的☉O本身就比较复杂，若再将它翻折，则给学生思考增加了难度. 面对如此复杂的问题，若换个角度去分析，可能会有新的收获.

如图3所示，根据题意可知，☉O的轴对称图形☉O′是相对于直线CD在运动的，CD这条直线一直处于静止状态，若将CD这条直线沿着对角线AC翻折，仅需考虑☉O与CD的翻折线相切的情况即可.

解答：将CD沿着AC翻折，获得CD′，由∠ACD′=∠ACD=∠CAH可知△ACH为一个等腰三角形. 容易证明点G为AC的中点，可得AG=CG=7.5，再从切线长定理出发，可得FA=GA=7.5.

分别连接OG，OF，根据切线性质，容易获得Rt△OGA，Rt△OFA，BC∥OF，通过相似比可得=.

根据题设条件与证明，AB，AF的长已经知道了，那么该如何求得BE的长呢？

根据角平分线的性质，可知BE的长与点E到AC的距离相等，因此自然想到，过点E作AC的垂线，再运用面积法得（12+15）BE=9×12，计算得BE=4，将其代入式子=，得=，计算得OF=2.5.

至此，就完美地解决了本题. 从该解题过程来看，相对运动原理的应用，有效地解决了这个复杂的轴对称翻折问题，而且解题过程思路清晰，学生顺利解决这一道题就能获得解决这一类问题的能力.

例2  如图4所示，四边形ABCD为一个菱形，其中AC=6，BD=6，点E为BC边的中点，点P，M分别为AC，AB边上的动点，若分别连接PE，PM，求PE+PM的最小值.

分析  观察题设条件，可知点P，M为两个动点，点E为定点，那么点P，M在相对于点E的运动中，在什么情况下PE+PM的值最小呢？学生参考自身已有的认知经验，得到P，M，E三点共线时，PE+PM的值是最小的. 问题是，这三点并没有实质运动到同一条直线上，该怎么办呢？这让不少学生感到茫然.

如图5所示，反过来思考，将点E看作相对于点P，M运动的一点，从菱形的性质出发，利用翻折法将PE转化成PE′，这相当于E，P，M三点就在同一条直线上，当E′M与AB垂直时，待求的PE+PM的值最小.

解答：如图5所示，作点E关于AC的对称点E′，再过点E′作E′M垂直于AB，点M为垂足，且与AC相交于点P，此时点P，M的位置为PE+PM取最小值的位置（证明过程略），因此PE+PM=PE′+PM=ME′.

因为四边形ABCD为一个菱形，所以点E′位于CD上，又AC=6，BD=6，因此AB=3. 根据菱形的性质可得S=AC·BD=ME′·AB，计算得ME′=2，即PE+PM的最小值为2.

运动与静止是相对而言的，本题将定点视为动点，将动点理解为定点，有效突破了思维的障碍，让解题变得简便. 通过本题的解决，让学生深切体会到，解决数学问题，必须学会从多角度分析问题，当一条路行不通时，要换一种思维方式，则有可能见到曙光.

2. 平移类相对运动

平移类问题是近些年的热门话题，一个点、一条线或一个图形的移动，会带动整个图形的变化，这让不少学生感到难以想象. 其实，相对运动能化动为静，也能化静为动，可降低问题难度，突破解题障碍.

例3  在直角坐标系xOy中，点O的坐标为（0，0），已知点At

，t为第一象限内的一个动点，点B（0，m）为y轴正半轴上的一个动点. 求AB=4时，△ABO的最大面积值.

分析  从动点A的特征出发，能判断出点A在直线y=x（x>0）上运动，而点B则在y轴上运动. 那么待求的△ABO就存在两个动点，想要直接求出该三角形的面积，几乎不可能.

观察图形，从图中的几何元素来思考，发现点A，B分别相对于点O在进行运动. 若将点A，B理解成静止的，那么点O则相对于点A，B在运动. 从这个角度出发，问题则简单多了.

解答：如图6所示，根据点A的坐标，可知点A为直线y=x（x>0）上运动的点. 根据k=，不难发现∠AOB=60°. 又点O相对于A，B两点在运动，可确定点O的活动轨迹为圆，由此可知△ABO为该圆（活动轨迹）的内接三角形. 若想使得△ABO的面积最大，那它应为一个等边三角形. 根据AB=4，可得该等边三角形的高为2，故（S）=×4×2=4.

3. 旋转型相对运动

例4  如图7所示，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC=6，点D为AB边延长线上的一点，AB=CD. 若将△ACD围绕点C逆时针旋转α°（0<α<360），可得△A′CD′，如果点M恰巧为AC的中点，而点N为A′D′上的任意点，那么在三角形的旋转过程中，线段NM长的取值范围是多少？

分析  根据题意可知，点M为定点，N为动点，点N会随着△A′CD′的旋转而发生旋转运动，点N为相对于点M在一个动圆中不断变化的点. 至于运动到哪个位置距离最大，哪个位置距离最小为本题的难点所在. 不少学生受空间想象力的限制，很难把握住NM长的取值范围.

若将△ACD理解为一个固定不动的三角形，点N的位置一直落于线段AD上，将点M理解成相对于点N在不断运动的点，点M到点C的距离不变，那么点M的运动轨迹就是以点C为圆心，以线段MC为半径的圆.

解答：如图8所示，当CN垂直于AD，与圆C相交于点M时，线段NM的长是最短的;当点N重合于点D时，延长DC可与圆C相交于点M，这时的NM最长.

依照直角三角形的相关性质，可得CN=3，CN=6，M1C=M2C=3，由此可确定NM长的取值范围是

通过以上三类例题的分析，不难发现，它们虽然是不同种类的问题，但都蕴含着共性：以题设条件所提供的图形进行分析并试图求解，反而会将问题变得更加复杂，难度更大，而换个思维角度，引入相对运动的方法，则能让原本动态、复杂的图形变为静止、简单的图形. 随着参照物的变化，问题变得越发简单，学生能从中感知到一片新的解题天地.

借助相对运动解决问题的关键，在于明确其中的运动过程，并结合问题中所涉及的翻折、平移与旋转等性质，可巧妙地结合图形中运动的相对性原理，破解思维上的难点，达到解决问题的目的.

教学思考

1. 注重思维过程，提炼知识本质

解题过程反映了学生的思维能力，教师应注意避免学生出现“思维划过”的现象，所谓思维划过就是指“知其然而不知其所以然”的状态，即看到问题能知晓答案，却不知道答案的由来;或只能就题论题，知道某一题的解答方法，却无法理解一类题的解答通法，更谈不上变通与举一反三. 通过一道题的解决，获得触类旁通的解题能力，才是真正掌握了知识的本质.

弗赖登塔尔提出，再创造是数学学习最正确的方法[2]. 也就是说，教师应引导学生将所学知识再创造一次，让学生亲历知识的形成与发展过程，对知识的本质产生深刻理解，为知识的灵活应用奠定基础.

鉴于此，教师在课程设计、教学实施的过程中，应做个有心人，通过对例题的精挑细选，营造民主、和谐的教学氛围，鼓励学生在独立思考、自主分析与合作交流中，经历问题的辨析过程，提出合理的解题策略，自觉发现知识的核心性质以及解题的通法与技巧等，从而体悟出数学的本源与意义.

巧借相对运动原理解决数学问题的教学中，教师应注重结合学生原有的认知结构，应用同化与顺应的教学方法，引导学生充分感知运动过程，以及参照物发生改变后的运动与静止的相对关系，以提升学生的空间想象力与数学思维.

2. 立足实践操作，亲历体验感悟

对初中生而言，相对运动确实有点抽象，想要让学生从“纸上谈兵”中理清图形间运动与静止的关系，真不是一件容易的事情. 若借助实践操作，则能让学生通过直观感受发现问题中图形元素静止与运动的相对状态，为解题奠定基础[3].

随着社会的发展，科技的进步，几何画板、多媒体等的应用越来越广泛. 为了增强学生的空间想象力，并理解运动与静止的相对关系，教师可借助这些先进的多媒体工具，鼓励学生亲自参与动态图形的绘制，让学生在操作、观察、演示与测量中，更加直观地感知问题中的相对运动关系，为发现并深刻理解动态问题的本质奠定基础，也为形成良好的解题能力夯实基础.

3. 加强知识梳理，提高思维能力

数学是一门系统性学科，教学过程遵循循序渐进的原则. 在整合图形变化类的知识点时，教师应鼓励学生自主感知题组解答与互动过程，为有效推动知识入网做准备. 上述几个例题，都是笔者精心筛选出来的问题，主要是从图形运动变化的规律来思考相对运动的问题，帮助学生梳理此部分知识，为后期解决更多综合性动态问题提供强有力的支撑.

日常教学中，教师可以时常带领学生总结各类基本图形，通过多次、反复的有效训练，让学生形成一种解题的条件反射. 尤其要注重对知识本身的追溯，让学生学会思考、善于思考，并在思考中形成自己独有的解题经验与技巧. 当再次遇到同类型的问题时，学生即使搞不清问题的来龙去脉，也能快速地想到作辅助线去解决问题.

当然，最關键的在于教师要做到心中有数，只有引导学生做好知识梳理工作，帮助学生建立完备的认知体系，学生才能自主地打通各个知识点之间的脉络，建立良好的知识体系，获得问题的本源，提高解题能力与数学素养.

总之，巧借相对运动解决数学问题并不复杂，关键是要抓住相对运动的过程，结合翻折、平移、旋转等性质，巧妙地改变图形相对运动的关系，则能顺利解决问题. 解题中，常会涉及数形结合思想、转化思想、极端化思想以及建模思想等，这些数学思想作为数学核心素养的重要组成部分，也是课堂教学中渗透的重点.

参考文献：

[1]波利亚. 数学的发现[M]. 刘景麟，曹之江，邹清莲，译. 北京：科学出版社，2006.

[2]弗赖登塔尔. 作为教育任务的数学[M]. 上海：上海教育出版社，1995.

[3]李健. 妙用相对运动  巧解动态问题[J]. 初中数学教与学，2019（11）：35-37.